國三數學：內容整理、題目範例與詳解

九年級會學到的主題

國三數學內容：九年級學哪些單元

這裡按照 108 課綱裡寫的學習內容，把九年級的單元整理出來。雖然不同出版社的課本單元順序可能不一樣，但整個學年要學的內容就是這些。

單元	重點
連比	三個以上的量的比，例如 a : b : c，連比例式和應用問題。
相似形和相似三角形	對應角相等、對應邊成比例；三角形的相似判定 AA、SAS、SSS；面積比等於邊長比的平方。
平行線截比例線段	三角形兩邊中點的連線平行第三邊，長度是第三邊的一半；平行線截出的線段成比例。
特殊直角三角形的邊長比	30 度、60 度、90 度的三角形，邊長比是 1 : √3 : 2；45 度、45 度、90 度的三角形，邊長比是 1 : 1 : √2。
弧長公式和扇形面積	認識弦、弧、弓形，用 π 表示圓周率，算圓弧長和扇形面積公式。
圓的性質	圓周角是所對弧度數的一半，圓內接四邊形對角互補；切線和半徑垂直，從圓外一點畫的兩條切線段等長，圓心到弦的垂線平分這條弦。
三角形的外心、內心、重心	外心到三個頂點等距，內心到三邊等距，重心是三條中線的交點，重心到頂點的距離是到對邊中點的兩倍。
證明	幾何推理和代數推理，每一步都要寫出根據的性質。
空間中的線和平面	用長方體和正四面體認識線和線的平行、垂直、歪斜，以及線和平面的平行、垂直。
表面積和體積	直角柱、直圓錐、正角錐的展開圖和表面積，直角柱的體積，可以先複習表面積公式。
二次函數	畫 y = ax²、y = a(x − h)² + k 的圖形，找二次函數頂點、對稱軸、開口方向和最大最小值。
統計數據的分布	全距、四分位數、四分位距和盒狀圖。
機率	機率的意義，用兩層的樹狀圖列出所有可能，算擲銅板、骰子、抽球的古典機率。

這段文字是整理自十二年國民基本教育課程綱要中，數學領域九年級的學習內容。

國三數學常見的錯誤

國三的幾何題目，常常需要同時用到國二學過的全等三角形、畢氏定理，還有平行線的性質。如果你把前面這些性質記得越清楚，國三學起來就會越輕鬆。下面列出幾種最容易犯的錯誤。

用邊長比直接當面積比：如果有兩個相似三角形，它們的邊長比是 3 : 5，那它們的面積比應該是 9 : 25，而不是 3 : 5。
把圓周角和圓心角搞混：對著同一段弧的圓周角，角度是圓心角的一半。如果圓心角是 100 度，那圓周角就是 50 度。
頂點的負號看錯：y = 2(x − 3)² + 1 這個式子的頂點座標是 (3, 1)，不是 (−3, 1)。
重心的比例：重心把中線分成 2 : 1，靠近頂點的那一段比較長。
機率漏算情況：擲兩枚硬幣，一正一反的機率是 1/2，不是 1/3。用樹狀圖列出來，正正、正反、反正、反反四種裡有兩種是一正一反。
弧長和扇形面積用錯公式：弧長是周長的一部分，用 2πr；扇形面積是圓面積的一部分，用 πr²。

國三數學題目範例和詳解

下面的題目涵蓋國三幾個主要單元，每一題都寫出完整步驟。答案保留 π，和國中課本的寫法一樣。

例 1a : b = 2 : 3，b : c = 4 : 5，求 a : b : c。

b 在兩個比裡分別是 3 和 4，先把 b 調成相同，3 和 4 的最小公倍數是 12
a : b = 2 : 3 = 8 : 12
b : c = 4 : 5 = 12 : 15
所以 a : b : c = 8 : 12 : 15

答：8 : 12 : 15

例 2兩個相似三角形的對應邊長比是 3 : 5，小三角形的面積是 18 平方公分，大三角形的面積是多少？

面積比等於邊長比的平方：3² : 5² = 9 : 25
大三角形面積 = 18 × 25 ÷ 9 = 50

答：50 平方公分

例 3半徑 6 公分、圓心角 60 度的扇形，弧長和面積各是多少？

先算弧長。公式是 2π × 半徑 × 角度 ÷ 360。把數字代進去就是 2π × 6 × 60 ÷ 360，算出來等於 2π。
再算扇形的面積。公式是 π × 半徑的平方 × 角度 ÷ 360。代進去就是 π × 6² × 60 ÷ 360，先算 36π ÷ 6，最後得到 6π。
我們也可以用另一個公式來檢查：扇形面積 = 弧長 × 半徑 ÷ 2。把剛才算出的弧長 2π 和半徑 6 代進去，就是 2π × 6 ÷ 2，結果也是 6π，這樣就確認沒算錯。

