根號

根號的所有內容

• 根號3根號 3 約等於 1.732，附近似值表、十分逼近法、正三角形的高和化簡例題
• 雙根號雙重根號化簡公式：找和與積兩個數，把根號裡的根號拆開，附例題
• 根號2根號 2 約等於 1.414，附近似值表、十分逼近法、根號計算機和化簡例題
• 根號計算機輸入一個數，算出根號的近似值、最簡根式和介於哪兩個整數之間
• 根號運算規則根號相乘、相除、加減、化簡、平方和分母有理化的規則，附例題和常見錯誤
• 直角三角形求斜邊斜邊 = 根號（直角邊平方相加），附斜邊長公式、計算步驟、例題和根號計算機
• 直角三角形比例30 60 90 度是 1 : √3 : 2，45 45 90 度是 1 : 1 : √2，附邊長換算表與例題
• 根號5根號 5 約等於 2.236，附近似值表、方格紙畫法、化簡例題和根號計算機
• 直角三角形邊長知道兩邊求第三邊：求直角邊用減的、求斜邊用加的，附邊長公式與計算例題
• 根號0根號0等於0，0的平方根只有一個，根號裡面可以是0，附例題
• 直角三角形定理畢氏定理、逆定理、斜邊中點、30 度對邊、斜邊上的高等直角三角形性質一次整理
• 根號6根號 6 約等於 2.449，6 開根號的近似值、算法和化簡例題
• 根號10根號 10 約等於 3.162，附近似值表、方格紙畫法、化簡例題和根號計算機
• 根號1等於多少根號1等於1，1的平方根是正負1，附1到20的平方和開根號對照表
• iphone根號計算機iPhone 計算機怎麼切換到科學模式開根號，一般計算機開根號怎麼按、怎麼檢查

根號是什麼：平方根的意思

如果一個數自己乘自己等於 a，這個數就叫做 a 的平方根。舉個例子，3 × 3 = 9，還有 (−3) × (−3) = 9，所以 9 的平方根有兩個，分別是 3 和 −3。根號 √ 是用來寫平方根的符號。我們規定 √9 只代表正的那一個，也就是 √9 = 3，負的那一個則寫成 −√9 = −3。因此，開根號的結果不會是負數，√a 一定大於或等於 0。這也就是常有人問「開根號一定是正的嗎」的答案：除了 √0 = 0，其他都是正的。

正數的平方根有兩個，它們互為相反數；0 的平方根只有 0，詳細說明在根號0。負數自己乘自己不可能是負的，所以負數在國中學的數裡沒有平方根，√(−4) 這樣的寫法在國中沒有意義。在 √n 裡面，n 叫做被開方數，也就是根號裡面被開的那個數。國中的題目裡，被開方數都是 0 或正數。

• 4 的平方根是 ±2，√4 = 2
• 25 的平方根是 ±5，√25 = 5
• 2 的平方根是 ±√2，√2 ≈ 1.414
• 1 的平方根是 ±1，√1 = 1，說明在根號1等於多少

開根號的意思：從正方形的面積看

開根號可以想成，如果你知道正方形的面積，要反過來算它的邊長。比如說，面積是 16 的正方形，它的邊長乘邊長要等於 16，所以邊長就是 √16 = 4。那面積是 2 的正方形呢？它的邊長就是 √2。這個長度我們畫得出來，但是量不出剛好是整數或分數，我們只能說它比 1.41 長、比 1.42 短。

所以，平方和開根號是兩個可以互相還原的動作。4 平方是 16，16 開根號就回到 4。我們國小學過的正方形面積公式是邊長 × 邊長，開根號就是把它倒過來算。

根號計算機：輸入一個數就開根號

輸入根號裡的數，按「計算」。預設是 12，會顯示 √12 ≈ 3.464102、化成最簡根式 √12 = √(4 × 3) = 2√3，以及 3 × 3 = 9、4 × 4 = 16，所以 √12 介於 3 和 4 之間。輸入完全平方數會直接顯示整數，例如 √49 = 7。近似值四捨五入到小數第 6 位，可以輸入 0 到 1000000000000 之間的數，小數也可以。更多用法在根號計算機。

