二元一次方程式

例 1解聯立方程式 x + y = 10，2x + 4y = 28

1. 從第一式得出 y = 10 − x
2. 代入第二式：2x + 4(10 − x) = 28
3. 把式子整理一下，變成 2x + 40 − 4x = 28。合併 x 之後得到 −2x = −12，兩邊同時除以 −2，算出 x = 6。
4. 把 x = 6 代回原本的式子，算出 y = 10 − 6 = 4。
5. 我們來檢查一下答案。先算 6 + 4 = 10，符合第一個式子。再算 2 × 6 + 4 × 4 = 12 + 16 = 28，也符合第二個式子。兩個式子都對，答案就是 x = 6，y = 4。

答：x = 6，y = 4

例 2請解這組聯立方程式：y = 2x − 1，3x + 2y = 19。

1. 因為第一個式子已經寫成 y = … 的樣子，我們可以直接把 y 換成 2x − 1，代進第二個式子裡。這樣就變成 3x + 2(2x − 1) = 19。
2. 把括號展開並合併同類項，得到 3x + 4x − 2 = 19。整理後是 7x = 21，所以 x = 3。
3. 把 3 代進去算，y = 2 × 3 − 1 = 5
4. 檢查一下：5 = 2 × 3 − 1，3 × 3 + 2 × 5 = 9 + 10 = 19，兩式都成立

答：x = 3，y = 5

例 1解聯立方程式 3x + 2y = 16，5x − 2y = 16

1. y 的係數 2 和 −2 剛好相反，兩式相加：8x = 32
2. x = 4
3. 把求出的 x 值代回第一條算式：12 + 2y = 16，算出 y = 2。
4. 檢查一下：3 × 4 + 2 × 2 = 16，5 × 4 − 2 × 2 = 16，兩條算式都對，答案正確。

答：x = 4，y = 2

例 2解聯立方程式 2x + 3y = 12，3x − 2y = 5。

1. 要消去 y：第一式乘以 2 得 4x + 6y = 24，第二式乘以 3 得 9x − 6y = 15。
2. 兩式相加：13x = 39，x = 3。
3. 把求出的 x 值代回第一條算式：6 + 3y = 12，算出 y = 2。
4. 我們來檢查一下答案對不對。把數字代進去算：2 × 3 + 3 × 2 = 12，3 × 3 − 2 × 2 = 5。兩個算式都算得通，所以答案是對的。

答：x = 3，y = 2

例 1解聯立方程式 x + 2y = 7，2x + y = 8

1. 係數左右對調，兩式相加：3x + 3y = 15，所以 x + y = 5
2. 接下來把兩個算式減一減，用第二個算式減掉第一個算式：x − y = 1
3. 把 x + y = 5 和 x − y = 1 這兩個式子上下加起來，左邊的 y 和 −y 剛好抵消，右邊 5 加 1 變成 6，所以得到 2x = 6，算出 x = 3。接著把 x = 3 代回 x + y = 5，得到 3 + y = 5，所以 y = 5 − 3 = 2。
4. 我們來檢查一下答案。把 x = 3 和 y = 2 代入原本的式子，3 + 2 × 2 = 7，2 × 3 + 2 = 8，兩個式子都成立，代表我們算對了。

答：x = 3，y = 2

例 1籠子裡有雞和兔，總共有 35 個頭、94 隻腳，請問雞和兔各有幾隻？

1. 先設雞有 x 隻、兔有 y 隻：x + y = 35，2x + 4y = 94
2. 把第一個算式裡的每個數字都乘以 2，變成 2x + 2y = 70。然後用這個新算式減去第二個算式，得到 2y = 24，最後算出 y = 12。
3. 把 y = 12 代回第一個算式，算出 x = 35 − 12 = 23。
4. 來檢查一下答案對不對：先算 23 + 12 = 35，再算 2 × 23 + 4 × 12 = 46 + 48 = 94。

答：雞 23 隻，兔 12 隻

例 2動物園門票大人要 250 元、兒童要 150 元。有一群人共 8 人，買門票一共花了 1700 元。請問大人和兒童各幾人？

1. 我們假設大人有 x 人、兒童有 y 人。因為總共 8 人，所以 x + y = 8。因為門票總共 1700 元，所以 250x + 150y = 1700。
2. 從第一個算式可以想出 y = 8 − x。把這個式子代進去：250x + 150(8 − x) = 1700。
3. 250x + 1200 − 150x = 1700，100x = 500，x = 5，y = 3
4. 我們來檢查一下答案對不對。先加起來看：5 + 3 = 8，符合總數。再算錢：250 × 5 + 150 × 3 = 1250 + 450 = 1700，正好是總金額，所以答案正確。

答：大人 5 人，兒童 3 人

例 3一艘船順水 3 小時走 36 公里，逆水 4 小時走 32 公里，船在靜水中的速度和水流速度各是每小時幾公里？

1. 我們設船在靜水中的速度每小時是 x 公里，水流的速度每小時是 y 公里。順著水流開時，速度會變快，是 x + y；逆著水流開時，速度會變慢，是 x − y。
2. 根據題目，順水 3 小時走 36 公里，所以 3(x + y) = 36。逆水 4 小時走 32 公里，所以 4(x − y) = 32。把這兩個算式簡化一下，就變成 x + y = 12，還有 x − y = 8。
3. 兩式相加：2x = 20，x = 10；y = 12 − 10 = 2
4. 檢查一下：順水行船 3 小時 × 12 公里/小時 = 36 公里，逆水行船 4 小時 × 8 公里/小時 = 32 公里

答：船速每小時 10 公里，水速每小時 2 公里