數學王根號2 近似值表
要找根號 2 的近似值，就是找一個數，讓它自己乘自己最接近 2。下表一位一位往下找，每一列都用平方檢查，左邊的數平方比 2 小、右邊的數平方比 2 大，根號 2 就夾在它們中間。
| 精確到 | 夾在哪兩個數中間 | 平方檢查 | 四捨五入的近似值 |
|---|---|---|---|
| 個位 | 1 和 2 | 1² = 1，2² = 4 | 1 |
| 小數第 1 位 | 1.4 和 1.5 | 1.4² = 1.96，1.5² = 2.25 | 1.4 |
| 小數第 2 位 | 1.41 和 1.42 | 1.41² = 1.9881，1.42² = 2.0164 | 1.41 |
| 小數第 3 位 | 1.414 和 1.415 | 1.414² = 1.999396，1.415² = 2.002225 | 1.414 |
| 小數第 4 位 | 1.4142 和 1.4143 | 1.4142² = 1.99996164，1.4143² = 2.00024449 | 1.4142 |
四捨五入要看下一位：根號 2 = 1.41421356…，所以取到小數第 1 位是 1.4、第 3 位是 1.414，取到第 6 位是 1.414214。
不用計算機怎麼算根號2：十分逼近法
十分逼近法是國中課本教的方法，一次確定一位數字。做法是先找出夾住的兩個整數，再把中間分成十等分一個一個試，平方超過 2 的前一個就是這一位的數字。
- 找整數：1 × 1 = 1 比 2 小，2 × 2 = 4 比 2 大，所以 √2 在 1 和 2 之間。
- 試小數第 1 位：1.4 × 1.4 = 1.96 比 2 小，1.5 × 1.5 = 2.25 比 2 大，所以 √2 是 1.4 多。
- 試小數第 2 位：1.41 × 1.41 = 1.9881 比 2 小，1.42 × 1.42 = 2.0164 比 2 大，所以 √2 是 1.41 多。
- 試小數第 3 位：1.414 × 1.414 = 1.999396 比 2 小，1.415 × 1.415 = 2.002225 比 2 大，所以 √2 是 1.414 多。
- 如果你想要知道更多位的小數，只要用剛剛同樣的方法一直算下去就好。你想要幾位，就多做幾輪計算。
根號計算機：輸入 2 試試看
用計算機算的話，只要輸入 2，螢幕上就會顯示 √2 ≈ 1.414214。計算機還會告訴你，2 裡面沒有大於 1 的平方因數，所以 √2 已經是最簡單的根式了，而且它的大小介於 1 和 2 之間。你也可以試試輸入 8、18、50，計算機會把它們化成 2√2、3√2、5√2。這樣你就會發現，它們其實都是根號 2 的倍數。
為什麼邊長 1 的正方形對角線是根號2
我們來看一個正方形。從一個角連到對面那個角的直線叫做對角線，它把正方形分成了兩個等腰直角三角形。這裡的直角就像書本或桌角那樣方方正正。這兩個三角形的兩條直角邊長度都是 1，而對角線就是斜邊。依照國中二年級學的畢氏定理，斜邊 × 斜邊 = 1 × 1 + 1 × 1 = 2。這表示斜邊是一個自己乘自己等於 2 的數，也就是 √2。
用同樣的道理，不管正方形的邊長是多少，它的對角線長度都是邊長的 √2 倍。舉個例子，如果正方形邊長是 5 公分，那對角線就是 5√2 公分，大約是 7.07 公分。生活中其實也看得到根號 2 的影子。比如 A4 紙，它的長是 297 毫米、寬是 210 毫米。我們算一下 297 ÷ 210，結果約是 1.414。這表示 A4 紙的長邊大約是短邊的根號 2 倍。
根號2 的化簡和運算例題
根號 2 這個數字，常常會在我們把算式整理乾淨後出現。做題的時候，先保留著 √2 就好，不用急著換成小數。等到題目最後問你要「近似值」時，再拿 1.414 這個數值去替換它。
例 1請把 √8 整理成最簡單的樣子，然後算出它大約等於多少，答案要保留到小數點後面第 2 位。
- 我們知道 8 = 4 × 2，這裡的 4 是一個「平方數」，意思就是它剛好是某個整數乘以自己的結果。
- 所以 √8 = √4 × √2 = 2√2
- 2√2 ≈ 2 × 1.414 = 2.828，取到小數第 2 位是 2.83
答：√8 = 2√2，約 2.83
例 2請問 √2 × √2 等於多少？那 √2 + √2 又等於多少呢？
- √2 × √2 = 2，因為根號 2 的意思就是自己乘自己等於 2
- √2 + √2 = 2√2，就像 1 個蘋果加 1 個蘋果是 2 個蘋果
- 2√2 ≈ 2.828，不是 √4 = 2
答：√2 × √2 = 2，√2 + √2 = 2√2
例 3把 1/√2 化成分母沒有根號的樣子，並求近似值。
- 分子分母同乘 √2：1/√2 = √2/(√2 × √2) = √2/2
- √2/2 ≈ 1.414 ÷ 2 = 0.707
答：√2/2，約 0.707
例 4邊長 6 公分的正方形，對角線約幾公分？
- 對角線 × 對角線 = 6 × 6 + 6 × 6 = 72
- 對角線 = √72 = √36 × √2 = 6√2
- 6√2 ≈ 6 × 1.414 = 8.484，取到小數第 1 位約 8.5
答：6√2 公分，約 8.5 公分
根號2 是無理數：為什麼寫不完
像 1/2、0.75、3 這樣可以寫成兩個整數相除的數叫有理數，根號 2 不能寫成兩個整數相除，所以是無理數。它的小數一直寫下去不會結束，也不會出現一段數字一直重複，所以 1.414、1.4142 都只是近似值，寫等於要用「≈」或「約」。
國中二年級用根號 2 練習近似值和根式運算；為什麼根號 2 不能寫成分數的證明，108 課綱放在高中一年級。考試時題目沒有說要近似值，答案就保留 √2，不要自己改成 1.414。
先備練習：小數乘法試做 5 題
數學王的練習題目是給國小一到六年級讀的，沒有國中才會遇到的根號題目。不過，當我們用十分逼近法找近似值時，每一步都要算小數自己乘自己。例如 1.41 × 1.41 = 1.9881，這就是五年級學過的小數乘法。如果乘法算得又快又準，逼近的時候才不會卡住。不用登入，做完會告訴你答對幾題。
準備好就開始，一共 5 題。
常見問題
根號2等於多少？
根號 2 約等於 1.414，更精確是 1.41421356…，小數寫不完也不循環。精確到小數第 6 位是 1.414214。
2 的平方根是多少？
2 的平方根有兩個：√2 和 −√2，約是 1.414 和 −1.414。平常說根號 2，指的是正的 √2。
根號2 怎麼記？
常見的記法是把 1.414 唸成「意思意思」。記不起來也可以從 1.4 × 1.4 = 1.96 很接近 2 開始，用十分逼近法再往下算一位。
根號2 為什麼是正方形的對角線？
邊長 1 的正方形被對角線切成兩個等腰直角三角形。對角線是從一個角連到對面那個角的直線。依畢氏定理，對角線 × 對角線 = 1 × 1 + 1 × 1 = 2，所以對角線長是 √2。