開根號怎麼算：平方根計算方法

開根號時，先看看根號裡的數是不是完全平方數。如果是的話，用質因數分解把它拆成兩組一樣的數，每組取一個相乘就是答案；如果不是的話，把裡面能開出來的平方因數拿到根號外面，化成最簡根式。分數和小數可以分子分母分開開根號。根號的化簡和運算規則，更多例子在根號運算規則。

平方根表：1 到 20 的根號

下面是 1 到 20 的根號表，裡面的數字都四捨五入到小數點後第三位。表裡的 1、4、9、16 是完全平方數，開根號剛好是整數；其他的數開根號都是無限不循環的小數，所以只能寫近似值或根式。最常用的 √2、√3、√5 各有專頁：根號2、根號3、根號5，√6 和 √10 在根號6和根號10。

近似值是用四捨五入的方法算出來的，例如 √2 = 1.41421356…，取到小數第三位是 1.414。

根號4等於多少、根號9等於多少

√4 = 2，因為 2 × 2 = 4；√9 = 3，因為 3 × 3 = 9。像 4 和 9 這種剛好是某個整數自己乘自己的數，叫做完全平方數。所以對它們開根號，得到的答案剛好就是整數。

要注意題目問法不一樣，答案也會不一樣。如果問 √4 是多少，答案只有 2；但如果問 4 的平方根是多少，答案就有 2 和 −2 兩個，我們寫成 ±2。同樣地，√9 = 3，而 9 的平方根是 ±3。考試常常用這一點出是非題，只要看到「平方根」三個字，就要想到有正負兩個答案。

• √4 = 2，4 的平方根是 ±2
• √9 = 3，9 的平方根是 ±3
• √(4 × 9) = √36 = 6，也等於 √4 × √9 = 2 × 3

8開根號：根號8等於多少

8 不是完全平方數，所以 √8 不是整數。我們可以把 8 拆成 4 × 2，裡面有一個平方因數 4，也就是 2 × 2，可以把這個 4 開出來，變成最簡根式 2√2。如果你想要知道大概是多少，√2 ≈ 1.414，所以 √8 = 2√2 ≈ 2.828。

根號7等於多少

7 裡面沒有比 1 還大的平方因數，所以 √7 已經是最簡根式，不能再化簡了。因為 2 × 2 = 4、3 × 3 = 9，而 7 在 4 和 9 中間，所以 √7 就在 2 和 3 中間。它的近似值是 2.645751…，如果只留到小數第二位，就是 2.65。

開根號不用計算機：十分逼近法

不用計算機也能求根號的近似值，方法是十分逼近法，也是課本教的方法：先找出根號介於哪兩個整數之間，再一位一位試小數，每次用平方檢查有沒有超過。下面用 √7 示範，算到小數第二位。

要四捨五入到小數第二位，還要多看一位：檢查 2.645 的平方，如果小於 7，代表 √7 比 2.645 大，就進位成 2.65。

近似值是什麼

近似值是很接近、但不完全相等的數，用 ≈ 表示，讀作約等於。比如 √2 = 1.41421356…，這個小數一直寫不完，也不循環，所以平常我們寫 √2 ≈ 1.414 或 √2 ≈ 1.41，這就是近似值。要取到哪一位、用四捨五入還是無條件捨去，要看題目的要求，國小學過的四捨五入在這裡會一直用到。

寫答案時要分清楚：√8 = 2√2 表示兩邊一樣大，所以用等號；√8 ≈ 2.83 表示只是大概差不多，所以要用約等於。如果題目沒有特別說要算出小數，答案通常寫成最簡單的根號形式。

• √2 ≈ 1.414，√3 ≈ 1.732，√5 ≈ 2.236（這是把小數點後面第三位四捨五入後得到的數字）
• √2 ≈ 1.41，√3 ≈ 1.73（這是把小數點後面第二位四捨五入後得到的數字）
• 用大概的數字相乘，結果會有一點點誤差：1.414 × 1.414 = 1.999396，不會剛好等於 2

