數學王全等三角形是什麼？五種全等性質
如果兩個圖形經過平移、旋轉或翻轉以後可以完全疊在一起，就叫全等，符號是 ≅。兩個三角形全等，三組對應邊都相等，三組對應角也都相等。要判斷全等不用六個條件都檢查，只要符合下面任何一種就夠了。表裡的 S 代表邊，A 代表角，順序就是條件排列的順序。
| 全等性質 | 要相等的條件 | 說明 |
|---|---|---|
| SAS 全等 | 兩邊和它們的夾角 | 角要夾在兩邊中間，也叫邊角邊 |
| SSS 全等 | 三邊 | 三角形三邊確定，形狀就確定 |
| ASA 全等 | 兩角和它們的夾邊 | 邊要夾在兩角中間，也叫角邊角 |
| AAS 全等 | 兩角和其中一角的對邊 | 兩角確定後第三角也確定，可以換成 ASA |
| RHS 全等 | 直角三角形的斜邊和一股 | 只能用在直角三角形 |
兩邊和其中一邊的對角相等，不一定全等；三個角相等也不一定全等，只能說相似。
相似三角形的性質
下圖的 △ABC 三邊是 4、5、6，△DEF 三邊是 6、7.5、9，每一邊都是 1.5 倍，兩個三角形相似，寫成 △ABC ~ △DEF。寫的時候字母順序要對應：A 對 D、B 對 E、C 對 F，相等的角用相同的弧線標示。
相似三角形的性質有兩個：對應角相等，對應邊成比例。所以 AB : DE = BC : EF = CA : FD = 2 : 3，相似比是 2 : 3。三組角相等是形狀一樣的意思，成比例是大小一起放大的意思。
相似三角形的判定
判斷兩個三角形相似，也不用檢查全部的角和邊，符合下面任一種就相似，符號是 ~。最常用的是 AA，因為三角形內角和是 180 度，兩個角相等，第三個角自然也相等。
| 相似性質 | 條件 | 例子 |
|---|---|---|
| AA 相似 | 兩組對應角相等 | 兩個三角形都有 50 度和 60 度的角 |
| SAS 相似 | 兩組對應邊成比例，而且夾角相等 | 4 和 6 夾 40 度，對應 6 和 9 也夾 40 度 |
| SSS 相似 | 三組對應邊成比例 | 4、5、6 和 6、7.5、9 |
全等可以看成相似比是 1 的相似。相似的判定只列 AA、SAS、SSS 三種，因為只要兩個角相等就夠了，不需要再管邊。
相似三角形邊長比和面積比公式
假設兩個相似三角形的相似比是 a : b。因為形狀一樣只是大小不同，所以所有的長度，像是邊長、周長、高、中線，它們的比例都是 a : b。面積是用底乘高算出來的，底和高都跟著放大，所以面積的比例就是 a² : b²。
為什麼面積比是邊長比的平方
如果你把一個三角形三條邊正中間的那個點（叫做中點）用線連起來，裡面就會出現 4 個一模一樣大小的小三角形。最上面那一個小三角形，跟原本的大三角形形狀長得很像，我們說它們是相似的。它的邊長剛好是大三角形的一半，可是面積只有大三角形的四分之一。如果邊長變成 2 倍，面積就會變成 4 倍；用同樣的道理，如果邊長變成 3 倍，就可以切成 9 塊，面積就是 9 倍。
把三角形兩條邊的中點連起來畫一條線，這條線會跟第三條邊像鐵軌一樣平行，而且長度剛好是第三條邊的一半。這個性質是國三數學會學到的。
相似三角形例題
做題目時，先寫出兩個三角形邊長的比，叫做相似比。然後看看題目問的是邊長還是面積：如果問邊長，直接用數字乘相似比就好；如果問面積，要乘相似比的平方。
例 1△ABC ~ △DEF，AB = 4、BC = 6、CA = 5，DE = 6，求 EF 和 DF。
- 相似比 AB : DE = 4 : 6 = 2 : 3，大三角形是小三角形的 1.5 倍
- EF 的長度是 6 × 1.5 = 9
- DF 的長度是 5 × 1.5 = 7.5
答：EF = 9，DF = 7.5
例 2有兩個形狀一樣但大小不同的三角形，它們邊長的比是 2 : 3。如果小的那個三角形面積是 20 平方公分，大的那個三角形面積是多少？
- 面積比 = 2² : 3² = 4 : 9
- 大三角形面積 = 20 × 9 ÷ 4 = 45（平方公分）
答：45 平方公分
例 3有兩個形狀一樣但大小不同的三角形，它們面積的比是 9 : 16。如果小的那個三角形周長是 18 公分，大的那個三角形周長是多少？
- 邊長比 = √9 : √16 = 3 : 4
- 相似三角形的周長比和邊長比是一樣的。大三角形周長 = 18 × 4 ÷ 3 = 24（公分）
答：24 公分
例 4同一時間，身高 1.6 公尺的人影子長 2 公尺，旗桿的影子長 10 公尺，旗桿多高？