答：弧長 2π 公分，面積 6π 平方公分

例 4一個三角形的三個內角是 30 度、60 度、90 度，斜邊長 10，另外兩邊多長？

這種 30 度、60 度、90 度的三角形很特別，它的三條邊長度比例固定是 1 : √3 : 2，而且最長的那條斜邊對應的是比例裡的 2。
10 ÷ 2 = 5，所以短股是 5
長股是 5√3

答：5 和 5√3

例 5二次函數 y = 2(x − 3)² + 1 的頂點、對稱軸和最大最小值是什麼？

對照 y = a(x − h)² + k，a = 2，h = 3，k = 1
頂點是 (3, 1)，對稱軸是 x = 3
a = 2 大於 0，開口向上，頂點是最低點
所以最小值是 1，沒有最大值

答：頂點 (3, 1)，對稱軸 x = 3，最小值 1

例 6直角三角形的三邊是 3、4、5，內切圓半徑是多少？

直角三角形的內切圓半徑 = (兩股和 − 斜邊) ÷ 2。這裡的兩股就是組成直角的那兩條邊，斜邊則是對著直角的那條邊。
(3 + 4 − 5) ÷ 2 = 1
檢查：面積 = 3 × 4 ÷ 2 = 6，周長 × 內切圓半徑 ÷ 2 = 12 × 1 ÷ 2 = 6，相同

答：1

例 7資料 2、4、5、7、8、10、12、15，求中位數、第 1 四分位數、第 3 四分位數和四分位距。

先把資料從小到大排好，總共有 8 個數字。
中位數是排在正中間的那個值。因為有 8 個數，所以取第 4 個和第 5 個的平均：(7 + 8) ÷ 2 = 7.5。
把前一半的數字 2、4、5、7 拿出來，它們的中位數就是第 1 四分位數：(4 + 5) ÷ 2 = 4.5。
把後一半的數字 8、10、12、15 拿出來，它們的中位數就是第 3 四分位數：(10 + 12) ÷ 2 = 11。
四分位距 = 11 − 4.5 = 6.5

答：中位數 7.5，第 1 四分位數 4.5，第 3 四分位數 11，四分位距 6.5

統計計算機：四分位數和全距

輸入一串數字，程式會幫你算出平均數、中位數、眾數、第 1 和第 3 四分位數、四分位距和全距。這些數字正好可以用來檢查畫盒狀圖需要的資料。你可以把上面例題的 2 4 5 7 8 10 12 15 貼進去試試看。

國三數學題目怎麼練

國三這一年，除了要學新的數學，也要準備會考數學。因為會考會考到國一、國二學過的東西，所以新舊知識都要一起複習。各版本課本都是依照同一份 108 課綱（就是教育部規定的教學大綱）來編寫的，所以學習範圍都一樣。數學王目前沒有國中的練習題目，也不會提供國中課本的解答，數學王的練習題目是給國小一到六年級的小朋友做的。

先把公式和性質整理好：國中常用的公式都收錄在數學公式裡面。做題目時，你要能清楚說出這題用的是哪一條公式或性質。
做幾何題時，先畫圖並標上資料：把題目裡給的邊長、角度都標在圖上。做相似形和圓的題目時，常常只要看圖就能找到它們之間的關係。
回頭補充國二的知識：做相似形題目會用到平行線和全等三角形，做二次函數題目會用到配方和因式分解。如果這些地方不清楚，可以回去看國二數學。
做錯的題目要寫下原因：每道錯題都要寫一句原因，例如「面積比忘了平方」。這樣比單純把題目重做一遍更有用。

國小基礎：放大縮小和圓面積試做 5 題

國三學的相似形，是國小六年級放大縮小圖形的延伸；扇形面積則要先會算圓面積。下面是數學王國小六年級的練習關卡，練習的就是這兩個基礎，以及連比會用到的比與比值。數學王沒有國中的練習；國小的題目圓周率用 3.14，到了國中則改用 π 表示。

準備好就開始，一共 5 題。

常見問題

國三數學有哪些內容？

依照 108 課綱的安排，國三這一年要學的數學主題很多。我們會學連比、相似形和相似三角形、平行線截比例線段、特殊直角三角形的邊長比。還有圓的性質、弧長和扇形面積、三角形的外心內心重心，以及證明。空間中的線和平面、表面積和體積、二次函數也是重點。最後還會學四分位距、盒狀圖和機率。

國三的圓和三角形三心為什麼容易卡住？

因為一道題目常常要同時用到好幾個性質。例如圓周角、切線和畢氏定理可能會一起出現在同一題裡。把每個性質整理清楚，畫圖時把已知的資料標上去，就會比較容易找到解題的方向。

國三的二次函數和國二的一元二次方程式有什麼關係？

一元二次方程式 ax² + bx + c = 0 的解，就是二次函數 y = ax² + bx + c 的圖形和 x 軸交點的橫坐標。國三的課程重點是看懂二次函數的圖形和頂點。二次函數的配方法和應用問題是高一的課程。

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