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畢氏定理公式
我們先來找斜邊。斜邊是對著直角的那一條邊，也是三條邊裡面最長的那一條。另外兩條邊夾著直角，它們叫做直角邊，國中課本裡也稱它為股。公式裡面的平方，意思就是自己乘自己，例如 a² 就是 a × a。
用三個正方形看懂畢氏定理
在直角三角形的三條邊上，我們各畫一個正方形。正方形的面積，就是它的邊長平方。畢氏定理告訴我們：兩條直角邊上的正方形面積加起來，剛好等於斜邊上那個正方形的面積。看下面的圖，直角邊的長度是 3 和 4，對應的兩個小正方形面積是 9 和 16，把 9 和 16 加起來得到 25，這正好就是斜邊長度 5 所對應的那個大正方形的面積。
為什麼面積一定會相等呢？有好幾種用拼圖來解釋的方法，你可以去畢氏定理證明看看。
畢氏定理口訣和名字的由來
最常聽到的口訣是「勾三股四弦五」。中國古代把直角三角形較短的直角邊叫勾、較長的直角邊叫股、斜邊叫弦，這句話就是直角邊 3 和 4、斜邊 5。古書《周髀算經》記載了周朝商高談到勾三股四弦五，所以這個定理在中國也叫勾股定理或商高定理；西方用古希臘數學家畢達哥拉斯的名字命名，翻成中文就是畢氏定理。
要記住公式的話，可以記「兩股平方和等於斜邊平方」，或者說「勾平方加股平方等於弦平方」。除了 3、4、5 這組數字，還有 5、12、13 和 8、15、17 這些三邊都是整數的組合，考試很常考到。如果你熟記這些數字，就可以省下算開根號的時間，完整的整理在畢氏定理常見組合。
畢氏定理題目
做每一題的時候，都要先看清楚哪一條是斜邊，再決定是要用加法還是減法。如果算出來的答案不是整數，你可以寫成根號的形式，也可以利用下面的根號計算機算出大約是多少。如果你想知道更多關於已知兩條直角邊求斜邊的練習，可以去直角三角形求斜邊看看。
例 1有一個直角三角形，它的兩條直角邊分別是 6 公分和 8 公分，請問它的斜邊是多少？
- 斜邊的平方 = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
- 斜邊 = √100 = 10（公分）
答：10 公分
例 2有一個直角三角形，斜邊長 13 公分，其中一條直角邊長 5 公分，請問另一條直角邊有多長？
- 另一條直角邊的平方 = 13² − 5² = 169 − 25 = 144
- 另一條直角邊 = √144 = 12（公分）
答：12 公分
例 3直角三角形的兩條直角邊是 2 和 3，斜邊是多少？
- 斜邊的平方 = 2² + 3² = 4 + 9 = 13
- 斜邊 = √13，因為 3² = 9、4² = 16，所以 √13 在 3 和 4 中間
- 用計算機算出 √13 ≈ 3.61
答：√13，約 3.61
例 4一支 2.5 公尺長的梯子斜靠在牆上，梯子底端離牆 0.7 公尺，梯子頂端離地面多高？
- 牆和地面是垂直的，意思是它們碰在一起會形成像書本角一樣的直角。梯子是斜邊，長度 2.5 公尺，底端到牆的 0.7 公尺是一條直角邊
- 高² = 2.5² − 0.7² = 6.25 − 0.49 = 5.76
- 高 = √5.76 = 2.4（公尺）
答：2.4 公尺
例 5長方形的長是 12 公分、寬是 5 公分，對角線多長？
- 對角線就是從一個角連到對面那個角的直線。它把長方形切成兩個直角三角形，長和寬是直角邊，對角線是斜邊
- 對角線² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169
- 對角線 = √169 = 13（公分）
答：13 公分
例 6三邊長 6、7、9 的三角形是直角三角形嗎？三邊長 7、24、25 呢？
- 6、7、9：6² + 7² = 36 + 49 = 85，9² = 81，85 不等於 81，不是直角三角形
- 7、24、25：7² + 24² = 49 + 576 = 625，25² = 625，相等，是直角三角形
答：6、7、9 不是；7、24、25 是
畢氏定理常見錯誤
畢氏定理的計算其實不難，大家最常犯的錯，就是認錯了哪一條是斜邊，或者算完忘記開根號。寫完答案後，你可以用「斜邊一定是最長的那條邊」這個規則，快速檢查一下有沒有算錯。
- 把最長邊當成直角邊：如果你知道兩邊是 5 和 13，要算第三邊，因為 13 是最長的，所以它一定是斜邊。這時候要用 13² − 5²，而不是 13² + 5²。
- 忘了開根號：算出 6² + 8² = 100 之後，斜邊的長度是 10，不是 100，因為要對 100 開根號。
- 直接把兩邊相加：3 + 4 = 7 不是斜邊，要先平方再相加。
- 先加起來再平方：(3 + 4)² = 49，這和先各自平方再加起來的 3² + 4² = 25 不一樣。因為 (a + b)² 展開後會多出 2ab 這部分。
- 用在不是直角三角形的圖形上：沒有直角就不能直接用 a² + b² = c²，要先找出或畫出直角。
畢氏定理計算機：用根號計算機算斜邊
數學王的根號計算機一次只能算一個根號。用它來算畢氏定理要分兩步：先自己算出根號裡面的數字，再輸入計算機。如果要求斜邊，就輸入兩條直角邊的平方和；如果要求直角邊，就輸入斜邊的平方減去另一條直角邊的平方。按下「計算」，會顯示近似值、最簡根式，以及答案介於哪兩個整數之間。
舉例來說，直角邊是 5 和 7，先算 5² + 7² = 25 + 49 = 74，輸入 74，得到 √74 ≈ 8.602325，這介於 8 和 9 之間。如果是直角邊 4 和 4，輸入 16 + 16 = 32，會顯示 √32 = 4√2 ≈ 5.656854。如果是斜邊 10、直角邊 6，輸入 100 − 36 = 64，會顯示 √64 = 8。根號的意思和化簡方法在根號。
常見問題
畢氏定理公式是什麼？
直角三角形的兩條直角邊 a、b 和斜邊 c 滿足 a² + b² = c²。要求斜邊就用 √(a² + b²)，要求直角邊就用 √(c² − b²)。
畢氏定理幾年級學？
108 課綱把它安排在國中二年級學，和平方根、根號在同一個學年學習。小學生只認識直角三角形，不會用畢氏定理來算邊長。
畢氏定理口訣是什麼？
最有名的是「勾三股四弦五」。這是在說，如果一個直角三角形（就是有一個角像書本角那樣方方正正的三角形）的兩條直角邊長度分別是 3 和 4，那它的斜邊（就是對著直角的那條邊）長度就是 5。你也可以記成「兩條直角邊的平方加起來，等於斜邊的平方」。
不是直角三角形可以用畢氏定理嗎？
不能直接用。a² + b² = c² 這個算式只在直角三角形裡才成立。不過反過來想，如果一個三角形的三邊長度剛好符合這個算式，那這個三角形一定是直角三角形。所以你可以用這個方法來判斷一個三角形是不是直角三角形。