數學王一元二次方程式的所有內容
一元二次方程式是什麼
一元是一個未知數，二次是未知數的最高次方是 2。不論題目原本長什麼樣子，先把所有項移到等號左邊、右邊剩 0，整理成 ax² + bx + c = 0，這叫標準式。a 是 x² 的係數，b 是 x 的係數，c 是常數項，b 和 c 可以是 0，a 不能是 0，否則就變成一次方程式了。
能把等式變成真的的那個 x，我們叫它做方程式的根，也可以叫它解。一個一元二次方程式最多會有兩個根。舉例來說，x² − 5x + 6 = 0 的根是 2 和 3。我們把 2 代回去算一算，2² − 5 × 2 + 6 = 0 是成立的；把 3 代回去算，3² − 5 × 3 + 6 = 0 也是成立的。
- x² − 5x + 6 = 0：a = 1，b = −5，c = 6。
- 2x² = 8x：移項成 2x² − 8x = 0，a = 2，b = −8，c = 0。
- x² = 9：移項成 x² − 9 = 0，a = 1，b = 0，c = −9。
- x(x + 3) = 40：展開移項成 x² + 3x − 40 = 0。
解一元二次方程式的三種方法
因式分解法用了一個很簡單的道理：兩個數相乘等於 0，至少有一個是 0。所以 (x − 2)(x − 3) = 0，不是 x − 2 = 0 就是 x − 3 = 0。配方法是用乘法公式把式子湊成完全平方，再開平方；把配方法用在 ax² + bx + c = 0 上，就得到公式解。開平方會用到根號。
解一元二次方程式題目
下面五題用不同的方法解，每題最後都代回原式檢查。拿到題目先看能不能提公因式或用十字交乘分解，分解不出來再用配方法或公式解。
例 1解 x² − 5x + 6 = 0
- 我們要找兩個數，它們乘起來要等於 6，加起來要等於 −5。仔細想想，就是 −2 和 −3。所以算式可以改寫成 (x − 2)(x − 3) = 0。
- 因為兩個東西相乘結果是 0，代表其中至少有一個是 0。所以我們知道 x − 2 = 0 或者 x − 3 = 0。
- 把 −2 移到等號右邊，x 就等於 2；把 −3 移到等號右邊，x 就等於 3。
- 檢查：4 − 10 + 6 = 0，9 − 15 + 6 = 0
答：x = 2 或 x = 3
例 2那這個算式 2x² − 8x = 0 要怎麼解呢？
- 提公因式 2x：2x(x − 4) = 0
- 因為兩個東西相乘等於 0，所以一定是 2x = 0 或 x − 4 = 0。
- 算一算，得到 x = 0 或 x = 4。
- 檢查一下：x = 0 時 0 − 0 = 0；x = 4 時 32 − 32 = 0。
- 小心：不能兩邊同除以 x，那樣會漏掉 x = 0 這個根。
答：x = 0 或 x = 4
例 3解 (x − 1)² = 9
- 開平方：x − 1 = 3 或 x − 1 = −3
- x = 4 或 x = −2
- 檢查：(4 − 1)² = 9，(−2 − 1)² = (−3)² = 9
答：x = 4 或 x = −2
例 4用配方法解 x² + 6x − 7 = 0
- 常數移到右邊：x² + 6x = 7
- 6 的一半是 3，兩邊加 3² = 9：x² + 6x + 9 = 16
- (x + 3)² = 16，x + 3 = 4 或 x + 3 = −4
- x = 1 或 x = −7
- 代回原式檢查：1 + 6 − 7 = 0，49 − 42 − 7 = 0
答：x = 1 或 x = −7
例 5用公式解 2x² − 3x − 1 = 0
- 先找出係數：a = 2，b = −3，c = −1
- 算判別式 b² − 4ac = 9 − 4 × 2 × (−1) = 9 + 8 = 17
- 算出來的 x 等於 (3 ± √17) ÷ 4。
- √17 大約是 4.123，所以 x 大約是 1.781 或者大約 −0.281。
- 我們來檢查一下：把 (3 + √17)/4 放回去算，2 × (26 + 6√17)/16 − 3(3 + √17)/4 − 1 = (26 + 6√17 − 18 − 6√17 − 8)/8 = 0。
答：x = (3 + √17)/4 或 x = (3 − √17)/4
一元二次方程式計算機
你把方程式整理成 ax² + bx + c = 0 的樣子，然後輸入 a、b、c 三個數字，再按「計算」按鈕。螢幕上會顯示判別式的算式、兩個根，還有代入公式解的算式。預設的數字是 1、−5、6，也就是 x² − 5x + 6 = 0，算出來的結果是判別式 1、x = 3 或 x = 2。如果根不是整數，螢幕會顯示小數近似值；如果 a、b、c 都是整數，它還會寫出根式。更多用法在一元二次方程式計算機。
一元二次方程式應用題
做應用題列出方程式後，通常會解出兩個根。你要回到題目看看哪個答案合理。長度、人數不能是負數，不合理的根要寫「不合」捨去。
例 1一個長方形的長比寬多 3 公分，面積是 40 平方公分，寬是幾公分？
- 我們先設寬度是 x 公分，長度就是 x + 3 公分。把寬和長相乘等於面積，所以算式是 x(x + 3) = 40。
