一元二次方程式公式解：求根公式、用法與推導

一元二次方程式公式

公式解根號裡面的 b² − 4ac 叫做判別式，我們常用字母 D 來代表它。D 的大小決定了根號能不能開、開出來是多少，所以先算 D 再代公式，計算會比較清楚。

公式解x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2aax² + bx + c = 0，a ≠ 0

判別式D = b² − 4acD > 0 兩個不同的根，D = 0 重根，D < 0 沒有實數解

兩個根分開寫x = (−b + √D) ÷ 2a 或 x = (−b − √D) ÷ 2aD > 0 時兩個根不一樣

重根x = −b ÷ 2aD = 0 時根號是 0，兩個根相同

拋物線與 x 軸的兩個交點

看這張圖，一條像微笑的拋物線從上面彎下來，跟 x 軸交在兩個地方。左邊交點是 x = 1，右邊交點是 x = 3，這兩個就是方程式 x² − 4x + 3 = 0 的兩個根。拋物線最低點在 (2, −1)，正好在兩個根的正中間。拋物線怎麼畫，可以看二次函數圖形。

拋物線和 x 軸交在 x = 1 和 x = 3，就是 x² − 4x + 3 = 0 的兩個根

公式解的用法：五個步驟

照著固定的步驟寫，就不容易漏掉正負號。最重要的是第一步，等號右邊一定要是 0，a、b、c 才會對。如果係數都是整數、判別式又是完全平方數，也可以改用因式分解來解，通常更快。

先把方程式整理成 ax² + bx + c = 0 的樣子。
接著找出 a、b、c 這三個數字，記得要連同前面的正負號一起看，如果某一個位置沒有數字，它的係數就是 0。
然後算出判別式 D = b² − 4ac，如果 D 小於 0，就直接寫沒有實數解。
把數字代入 x = (−b ± √D) ÷ 2a，如果 √D 裡面有可以開方根化簡的部分，就先化簡。
如果分子和分母有公因數，就把它們約分，最後把算出來的根代回原式檢查一下。

公式解例題

這六題包含判別式是完全平方數、不是完全平方數、等於 0、小於 0，以及 a 是負數的情形。根號開不盡的答案，檢查時要記得把根式代回去展開，根式怎麼化簡可以看根號運算規則。

例 1我們來一起把 x² − 7x + 10 = 0 這個算式解出來吧。

先認出算式裡的三個數字：a 是 1，b 是 −7，c 是 10。
接著算出 D 的值：(−7)² − 4 × 1 × 10 = 49 − 40 = 9。
把數字帶進公式算 x：x = (7 ± √9) ÷ 2 = (7 ± 3) ÷ 2。
所以 x 有兩個答案：x = 10 ÷ 2 = 5，或者 x = 4 ÷ 2 = 2。
最後檢查一下：25 − 35 + 10 = 0，4 − 14 + 10 = 0，答案都對。

答：x = 5 或 x = 2

例 2我們來解這個方程式：3x² + 2x − 5 = 0

先找出公式裡的三個數字：a = 3，b = 2，c = −5
算出 D = 2² − 4 × 3 × (−5) = 4 + 60 = 64
把數字代進公式：x = (−2 ± 8) ÷ 6
算出兩個答案：x = 6 ÷ 6 = 1 或 x = −10 ÷ 6 = −5/3
檢查一下：3 + 2 − 5 = 0；3 × 25/9 − 10/3 − 5 = 25/3 − 10/3 − 15/3 = 0

答：x = 1 或 x = −5/3

例 3我們來解這個方程式：x² − 4x + 1 = 0

先找出三個數字：a = 1，b = −4，c = 1
算出中間那部分：D = 16 − 4 = 12，√12 = 2√3
把數字代進去算 x：x = (4 ± 2√3) ÷ 2 = 2 ± √3
我們來檢查一下：(2 + √3)² − 4(2 + √3) + 1 = 7 + 4√3 − 8 − 4√3 + 1 = 0，2 − √3 同理

答：x = 2 + √3 或 x = 2 − √3

例 4現在我們來解另一個方程式：4x² − 12x + 9 = 0

我們先找出公式裡的三個數字。a 是 4，b 是 −12，c 是 9。
接下來算 D。算式是 D = 144 − 4 × 4 × 9 = 144 − 144 = 0。因為 D 等於 0，代表這個方程式只有一個答案，我們叫它重根。
把數字代進公式算 x。x = 12 ÷ 8 = 3/2。
我們把答案代回去檢查一下。4 × 9/4 − 12 × 3/2 + 9 = 9 − 18 + 9 = 0。因為最後等於 0，代表我們算對啦。

