指數律

指數是什麼

把同一個數字連著乘好幾次，可以寫成比較短的「次方」。例如 2 × 2 × 2 × 2 × 2 可以寫成 2⁵，讀作 2 的 5 次方。這裡的 2 叫做底數，5 叫做指數，意思是有 5 個 2 乘在一起，算出來是 2⁵ = 32。再看 10³ = 10 × 10 × 10 = 1000，所以 10 的幾次方，就是 1 後面接幾個 0。

如果底數是負數，要加上括號。例如 (−3)² = (−3) × (−3) = 9，但 −3² = −9，因為只有 3 被平方，負號在外面。這部分在負數有更多例子。另外規定 a¹ = a；當 a 不是 0 時，a⁰ = 1。為什麼呢？因為 2³ ÷ 2³ = 1，用指數律算又是 2³⁻³ = 2⁰，兩個答案要一樣，所以 2⁰ = 1。國中不討論 0 的 0 次方，所以 0 次方的底數不能是 0。

指數律公式

國中要學的指數律公式有下面幾條，m、n 是 0 或正整數。前三條是同一個底數的運算，第四、五條是底數不同、但指數相同的運算。

同底數相乘：指數相加

我們來算 2 的 3 次方乘以 2 的 2 次方。把 2 的 3 次方拆開，就是 2 乘 2 再乘 2；把 2 的 2 次方拆開，就是 2 乘 2。把這些 2 全部連在一起，數一數，總共有 5 個 2 相乘，所以答案就是 2 的 5 次方。這告訴我們，底數一樣的兩個次方相乘時，只要把指數加起來就可以了。

指數律口訣和為什麼成立

指數律不用死背，把次方展開數一數有幾個底數就懂了。2³ × 2² = (2 × 2 × 2) × (2 × 2)，一共 5 個 2，所以是 2⁵，指數 3 + 2 = 5。2⁵ ÷ 2² 是 5 個 2 約掉 2 個 2，剩下 3 個，所以是 2³。(2³)² = 2³ × 2³，是 2 組各 3 個 2，一共 6 個，所以是 2⁶。

整理成口訣，方便考試時快速想起來。

• 同底相乘，指數相加。
• 底數一樣的話，相除時指數要相減。
• 次方再進行次方運算時，指數要相乘。
• 兩個數相乘後再取次方，要把每個因數（就是相乘的那個數）都分別取次方。
• 只要不是 0 的數，它的 0 次方結果都是 1。

指數律例題

做題目時，先看看底數是不是一樣。如果底數不一樣，常常可以把其中一個數換成另一個底數的次方。例如 4 = 2²、8 = 2³、9 = 3²。換成同底數後，就可以使用指數律了。

指數律常見的錯

• 把 2³ × 2⁴ 寫成 4⁷ 是錯的。因為底數相同的時候相乘，底數要保持不變，所以答案應該是 2⁷。
• 把 2³ × 2⁴ 寫成 2¹² 是錯的。指數律規定同底數相乘時，指數要相加，不是把指數相乘。
• 不要把 (2³)² 和 2 的 3² 次方搞混。算 (2³)² 時，指數相乘得到 2⁶ = 64，但 2 的 3² 次方是 2⁹ = 512。
• 2³ × 3² 不能合併。因為底數和指數都不同，這時候不能用指數律，只能直接算 8 × 9 = 72。
• 不要把 −2⁴ 當成 16。沒有括號時，只有 2 被乘方，所以 −2⁴ = −16，只有 (−2)⁴ 才是 16。

指數律加減怎麼算

指數律只適用於乘法、除法還有次方運算，沒有加法或減法的公式。比如說 2³ + 2⁴ = 8 + 16 = 24，但是 2⁷ = 128，所以 2³ + 2⁴ 不等於 2⁷。當你要做次方的加法或減法時，有兩種做法：如果數字比較小，就直接算出答案；如果底數相同，可以提出公因數，再利用指數律來計算。

如果同一個次方加了幾次，就是乘以幾，例如 2⁴ + 2⁴ = 2 × 2⁴。如果指數不同，要提出比較小的那個次方，例如 5³ + 5² = 5² × 5 + 5² = 5² × (5 + 1)。

指數律題目（附答案）

接下來的 15 道題，難度會慢慢增加。前面的題目直接套用公式就好，後面幾題要先轉換成相同的底數，最後兩題則是指數的加法與減法。你可以先遮住答案欄自己算一算，算完再對照答案。

第 8 題 9² = (3²)² = 3⁴；第 9 題 8² = (2³)² = 2⁶；第 13 題 0.5 × 2 = 1，所以是 1⁴。

高中指數律：負指數和分數指數

到了高一的數學課，會再複習國中學過的指數律，然後把指數的範圍擴大，從原本的 0 和正整數，擴展到負整數、分數，最後變成所有實數。擴大的方法是讓國中的公式繼續有效：因為 2³ ÷ 2⁵ 應該等於 2³⁻⁵ = 2⁻²，而實際算出來是 8 ÷ 32 = 1/4，所以規定 2⁻² = 1/2²。同樣地，(9 的 1/2 次方)² 應該等於 9¹ = 9，所以 9 的 1/2 次方就是 √9 = 3。

高中的指數律公式和國中長得一樣，aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ、aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ、(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ、(a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ，但 m、n 可以是任何實數，相除也不再需要 m ≥ n，代價是底數 a、b 要限定是正數。國一只會在科學記號用到 10 的負次方，其他底數的負次方和分數次方都是高一的內容。

• 負整數指數：a⁻ⁿ = 1/aⁿ，例如 2⁻³ = 1/8，10⁻² = 0.01。
• 分數指數：a 的 1/n 次方 = a 的 n 次方根，例如 9 的 1/2 次方 = √9 = 3。
• a 的 m/n 次方 = (a 的 n 次方根)ᵐ，例如 8 的 2/3 次方 = (∛8)² = 2² = 4。
• 4 的 −1/2 次方 = 1 ÷ √4 = 1/2。
• 2 的 1/2 次方 × 2 的 3/2 次方 = 2 的 (1/2 + 3/2) 次方 = 2² = 4。

指數律的相關主題

指數律是國一數學課裡「數與量」的重要內容，學完這頁，你就可以接著去看下面這些主題了。

• 科學記號：用 10 的次方來表示非常大或非常小的數字，馬上就會用到指數律。
• 負數：負數的次方和括號的差別。
• 質因數分解：到了國中一年級，我們要把數字拆成幾個小數字相乘的樣子，這叫做標準分解式。舉例來說，360 = 2³ × 3² × 5。
• 乘法公式：到了國中二年級，算多項式的時候，常常會遇到底數一樣的數相乘，這時候就要用到這個規則。

常見問題

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