數學王根號公式：運算規則一覽
這裡面的 a 和 b 都是 0 或者比 0 大的數字。不過要注意的是，當我們做除法時，下面的 b 不能是 0。這幾條是開根號時最常用到的規則，所有的根號計算都是從這裡變化出來的。
面積與邊長：根號的意義
我們用正方形來認識根號。小正方形面積是 2，它的邊長就是 √2。大正方形面積是 8，是小的 4 倍，所以邊長是 √8，化簡後等於 2√2，正好是小的 2 倍。
根號化簡：化成最簡根式
最簡根式就是根號裡面已經沒有比 1 還大的平方因數了。化簡的方法是把根號裡的數拆成「完全平方數 × 剩下的數」，完全平方數開根號後放到外面。如果找不到平方因數，可以先做質因數分解，成對的質因數就能開出來一個。
例 1化簡 √18
- 18 = 9 × 2
- √18 = √9 × √2 = 3√2
答：3√2
例 2化簡 √72
- 72 = 36 × 2
- √72 = 6√2
答：6√2
例 3化簡 √75
- 75 = 25 × 3
- √75 = 5√3
答：5√3
例 4化簡 √180
- 質因數分解：180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5
- 成對的 2 和 3 各開出一個：√180 = 2 × 3 × √5
- = 6√5
答：6√5
用根號計算機檢查化簡
把根號裡的數字打進去，然後按「計算」按鈕。螢幕上會告訴你大約是多少、怎麼化簡成最簡單的根號，還有它夾在兩個整數中間。舉例來說，如果你輸入 72，它會顯示 √72 ≈ 8.485281，也會顯示 √72 = √(36 × 2) = 6√2。不過，化簡這個功能只對整數有用，如果你輸入小數，它只會顯示大約的值。
根號相乘和根號乘法
當兩個根號相乘時，根號外面的數字要相乘，根號裡面的數字也要相乘，最後再化簡。如果相乘後變成完全平方數，答案就會變成整數。
例 1√3 × √12 = ?
- √3 × √12 = √(3 × 12) = √36
- = 6
答：6
例 22√3 × 3√5 = ?
- 先把根號外面的數字相乘：2 × 3 = 6
- 再把根號裡面的數字相乘：√3 × √5 = √15
- = 6√15
答：6√15
例 3√6 × √10 = ?
- √6 × √10 = √60
- 60 = 4 × 15，√60 = 2√15
答：2√15
根號相除和根號分數
根號相除的時候，可以把兩個數字放在同一個根號裡面，然後做除法。如果算出來的分母裡面還有根號，我們要做一個動作叫做「分母有理化」。方法是用分子和分母同時乘以分母裡的那個根號，這樣分母就會變成整數。如果根號裡面裝的是分數，我們可以把它拆開，分子和分母各自開根號。
例 1√48 ÷ √3 = ?
- √48 ÷ √3 = √(48 ÷ 3) = √16
- = 4
答：4
例 26/√3 = ?
- 分子分母同乘 √3：(6 × √3) / (√3 × √3)
- = 6√3 / 3 = 2√3
答：2√3
例 3√(3/4) = ?
- 分子分母分開開根號：√3 / √4
- = √3/2
答：√3/2
例 4√(2/3) = ?
- √(2/3) = √2 / √3
- 分子分母同乘 √3：√6 / 3
答：√6/3
根號加減和根號相加
根號加減和代數的同類項一樣，根號裡的數相同才能合併，把根號外面的係數相加減。所以要先把每一項化成最簡根式，看看根號裡是不是一樣。根號裡不一樣的，就保留原樣，不能硬加在一起。
例 1√12 + √27 = ?
- 先幫它們變簡單：√12 變成 2√3，√27 變成 3√3。
- 再把它們加起來：2√3 + 3√3 = 5√3。
答：5√3
例 2√50 − √8 = ?
- 先化簡：√50 變成 5√2，√8 變成 2√2。
- 再做減法：5√2 − 2√2 = 3√2。
答：3√2
例 3√2 + √3 + √8 = ?