答：x = 3/2（重根）

例 5請解 x² + x + 1 = 0 這個方程式。

先找出 a、b、c 的值。這裡 a = 1，b = 1，c = 1。
算出來 D = 1 − 4 = −3，這個結果比 0 小。
根號裡面是負數，在實數範圍裡是開不出來的。

答：沒有實數解

例 6要解 −x² + 2x + 8 = 0。

如果 a 是負數，可以先把等號兩邊都乘以 −1，變成 x² − 2x − 8 = 0。
現在 a = 1，b = −2，c = −8，算出 D = 4 + 32 = 36。
代進公式得到 x = (2 ± 6) ÷ 2，所以 x = 4 或 x = −2。
我們來檢查一下答案：把數字代進去算，−16 + 8 + 8 = 0，還有 −4 − 4 + 8 = 0，結果都等於 0，代表我們算對了。

答：x = 4 或 x = −2

公式解怎麼來的：用配方法推導

公式解不是憑空背出來的，而是我們對 ax² + bx + c = 0 做了一個叫做「配方法」的動作想出來的。假設 a 是正數，你照下面的步驟寫一次，就會知道公式裡每個符號是從哪裡來的。如果 a 是負數，你可以像上面最後一題一樣，先讓兩邊都乘以 −1 變成正數；而且因為公式裡有 ± 這個符號，代表正和負，所以就算不處理，直接代公式也會得到同樣的兩個答案。

第一步，兩邊同除以 a：x² + (b/a)x + c/a = 0。
第二步，把常數移到右邊：x² + (b/a)x = −c/a。
第三步，兩邊加上 x 係數一半的平方。這裡 x 的係數是 b/a，它的一半是 b/2a，也就是 b ÷ (2a)：x² + (b/a)x + (b/2a)² = b²/(4a²) − c/a。
第四步，左邊湊成完全平方，右邊通分：(x + b/2a)² = (b² − 4ac)/(4a²)。
如果 b² − 4ac 不是負數，就可以開平方根：x + b/2a = ±√(b² − 4ac) ÷ 2a。
把 b/2a 移到等號右邊：x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a。

用公式解最常算錯的地方

用公式解時最容易在符號和分數線上出錯，下面這四種情況最常見。算完以後，用一元二次方程式計算機輸入同樣的 a、b、c 對一次答案，就能知道哪裡出錯。

當 b 是負數時，−b 很容易寫錯：如果 b = −7，那 −b = 7，b² = 49，不是 −49。
只把 √D 除以 2a：2a 是整個分子 −b ± √D 的分母。
沒有先把等式整理好：像 x² = 3x + 4 這種，要先移項寫成 x² − 3x − 4 = 0，這樣 b 才是 −3，c 才是 −4。
約分的時候，不能只算其中一個數。像 (4 ± 2√3) ÷ 2 這樣，上面的 4 和 2√3 都要除以 2，最後才會變成 2 ± √3。

用計算機檢查公式解

你在輸入框打進 a、b、c 三個數字，然後按「計算」按鈕。程式會先幫你寫出判別式 b² − 4ac 的代入算式，接著寫出 (−b ± √D) ÷ 2a 的算式，最後算出兩個根。舉個例子，如果你輸入 1、−4、1，螢幕上會顯示判別式是 12，x 大約是 3.732051 或者大約 0.267949。它也會把答案寫成根式的樣子，就是 x = 2 ± √3，這和前面講的例題是一樣的。

常見問題

一元二次方程式公式解是什麼？

ax² + bx + c = 0 的解是 x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a。這個式子讀作「2a 分之負 b 加減根號 b 平方減 4ac」。記得 a 不能是 0 喔。

判別式是什麼？

公式解根號裡面的 b² − 4ac 叫做判別式。如果它大於 0，就有兩個不同的根；如果等於 0，就是重根；如果小於 0，就沒有實數解。

什麼時候用公式解，什麼時候用因式分解？

如果題目很容易用因式分解（就是把式子拆成兩個括號相乘）來解，用因式分解比較快，例如 x² − 5x + 6 = 0。但如果分解不出來，或者判別式不是完全平方數時，就要用公式解。公式解每一題都能用，很萬能。

一元二次方程式公式解