等腰直角三角形

等腰直角三角形的角和邊

把一張正方形的紙，沿著對角線剪開，對角線就是從一個角連到對面那個角的直線。剪開後，你就會得到兩個一模一樣的等腰直角三角形。正方形的角是 90 度，像書本那樣方方正正的直角，被對角線分成兩半，所以剩下的兩個銳角都是 45 度。我們常用的一組三角板裡，有一片就是這個形狀。

從直角頂點畫一條線到斜邊的中點，這條線是斜邊上的高。這條高和斜邊形成直角。這條高也是它的對稱軸。這條高把原來的三角形分成兩個小的等腰直角三角形。小三角形的兩條腰，一條就是這條高，另一條是半個斜邊。所以，高剛好是斜邊的一半。

等腰直角三角形公式

前五條在國小就會用到，最後兩條要先學根號，是國中的內容。

為什麼面積也可以用斜邊 × 斜邊 ÷ 4

在正方形裡面畫兩條對角線，對角線就是從一個角連到對面那個角的直線。這樣畫完後，正方形會被切成 4 個一模一樣的等腰直角三角形。這些三角形的斜邊，其實就是正方形原本的邊。所以，一個等腰直角三角形的面積，就是拿它的斜邊當作邊長去畫一個正方形，然後取那個正方形面積的四分之一。算式就是：斜邊 × 斜邊 ÷ 4。

我們也可以換個角度想。把斜邊當成底，這時候高就是斜邊長度的一半。面積算式是 斜邊 × (斜邊 ÷ 2) ÷ 2，算出來的結果和之前一樣。國小題目常常只告訴我們斜邊的長度，用這個方法就不用先算出腰的長度。一般三角形面積公式是怎麼想出來的，可以看看三角形面積公式。

底邊長公式：先看哪一條是底

等腰直角三角形擺的方向不同，底指的邊也會不一樣，算之前要先看清楚。

• 一條腰放在下面：底就是腰，高是另一條腰，底邊長等於腰長。
• 斜邊放在下面，看起來像屋頂：底是斜邊，高是斜邊的一半。
• 知道面積、想求斜邊那條底：底 × 底 = 面積 × 4，例如面積 25 平方公分，底 × 底 = 100，底是 10 公分。
• 如果你只知道兩條一樣長的腰，想算出那條斜斜的底，公式是：斜邊 = 腰 × 根號 2。不過，根號是國中才會學的符號喔。

邊長比 1 : 1 : 根號 2 和求斜邊（國中）

國中的二年級會學到一個叫畢氏定理的規則。在直角三角形裡，把兩條組成直角的邊各自乘以自己，再加起來，就會等於斜邊乘以斜邊。因為等腰直角三角形的兩條腰一樣長，所以算出來是：斜邊 × 斜邊 = 腰 × 腰 × 2。這表示斜邊的長度是腰的根號 2 倍。這三條邊的長度比例是 1 : 1 : 根號 2。

根號 2 大約等於 1.414，它既不是整數，也不是分數。所以，如果腰的長度是整數，算出來的斜邊一定不是整數。這就是為什麼國小的題目會直接告訴你斜邊有多長。關於根號 2 的意思和近似值，可以看看根號2。其他直角三角形怎麼求斜邊的方法，在直角三角形求斜邊裡有介紹。

等腰直角三角形例題

前面四題是用國小的方法算的，後面兩題用到了根號，那是國中的題目。

等腰直角三角形常見錯誤

算錯的時候，常常是把斜邊和腰弄混了。你要先找到像書本角那樣方方正正的直角，夾著這個直角的兩條邊是腰，對面那條才是斜邊。

• 把斜邊當成腰來算面積：斜邊不和任何一條腰垂直，不能直接拿來當底和高相乘。
• 以為斜邊是腰的 2 倍：兩條腰加起來一定比斜邊長，斜邊只有腰的 1.414 倍左右。
• 不要用「斜邊 × 斜邊 ÷ 2」來算面積。這樣算出來的數字會比真實面積大一倍。如果你只知道斜邊的長度，要記得除以 4 才是對的。
• 不要以為角度是 30 度和 60 度。那是另一種三角板的角度。等腰直角三角形的兩個銳角都是 45 度。

三角形面積和直角練習：試做 5 題

五年級的面積關卡會混著出現三角形、平行四邊形和梯形，可以練習什麼時候要除以 2；三年級的關卡則是在各種斜斜放的圖形裡找直角。不用登入，做完會告訴你答對幾題。

常見問題

延伸學習