根號2分之一等於多少

√(1/2) 可以改寫成 1/√2。為了讓分母不要有根號，我們把上面的分子和下面的分母同時乘以 √2，這樣就變成 √2/2。這個讓分母變乾淨的步驟叫做分母有理化，化簡根號時通常都要做。所以根號 2 分之一 = √2/2 ≈ 0.707107。

有時候題目寫的是 2 分之根號 2，也就是 √2/2，它和根號 2 分之一是一樣的數，只是寫法不一樣。這個數字在國三學 45° 的直角三角形時很常出現。

1. √(1/2) = √1 / √2 = 1/√2
2. 分子分母同乘 √2：(1 × √2) / (√2 × √2) = √2/2
3. √2/2 ≈ 1.414214 ÷ 2 ≈ 0.707107

根號是有理數嗎

要判斷根號裡的數是什麼。如果根號裡是完全平方數，開出來的結果就是整數，這種數是有理數，例如 √4 = 2、√9 = 3、√(9/16) = 3/4。如果根號裡的正整數不是完全平方數，例如 √2、√3、√5、√7，開出來的結果都是無限不循環小數，不能寫成兩個整數相除，這種數叫做無理數。

簡單來說：正整數 n 的 √n，只有當 n 是完全平方數時才是有理數，其他情況都是無理數。為什麼 √2 不能寫成分數，嚴格的證明在 108 課綱裡是高一數學才學的；國中的時候，你只要知道 √2 的小數寫不完也不會循環就可以了。

• 有理數：√1 = 1、√4 = 2、√0.25 = 0.5、√(1/9) = 1/3
• 像 √2、√3、√5、√6、√7 這樣，算出來是小數而且一直寫不完、沒有規律的數，叫做無理數。還有 √8 可以化成 2√2，它也是無理數。
• 你看，√2 × √2 = 2。雖然 √2 是無理數，但兩個無理數乘在一起，結果可能會變成有理數。

平方根和立方根的差別

平方根就是找一個數，讓它自己乘自己兩次等於 a。立方根則是找一個數，讓它自己乘自己三次等於 a，寫成 ∛a。舉個例子，2 × 2 × 2 = 8，所以 ∛8 = 2；3 × 3 × 3 = 27，所以 ∛27 = 3。

這兩者有一個很大的不同：負數沒有平方根，但有立方根。因為負數乘三次還是負數，例如 (−2) × (−2) × (−2) = −8，所以 ∛(−8) = −2。另外，每個數的立方根只有一個，不像正數的平方根有正負兩個。

要算開三次根號，如果是完全立方數，可以用質因數分解。質因數分解就是把一個數拆成最小的質數相乘。我們把因數分成三組一樣的，每組取一個相乘。例如 216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = (2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3)，所以 ∛216 = 6。如果不是完全立方數，就用計算機。108 課綱的國中課程只有平方根，課綱裡寫作二次方根；立方根不是國中的單元，到高一學指數時，會看到 8 的三分之一次方就是 ∛8 = 2。

• ∛1 = 1，∛8 = 2，∛27 = 3，∛64 = 4，∛125 = 5
• ∛1000 = 10，∛(−27) = −3

等腰直角三角形邊長比 1 : 1 : √2

等腰直角三角形有兩條邊一樣長，這兩條邊叫做「股」，它們碰在一起形成像書本角那樣方方正正的直角。如果這兩條股都是 1，我們用畢氏定理來算那條斜斜的邊，算式是 1² + 1² = 2，所以斜邊的長度就是 √2。這樣三邊長的比就是 1 : 1 : √2，三個角分別是 45°、45°、90°。大家常說的 1 1 根號 2，指的就是這個比例。在國小認識的等腰直角三角形就是這種三角形。

另一個常背的是 30°、60°、90° 的直角三角形，它的三邊比是 1 : √3 : 2。常有人記成 1 2 根號 3：最短的邊是 1，它對著 30° 的角；斜邊是 2，是最短邊的兩倍；剩下的一條股是 √3，因為 2² − 1² = 3。畢氏定理是國二學的，這兩組特殊邊長比是在國三學直角三角形邊長比值時整理出來的，更多內容在直角三角形比例和直角三角形邊長。