- 陽光可以看成像鐵軌一樣平行的線，人和旗桿都垂直地面（兩條線碰在一起形成直角，像書本的角），所以形成的兩個直角三角形是相似的
- 高 : 影長 = 1.6 : 2，旗桿高 = 10 × 1.6 ÷ 2 = 8（公尺）
答：8 公尺
例 5一個三角形有 50 度和 60 度的角，另一個三角形有 60 度和 70 度的角，它們相似嗎？
- 先算第一個三角形。因為三角形三個角的總和一定是 180 度，所以第三個角是 180 − 50 − 60 = 70（度）。
- 再算第二個三角形。同樣用 180 度減去已知的兩個角，第三個角就是 180 − 60 − 70 = 50（度）。
- 你看，兩個三角形的角都是 50、60、70 度。只要兩個三角形有兩個角相等，它們就是形狀一樣、只是大小不同的「相似三角形」。
答：相似
例 6兩個相似三角形的相似比是 2 : 5，小三角形某邊上的高是 4 公分，大三角形對應的高是多少？
- 因為這兩個三角形是相似的，所以它們對應的高，比例也一定和三角形的大小比例一樣，都是 2 : 5。
- 小三角形的高是 4 公分，對應大三角形的高，我們用 4 × 5 ÷ 2 = 10（公分）來算出答案。
答：10 公分
外心、內心、重心整理
三角形有三個特別的中心點，它們都是三條線交在一起形成的。不同之處在於是哪三條線交在一起。下面的表格是國中三年級要認識的特性。如果是正三角形，它的外心、內心、重心會重合在同一個點。直角三角形的例子在下面的例題。
| 項目 | 外心 | 內心 | 重心 |
|---|---|---|---|
| 哪三條線的交點 | 三邊的中垂線 | 三個內角的角平分線 | 三條中線 |
| 等距的性質 | 到三個頂點等距 | 到三條邊等距 | 到頂點的距離是到對邊中點的 2 倍 |
| 對應的圓或用途 | 外接圓的圓心，半徑是外心到頂點的距離 | 內切圓的圓心，半徑是內心到邊的距離 | 三條中線把三角形分成面積相等的 6 塊，是三角形的平衡點 |
| 位置 | 銳角三角形在內部，直角三角形在斜邊中點，鈍角三角形在外部 | 一定在內部 | 一定在內部 |
| 常用公式 | 直角三角形外接圓半徑 = 斜邊 ÷ 2 | 面積 = 周長 × 內切圓半徑 ÷ 2；直角三角形內切圓半徑 = (兩股和 − 斜邊) ÷ 2 | 重心到頂點 = 中線長 × 2/3 |
中線是頂點連到對邊中點的線段；中垂線是垂直平分一條邊的直線，作法在尺規作圖。
外心內心重心例題：三邊 6、8、10 的直角三角形
6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10²，這代表它是直角三角形，最長的那條邊（斜邊）是 10。用畢氏定理確認它是直角三角形以後，三個中心的公式都可以直接代進去算。
例 1外接圓的半徑是多少？
- 直角三角形的外心在斜邊的中點
- 外接圓半徑 = 10 ÷ 2 = 5
答：5
例 2內切圓的半徑是多少？
- 內切圓半徑 = (6 + 8 − 10) ÷ 2 = 2
- 檢查：面積 6 × 8 ÷ 2 = 24，周長 × 半徑 ÷ 2 = 24 × 2 ÷ 2 = 24，相同
答：2
例 3重心到直角頂點的距離是多少？
- 直角頂點連到斜邊中點的中線長 = 斜邊 ÷ 2 = 5
- 重心到頂點 = 5 × 2/3 = 10/3，約 3.33
答：10/3，約 3.33
放大縮小練習：試做 5 題
數學王的練習是給國小一年級到六年級的小朋友做的。相似三角形最重要的觀念，其實是六年級學過的放大與縮小。如果把圖形放大幾倍，每一條邊都會跟著放大相同的倍數，但是角度不會改變。這一關練習的就是這個觀念，先確認你懂這件事，之後再學相似比就會比較輕鬆。
準備好就開始，一共 5 題。
常見問題
相似三角形有什麼性質？
相似三角形裡，互相對應的角大小一樣，互相對應的邊長度比例也一樣。周長的比，還有對應高的比，都等於相似比。但是面積的比，要等於相似比的平方。
相似三角形面積比怎麼算？
要先算出相似比，然後把它平方。如果邊長比是 2 : 3，面積比就是 4 : 9。反過來說，如果面積比是 9 : 16，要開根號，邊長比就是 3 : 4。
全等三角形的判定有哪些？
SAS、SSS、ASA、AAS 這四種方法可以用在所有三角形上，RHS 這種方法只能用直角三角形。如果只有兩邊和一個角相等，或者三個角都相等，都不能證明兩個三角形是全等。
外心、內心、重心怎麼分？
外心是三角形三條中垂線交會的那個點，它到三個頂點的距離都一樣。內心是三角形三條角平分線交會的那個點，它到三條邊的距離都一樣。重心是三角形三條中線交會的那個點，它把中線分成 2 : 1 的比例。