數學王證明方法一：拼圖法
準備四個一樣的直角三角形，直角邊 a、b，斜邊 c。左邊把四個三角形放在邊長 a + b 的正方形四個角落，中間空出來的是邊長 c 的正方形。中間這塊的四個角都是直角，因為每個角和兩旁三角形的兩個銳角拼成一直線，兩個銳角相加是 90 度，180 − 90 = 90。
右邊的圖是把同樣的四個三角形兩兩拼在一起，變成兩個長方形。我們把這兩個長方形放在大正方形的右上角和左下角。這樣空出來的地方，剛好是兩個正方形，一個邊長是 a，另一個邊長是 b。你會發現，左右兩邊的大正方形是一樣大的，扣掉的四個三角形也是一樣的。既然大正方形一樣大，拿走的東西也一樣，那剩下的面積一定也一樣大。所以，左邊剩下的面積 c²，就是等於右邊剩下的面積 a² + b²。
拼圖法寫成算式
其實不用把三角形搬來搬去，我們也可以只看左邊的圖。用兩種不同的方法去算大正方形的面積，然後讓這兩個算出來的結果相等。這是課本上最常用的寫法。
證明方法二：趙爽弦圖
很久以前三國時代的數學家趙爽，在解釋《周髀算經》這本書時，畫了一張很有名的圖，叫做弦圖。他畫了一個邊長是斜邊 c 的大正方形，然後在裡面放了四個一模一樣的直角三角形。直角三角形就是有一個角像書本角落那樣方方正正的三角形。這四個三角形的斜邊，正好貼著大正方形的一條邊。放好之後，正中間會空出一個小正方形，這個小正方形的邊長是 b − a。
大正方形的面積是 c²。因為大正方形是由四個三角形和一個小正方形拼成的，所以 c² 等於四個三角形加上小正方形：c² = 4 × (a × b ÷ 2) + (b − a)² = 2ab + a² − 2ab + b² = a² + b²。這個方法和前面拼圖法的不一樣，拼圖法是把三角形放在大正方形外面，而這個方法是把三角形放在大正方形裡面。
證明方法三：梯形證法
這個證明方法是美國的加菲爾德在當選總統之前想出來的。他拿了兩個直角邊是 a 和 b 的直角三角形，擺成下面這張圖的樣子。兩個三角形的斜邊中間，正好夾著一個直角。三個三角形合在一起，變成了一個直角梯形。梯形是有兩條邊像鐵軌一樣平行，永遠不會碰在一起的形狀，上面那條叫上底，下面那條叫下底。這裡上底是 a，下底是 b，高就是從上底筆直往下量到下底的長度，高是 a + b。中間那個三角形的角是直角，原因和拼圖法一樣：它和旁邊兩個尖尖的角（銳角）加起來，正好是一條直線，也就是 180 度。
梯形的面積公式是 (上底 + 下底) × 高 ÷ 2，所以這個梯形的面積是 (a + b) × (a + b) ÷ 2。另外，三個三角形加起來的面積是 a × b ÷ 2 + a × b ÷ 2 + c × c ÷ 2。因為這兩種算法算的都是同一個圖形，所以它們相等。我們把等號兩邊都乘以 2，再整理一下：a² + 2ab + b² = 2ab + c²。等號兩邊同時減去 2ab，一樣得到 a² + b² = c²。這張圖剛好就是前面拼圖法左邊那張圖的一半。
證明方法四：用相似三角形證明
這個證法要先學國中三年級的相似三角形。從直角頂點畫一條垂直斜邊的高，原來的直角三角形被分成兩個小直角三角形，這三個三角形的角都一樣，所以彼此相似。設高把斜邊 c 分成 x 和 y 兩段，靠近直角邊 a 的是 x。
大三角形和靠近 a 的那個小三角形長得很像，所以它們對應的邊長比例也是一樣的。這表示 x 比 a，等於 a 比 c。整理一下這個關係，就可以算出 a² = c × x。用同樣的道理，也可以算出 b² = c × y。現在我們把這兩個算式加在一起：a² + b² = c × x + c × y。因為 x + y 剛好等於整條斜邊 c，所以右邊變成 c × (x + y) = c × c = c²。
- 畫出斜邊上的高，把斜邊分成 x 和 y，x + y = c。
