數學王雙重根號化簡公式
這裡面的 a 和 b 都是正數。如果用減號，就要讓 a 大於或等於 b。這個公式其實是把乘法公式倒過來用：(√a + √b)² = a + 2√(ab) + b。兩邊再一起開根號，就能得到第一個公式了。
用減號時，一定要用大的數減小的數，因為根號開出來的結果不能是負數。舉例來說，√3 − √2 是正數，但 √2 − √3 是負數。所以 √(5 − 2√6) 只能等於 √3 − √2。
雙根號化簡例題
解題步驟固定分三步：先確認根號前面的係數是不是 2，再去找兩數的和與積，最後寫成兩個根號相加或相減。找那兩個數時，從積的因數（就是能整除積的數）去試，速度最快。
例 1把 √(5 + 2√6) 變簡單
- 找兩個數：加起來是 5，乘起來是 6
- 3 + 2 = 5，3 × 2 = 6
- √(5 + 2√6) = √3 + √2
答：√3 + √2
例 2把 √(7 − 2√10) 變簡單
- 加起來是 7，乘起來是 10：5 + 2 = 7，5 × 2 = 10
- 用減號，拿大的數減小的數：√5 − √2
答：√5 − √2
例 3把 √(4 + 2√3) 變簡單
- 兩個數加起來是 4，乘起來是 3：3 + 1 = 4，3 × 1 = 3
- √(4 + 2√3) = √3 + √1 = √3 + 1
答：√3 + 1
例 4把 √(8 − √60) 變簡單
- 先讓係數變成 2：√60 = √(4 × 15) = 2√15
- 我們來看 √(8 − 2√15)。裡面有兩個數字，它們加起來要等於 8，乘起來要等於 15。你可以試試看，5 加 3 剛好是 8，5 乘 3 也剛好是 15。
- = √5 − √3
答：√5 − √3
例 5請把 √(11 − 6√2) 變得簡單一點。
- 把 6√2 改寫成 2 × 3√2 = 2√18
- 現在看 √(11 − 2√18)。裡面兩個數字加起來要等於 11，乘起來要等於 18。你試試看，9 加 2 是 11，9 乘 2 是 18。
- = √9 − √2 = 3 − √2
答：3 − √2
根號前的係數不是 2 怎麼辦
如果裡面的根號前面是 1，例如 √(2 + √3)，沒辦法直接寫成 2√ 的樣子，可以把根號裡乘以 2 再除以 2，也就是把整個式子寫成 √((4 + 2√3)/2)。分子 4 + 2√3 就能用公式化簡，最後再做分母有理化。
如果係數是 4、6 這種偶數，就把一半的係數放進根號裡，例如 4√5 = 2 × 2√5 = 2√20。
例 1化簡 √(2 + √3)
- √(2 + √3) = √((4 + 2√3)/2) = √(4 + 2√3) / √2
- √(4 + 2√3) = √3 + 1，所以原式 = (√3 + 1)/√2
- 分子分母同乘 √2：(√6 + √2)/2
答：(√6 + √2)/2
例 2化簡 √(9 + 4√5)
- 4√5 = 2 × 2√5 = 2√20
- √(9 + 2√20)：和是 9，積是 20，5 + 4 = 9，5 × 4 = 20
- = √5 + √4 = √5 + 2
答：√5 + 2
常見雙根號化簡結果
化簡完可以用近似值檢查：左右兩邊算出來要一樣。下表的近似值四捨五入到小數第四位，可以用根號計算機算出每個根號再加減驗證。
| 雙根號 | 化簡結果 | 近似值 |
|---|---|---|
| √(3 + 2√2) | √2 + 1 | 2.4142 |
| √(3 − 2√2) | √2 − 1 | 0.4142 |
| √(4 + 2√3) | √3 + 1 | 2.7321 |
| √(4 − 2√3) | √3 − 1 | 0.7321 |
| √(5 + 2√6) | √3 + √2 | 3.1463 |
| √(5 − 2√6) | √3 − √2 | 0.3178 |
| √(6 + 2√5) | √5 + 1 | 3.2361 |
| √(7 + 2√10) | √5 + √2 | 3.6503 |
| √(8 + 2√15) | √5 + √3 | 3.9681 |
√(3 + 2√2) 的和是 3、積是 2，兩個數是 2 和 1；√1 = 1，所以結果寫成 √2 + 1。
哪些雙重根號不能化簡
不是每個雙根號都能拆開。以 √(3 + 2√5) 為例，我們要找兩個數，它們加起來是 3、乘起來是 5。可是，加起來是 3 的正整數只有 1 和 2，它們乘起來是 2，不是 5。就算換成分數或小數也找不到，因為兩個數加起來是 3 時，它們乘起來的最大值只有 1.5 × 1.5 = 2.25，比 5 小。這種雙根號就只能保留原樣，或用計算機算出大約的數值。
考試題目通常會設計成找得到兩個整數的情形。如果試了積的所有因數組合都湊不出和，先回頭檢查係數有沒有變成 2，再檢查是不是抄錯題目。
常見問題
雙重根號化簡公式是什麼？
√(a + b + 2√(ab)) = √a + √b，√(a + b − 2√(ab)) = √a − √b，其中 a ≥ b。例如 √(5 + 2√6) = √3 + √2。
雙根號怎麼化簡？
先讓裡面根號前的係數變成 2，再找兩個數，讓它們加起來等於根號外面的數、乘起來等於根號裡面的數，最後寫成兩個根號相加或相減。如果是減號，要記得用大的數減小的數。
雙根號是國中還是高中教？
雙重根號化簡要用到國二學的乘法公式。108 課綱寫明這類根式等學完乘法公式再處理，屬於國二根式化簡的進階題型。高一的課程還會再學根式的運算。