等腰直角三角形邊長比的例題

如果你知道一條股的長度，想求斜邊，就把股長乘以 √2；如果你知道斜邊，想求股，就把斜邊除以 √2，然後再做分母有理化。直角三角形已知兩股求斜邊的一般算法在直角三角形求斜邊。

直角三角形斜邊上的高怎麼算

從直角的頂點往斜邊畫垂直線，這條線就是斜邊上的高。直角三角形的面積可以用兩種方法算：兩股相乘 ÷ 2，或斜邊 × 斜邊上的高 ÷ 2，兩個結果一定相等，所以斜邊上的高 = 兩股相乘 ÷ 斜邊。

例如兩股 3 和 4，斜邊是 √(3² + 4²) = √25 = 5，斜邊上的高 = 3 × 4 ÷ 5 = 2.4。兩股是 6 和 8 時，斜邊是 10，高是 6 × 8 ÷ 10 = 4.8。斜邊如果開不盡，高就會帶根號，例如兩股 1 和 2，斜邊 √5，高 = 2/√5 = 2√5/5。直角三角形的其他性質整理在直角三角形定理。

根號x和根號圖形

√x 代表把 x 開根號。只有當 x 大於或等於 0 時，這個算式才有意義。所以題目常問：√(x − 3) 要有意義，x 要多少？我們要知道 x − 3 ≥ 0，也就是 x ≥ 3。

把 y = √x 畫在坐標平面上。當 x = 0、1、4、9 時，y 分別是 0、1、2、3。圖形從原點出發往右上方走，但越往右越平。這是因為 x 要變成 4 倍，y 才變成 2 倍。國中學的函數圖形主要是直線和拋物線，y = √x 這種圖形不在國中範圍。這裡當作延伸內容，幫助你理解根號變大的速度。

根號i是什麼

i 是高中才會學的虛數單位。規定 i × i = −1，也就是 i 是 −1 的平方根。國中學的數都在數線上，負數沒有平方根。所以國中不會出現 i，也不會出現 √i。

如果真的要算 √i，答案是 √2/2 + (√2/2)i 和它的相反數。因為 (√2/2 + (√2/2)i)² = 1/2 + i + (1/2)i² = 1/2 + i − 1/2 = i。複數在 108 課綱排在高三的選修數學。國中生知道有這回事就好，不需要會算。

先把國小的基礎練熟

數學王裡面的練習題是給國小一到六年級小朋友做的，裡面沒有國中才會學的根號題目。不過，開根號其實會用到兩個國小的基礎知識。第一個是化簡根式和判斷完全平方數，這需要用到「質因數分解」。質因數分解就是把一個數字拆成幾個最小的質數相乘，這個是六年級學「質因數和最簡分數」時認識的。第二個是十分逼近法，要一直算像 2.64 × 2.64 這樣的小數乘法，這正是五年級學「小數的乘法」時練過的。你不用登入帳號，做完練習後，系統會直接告訴你答對了幾題。

根號的相關主題

根號是國中數學國二學期的重點，後面會學到的畢氏定理、一元二次方程式公式解，都會一直用到它。學完這一頁之後，你可以依照自己的需要，去查看下面這些主題。

• 根號運算規則：這裡教你根號怎麼做乘除、加減，還有怎麼把根號化簡，以及分母有理化。
• 根號計算機：你輸入一個數字，它會幫你算出近似值、最簡根式，還會告訴你這個根號介於哪兩個整數之間。
• iphone根號計算機：教你在手機和一般計算機上，要按哪些鍵才能開根號。
• 根號2、根號3、根號5、根號6、根號10：介紹常見根號的近似值和用法。
• 根號0、根號1等於多少：0 和 1 開根號時比較特別，我們來看看它們的答案。
• 雙根號：如果根號裡面還藏著另一個根號，我們該用什麼方法把它變簡單呢。
• 直角三角形求斜邊、直角三角形邊長：用畢氏定理來算邊長，算出來的答案常常會帶著根號。
• 直角三角形比例、直角三角形定理：有些特別的直角三角形，它們的邊長之間有固定的比例關係和性質。

常見問題

延伸學習