- √8 = 2√2
- √2 + 2√2 = 3√2，√3 不能合併
- = 3√2 + √3
答：3√2 + √3
根號平方和根號次方怎麼算
根號的平方，就是把根號拿掉，(√a)² = a。如果次數更高，可以兩個兩個配成平方：(√a)³ = (√a)² × √a = a√a，(√a)⁴ = a²。如果根號外面有數字（叫做係數），那這個數字和根號都要一起平方。
根號也可以用指數寫，√a 就是 a 的二分之一次方，所以根號的運算規則和指數律是一致的。不過分數次方是高一學指數時才教，國中學的指數律只有非負整數次方，詳見指數律。
例 1(√2)³ = ?
- 把 (√2)³ 拆開成 (√2)² × √2
- = 2 × √2 = 2√2
答：2√2
例 2(√3)⁴ = ?
- 把 (√3)⁴ 拆成 (√3)² × (√3)²
- = 3 × 3 = 9
答：9
例 3(2√3)² = ?
- 係數和根號都平方：2² × (√3)²
- = 4 × 3 = 12
答：12
根號的乘法公式
根號式子也能用乘法公式展開，這是根式運算比較進階的題型，課綱說明這類化簡要等學完乘法公式再處理。分母是 √a − √b 這種兩項的式子時，要乘上 √a + √b，用平方差公式讓分母變成整數。
例 1(√3 + 1)(√3 − 1) = ?
- 用平方差公式：(√3)² − 1²
- = 3 − 1 = 2
答：2
例 2(√2 + 1)² = ?
- 用和的平方公式：(√2)² + 2 × √2 × 1 + 1²
- = 2 + 2√2 + 1 = 3 + 2√2
答：3 + 2√2
例 31/(√3 − √2) = ?
- 把分子和分母同時乘以 √3 + √2
- 分母變成：(√3 − √2)(√3 + √2) = 3 − 2 = 1
- = √3 + √2
答：√3 + √2
根號計算常見錯誤
下面這些錯誤在考試時很常出現。最好的檢查方法是把數字代進去，或者算出大約的數值：如果等號左右兩邊算出來的大約數值不一樣，那就代表你算錯了。
| 錯誤寫法 | 為什麼錯 | 正確結果 |
|---|---|---|
| √2 + √3 = √5 | √2 + √3 ≈ 3.146，√5 ≈ 2.236，不相等 | √2 + √3 不能合併 |
| √(9 + 16) = √9 + √16 | 左邊 √25 = 5，右邊 3 + 4 = 7 | √(9 + 16) = 5 |
| √((−3)²) = −3 | (−3)² = 9，√9 = 3，根號開出來不會是負數 | √((−3)²) = 3 |
| 2√3 = √6 | 2√3 = √(4 × 3) = √12 | 2√3 = √12 |
| 3√2 × 2√2 = 6√2 | √2 × √2 = 2，還要再乘 | 3√2 × 2√2 = 12 |
√(a²) = a 這個規則只在 a 不是負數時才成立；如果 a 是負數，√(a²) 等於 a 的相反數。
先把質因數分解練熟
數學王的練習題是給國小一到六年級學生做的，裡面沒有國中才會學的根號題目。根號化簡最常卡關的地方，是找不到平方因數。而要找平方因數，靠的就是六年級學過的質因數分解。這個關卡會練習質因數、公因數和最簡分數。不用登入，做完後會告訴你答對幾題。
準備好就開始，一共 5 題。
常見問題
根號可以直接相加嗎？
不行。根號裡面的數要一樣才能合併，例如 2√3 + 5√3 = 7√3；√2 + √3 不能寫成 √5，因為 √2 + √3 ≈ 3.146，而 √5 ≈ 2.236。
根號相乘怎麼算？
根號裡面要相乘，外面的係數也要一起相乘，最後再化簡。例如 √3 × √12 = √36 = 6，2√3 × 3√5 = 6√15。
根號的平方是多少？
(√a)² = a，例如 (√5)² = 5。根號外面有係數時都要平方，(2√3)² = 4 × 3 = 12。
分母有根號怎麼辦？
分母有理化就是讓分母變成普通數字，不再帶根號。做法是分子和分母同時乘以分母裡的根號。例如 6/√3，上下同乘 √3，變成 6√3/3，約分後等於 2√3。再例如 1/√2，上下同乘 √2，變成 √2/2。