數學王斜邊 50 以內的畢氏定理常見組合
下面列出斜邊小於 50、而且三個數沒有共同因數的全部 7 組。前四組最常出現在國中題目裡。你可以用兩條短邊的平方和等於最長邊的平方來檢查每一組。
| 三邊長 | 檢查 | 怎麼記 |
|---|---|---|
| 3、4、5 | 9 + 16 = 25 | 最常考，口訣勾三股四弦五 |
| 5、12、13 | 25 + 144 = 169 | 斜邊比長直角邊多 1 |
| 8、15、17 | 64 + 225 = 289 | 斜邊比長直角邊多 2 |
| 7、24、25 | 49 + 576 = 625 | 斜邊比長直角邊多 1 |
| 20、21、29 | 400 + 441 = 841 | 兩條直角邊只差 1 |
| 12、35、37 | 144 + 1225 = 1369 | 斜邊比長直角邊多 2 |
| 9、40、41 | 81 + 1600 = 1681 | 斜邊比長直角邊多 1 |
表裡的每一組都是最簡單的版本。其他整數組合都是這些組合的倍數，或者是斜邊更大的組合。
3 4 5 放大 2 倍、3 倍還是直角三角形
把 3、4、5 的直角三角形放大 2 倍，三邊變成 6、8、10；放大 3 倍變成 9、12、15。形狀完全一樣，只是變大，所以直角還是直角。用算式檢查也一樣：6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10²。
原因是三邊同乘 k 以後，每個平方都變成原來的 k² 倍，等號兩邊一起放大，仍然相等。這種形狀一樣、大小不同的三角形，國三會學到叫做相似三角形。
常見組合的倍數整理
考題常把常見組合放大。看到數字有共同因數時，先把它們都除掉，看看是不是熟悉的組合。例如 15、20、25 都除以 5，就是 3、4、5。
| 基本組合 | 放大 | 三邊長 | 檢查 |
|---|---|---|---|
| 3、4、5 | 2 倍 | 6、8、10 | 36 + 64 = 100 |
| 3、4、5 | 3 倍 | 9、12、15 | 81 + 144 = 225 |
| 3、4、5 | 4 倍 | 12、16、20 | 144 + 256 = 400 |
| 3、4、5 | 5 倍 | 15、20、25 | 225 + 400 = 625 |
| 3、4、5 | 10 倍 | 30、40、50 | 900 + 1600 = 2500 |
| 5、12、13 | 2 倍 | 10、24、26 | 100 + 576 = 676 |
| 5、12、13 | 3 倍 | 15、36、39 | 225 + 1296 = 1521 |
| 8、15、17 | 2 倍 | 16、30、34 | 256 + 900 = 1156 |
小數也可以哦，例如 0.3、0.4、0.5 就是 3、4、5 的 0.1 倍。
自己找出更多組合的方法
下面兩個式子可以一直產生新的組合。課本不要求背，屬於延伸內容，用代數展開就能驗證它們一定成立。
用常見組合快速解題
先把題目的數字和常見組合比對，數字對得上就能直接寫答案，對不上再用畢氏定理平方相加或相減。
例 1直角三角形的兩條直角邊是 9 和 12，斜邊是多少？
- 9 可以拆成 3 × 3，12 可以拆成 4 × 3，所以它們是 3、4、5 這組數字的 3 倍
- 斜邊就是直角三角形裡最長的那條邊，這裡它的長度是 5 × 3 = 15
- 我們來檢查一下：9² + 12² = 81 + 144 = 225，這正好等於 15²
答：15
例 2有一個直角三角形，它的斜邊長 26，其中一條直角邊長 10，請問另一條直角邊有多長？
- 26 可以拆成 13 × 2，10 可以拆成 5 × 2，所以它們是 5、12、13 這組數字的 2 倍
- 另一條直角邊的長度就是 12 × 2 = 24
- 我們來檢查一下：26² − 10² = 676 − 100 = 576 = 24²
答：24
例 3直角三角形有兩條邊是 3 和 4，第三邊一定是 5 嗎？
- 如果 3 和 4 都是直角邊（就是組成那個方方正正角的兩條邊），那斜邊（對著直角的那條邊）= √(9 + 16) = √25 = 5
- 如果 4 是斜邊，那另一條直角邊 = √(16 − 9) = √7，大約是 2.65
- 題目沒有特別說明哪一條是斜邊時，上面兩種情況都要想一下
答：不一定，可能是 5，也可能是 √7
例 4三邊長分別是 15、36、39 的三角形，它是直角三角形嗎？
- 把三個數都除以 3，就會得到 5、12、13。這也是一組很常見的數字組合。
- 我們來檢查一下：15² + 36² = 225 + 1296 = 1521 = 39²。
答：是直角三角形
例 5三邊長分別是 5、6、8 的三角形，它是直角三角形嗎？
- 先算兩條較短邊的平方和：5² + 6² = 25 + 36 = 61。
- 再算最長邊的平方：8² = 64。因為 61 不等於 64，所以它不是直角三角形。
答：不是直角三角形
3 4 5 的角度不是 30 度和 60 度
常見組合只能保證三角形有一個直角，另外兩個角通常不是整數度數。例如 3、4、5 的三角形，它的兩個銳角（就是比直角小的角）大約是 36.87 度和 53.13 度，很多人會誤以為是 30 度和 60 度。如果是 30 度、60 度、90 度的直角三角形，它的最短邊是斜邊的一半，三邊的比是 1 : √3 : 2。因為 √3 不是整數，所以這種三角形的三邊不可能都是整數。更多國小到國中的直角三角形整理在直角三角形，畢氏定理為什麼成立可以看畢氏定理證明。
常見問題
畢氏定理常見組合有哪些？
大家最常看到的組合是 3、4、5，還有 5、12、13、8、15、17、7、24、25。除了這些，它們放大後的倍數也算，例如 6、8、10 和 10、24、26。
畢氏定理 345 是什麼意思？
當直角三角形兩條直角邊的長度是 3 和 4 時，斜邊的長度剛好是 5。這是因為 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²。中國古代的人把這個現象說成「勾三股四弦五」。
6、8、10 也是畢氏定理的組合嗎？
是的。6、8、10 就是 3、4、5 放大 2 倍得到的。算一算看，6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10²。所以，只要把任何常見組合的三個數字都乘以同一個數，等式依然會成立。