- 大三角形和兩個小三角形都相似，得到 a² = c × x、b² = c × y。
- 相加：a² + b² = c × (x + y) = c²。
用 3、4、5 檢查四種證法
要確認這個證明對所有的直角三角形都有效，我們可以把數字代進去算算看，這樣就知道自己有沒有理解錯了。下面我們用直角邊長度是 3 和 4、斜邊長度是 5 的三角形來算。每一個這樣的小三角形，它的面積是 3 × 4 ÷ 2 = 6。
例 1拼圖法：大正方形的邊長是 3 + 4 = 7，用兩種不同的方法算出來的面積，結果一樣嗎？
- 先看整個大正方形：它的面積是 7 × 7 = 49
- 看左邊的圖：中間有一個邊長 5 的正方形，面積是 5 × 5 = 25；旁邊還有四個三角形，它們加起來的面積是 4 × 6 = 24。把這兩部分加起來，25 + 24 = 49
- 看右邊的圖：裡面有兩個正方形，面積分別是 3 × 3 = 9 和 4 × 4 = 16，加起來是 9 + 16 = 25；旁邊同樣有四個三角形，面積也是 24。總面積還是 49
答：都是 49，c² = 25 = a² + b²
例 2趙爽弦圖：在一個邊長是 5 的正方形裡面，四個三角形加上中間那個小正方形，加起來的總面積是多少？
- 中間那個小正方形，它的邊長是 4 − 3 = 1，所以它的面積是 1。
- 周圍有四個三角形，它們加起來的面積是 4 × 6 = 24。
- 把三角形和小正方形的面積加起來，24 + 1 = 25，這剛好等於 5 × 5。
答：25，剛好是 c²
例 3梯形證法：上底 3、下底 4、高 7 的梯形，面積和三個三角形相等嗎？
- 先算梯形的面積：(3 + 4) × 7 ÷ 2 = 24.5。
- 再算那三個三角形的面積：6 + 6 + 5 × 5 ÷ 2 = 12 + 12.5 = 24.5。
答：都是 24.5
例 4相似證法：斜邊 5 被高分成哪兩段？
- x = a² ÷ c = 9 ÷ 5 = 1.8
- y = b² ÷ c = 16 ÷ 5 = 3.2
- 1.8 + 3.2 = 5，剛好是斜邊
答：1.8 和 3.2
逆定理：三邊滿足 a² + b² = c² 就是直角三角形
108 課綱也要求知道反過來的說法：如果一個三角形的三邊 a、b、c 滿足 a² + b² = c²，它一定是直角三角形。證明方法是另外畫一個直角三角形，兩條直角邊也是 a 和 b。由畢氏定理，它的斜邊平方是 a² + b²，也就等於 c²，所以斜邊就是 c。兩個三角形三邊對應相等，依 SSS 全等，原來的三角形和這個直角三角形全等，c 對面的角也是直角。
這就是為什麼看到 3、4、5 或 5、12、13 這種三個數，就能判斷是直角三角形，常見的整數組合整理在畢氏定理常見組合。
常見問題
畢氏定理怎麼證明最簡單？
拼圖法最容易看懂：邊長 a + b 的正方形裡放四個一樣的直角三角形，一種擺法剩下 c²，另一種擺法剩下 a² 和 b²，所以 a² + b² = c²。
畢氏定理證明方法有幾種？
證明畢氏定理的方法有很多種。國中生常學到的有拼圖法、趙爽弦圖，還有梯形證法。另外有一種相似證法，那是到了國三學完相似三角形之後才會用到的方法。相似三角形就是形狀長得一樣、只是大小不同的三角形。
趙爽弦圖是什麼？
這是三國時代的數學家趙爽畫的圖。他在一個邊長是 c 的大正方形裡面，放四個直角三角形。中間會空出一個小正方形，這個小正方形的邊長是 b − a。大正方形的面積 c²，等於四個三角形的面積加上中間小正方形的面積。四個三角形的面積加起來是 2ab，中間小正方形的面積是 (b − a)²。所以 c² = 2ab + (b − a)²，化簡之後就是 a² + b²。