- 把算式整理一下，變成 x² + 3x − 40 = 0。接著把它拆成兩個小括號相乘，就是 (x + 8)(x − 5) = 0。
- 解出來有兩個答案：x = −8 或 x = 5。但是寬度不能是負數，負數代表沒有長度，所以 x = −8 不合適，要捨棄。
- 我們來檢查一下：寬是 5 公分、長是 8 公分，5 × 8 = 40，答案對了。
答：寬 5 公分
例 2有兩個連在一起的整數，它們都是正數，把它們相乘的結果是 132，請問這兩個數是多少？
- 我們設比較小的那個數是 x，比較大的那個數就是 x + 1。把這兩個數相乘等於 132，所以算式是 x(x + 1) = 132。
- x² + x − 132 = 0，(x + 12)(x − 11) = 0
- x = −12 或 x = 11，題目說正整數，x = −12 不合
- 檢查：11 × 12 = 132
答：11 和 12
判別式：先知道有幾個根
在公式解裡面，根號下面的 b² − 4ac 叫做判別式。因為根號裡面不能有負數，所以我們不用真的把方程式解出來，只要算一下判別式，就知道這個方程式是有兩個不同的根、兩個一模一樣的根，還是根本沒有實數解。如果兩個根是一模一樣的，我們稱它為重根。
| 方程式 | 判別式 b² − 4ac | 根的情形 |
|---|---|---|
| x² − 5x + 6 = 0 | 25 − 24 = 1，大於 0 | 兩個不同的根：2 和 3 |
| x² − 6x + 9 = 0 | 36 − 36 = 0 | 重根：3 |
| x² + 2x + 5 = 0 | 4 − 20 = −16，小於 0 | 沒有實數解 |
當判別式小於 0 時，這個方程式在實數裡面就沒有解；等到高中學了複數，才會說它有兩個虛根。
一元二次方程式兩根和係數的關係
如果你已經知道兩個根是 α 和 β，就可以把方程式寫成 (x − α)(x − β) = 0，把它展開後就是 x² − (α + β)x + αβ = 0。舉個例子，如果兩個根是 2 和 −5，那方程式就是 (x − 2)(x + 5) = 0，也就是 x² + 3x − 10 = 0。
反過來看，ax² + bx + c = 0 的兩個根加起來是 −b/a，乘起來是 c/a，這叫做根與係數的關係。108 課綱國中的學習內容沒有特別列出這個關係，這裡當作延伸知識，可以用來快速檢查答案：x² − 5x + 6 = 0 的兩個根是 2 和 3，加起來 5 = −(−5)/1，乘起來 6 = 6/1。
一元二次方程式圖形：拋物線和 x 軸的交點
一元二次方程式本身是一個等式，當我們談到它的圖形時，指的是二次函數 y = ax² + bx + c 畫出來的形狀，那是一條拋物線。方程式 ax² + bx + c = 0 的根，就是這條拋物線和 x 軸相交的那個點的 x 坐標，因為在 x 軸上 y 的值就是 0。
圖中 y = x² − 2x − 3 和 x 軸交在 x = −1 和 x = 3，所以 x² − 2x − 3 = 0 的根是 −1 和 3，把它分解成 (x + 1)(x − 3) = 0 也會得到一樣的答案。如果判別式大於 0，拋物線和 x 軸會有兩個交點；如果等於 0，拋物線剛好碰到 x 軸的一點；如果小於 0，拋物線和 x 軸就沒有交點。
二次函數的圖形是國三才會學的內容。像頂點在哪裡、圖形往哪邊開口、還有怎麼畫出圖形，這些都在二次函數和二次函數圖形裡面有完整的說明。
學完一元二次方程式，接下來看什麼
一元二次方程式的公式和計算機工具各有一頁，你可以依照需要直接跳過去看。在學習順序上，乘法公式和因式分解是解題的基礎，學完這些以後，就會接到國三的二次函數。
- 一元二次方程式公式解：這裡會教你公式怎麼讀、怎麼用，還有想出公式的方法，以及最容易算錯的地方。
- 一元二次方程式計算機：只要輸入 a、b、c，馬上就能看到判別式、兩根和根式。
- 因式分解：包含提公因式、乘法公式和十字交乘，這是最快的解法。
- 國二數學：這是國二一整年要學的數學重點整理。
常見問題
一元二次方程式怎麼解？
先把式子整理成 ax² + bx + c = 0 的樣子。如果可以拆成兩個括號相乘，就用因式分解，例如 x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0，這樣 x = 2 或 3；如果拆不開，就用配方法或公式解 x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a 來算。
怎麼知道一元二次方程式有幾個根？
算判別式 b² − 4ac。大於 0 有兩個不同的根，等於 0 是重根，小於 0 沒有實數解。
一元二次方程式是幾年級學的？
依照 108 課綱的安排，這些內容排在國中八年級，也就是國二。裡面會講一元二次方程式是什麼，還有怎麼用因式分解、配方法、公式解來解題和解決實際問題。
一元二次方程式的圖形是什麼？
跟這個方程式配對的二次函數 y = ax² + bx + c 畫出來是一條拋物線。方程式的答案，就是這條拋物線跟 x 軸相交時，交點的 x 坐標。二次函數的圖形會在國三學。