數學王質因數分解是什麼
我們先來認識兩個新名詞。因數就是能把一個數剛好除盡的數。如果一個數只有 1 和它自己這兩個因數，它就叫質數，就像 7 只能寫成 1 × 7 一樣。但如果一個數除了 1 和自己以外，還有別的因數，它就叫合數，例如 12 可以寫成 3 × 4。至於 1 呢，它只有一個因數，所以它既不是質數，也不是合數。
在一個數的所有因數裡面，那些本身是質數的，我們叫它質因數。拿 60 來說，它的因數有 1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60。裡面 2、3、5 是質數，所以 60 的質因數就是 2、3、5。如果我們把 60 拆開，寫成質因數相乘的樣子，也就是 2 × 2 × 3 × 5，這個過程叫做質因數分解。你要特別注意，2 要寫兩次，因為 60 裡面其實藏著兩個 2，如果少寫一個，乘回去就不會是 60 了。
很多人以為找質因數分解有一條固定的公式可以代數字，其實沒有喔。我們靠的是不斷除以質數來找。到了國中，我們會把重複出現的質數寫成次方的樣子，例如把 360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 寫成 2³ × 3² × 5。這種寫法叫做標準分解式，是國中一年級才會學的進階寫法。
- 20 以內的質數有：2、3、5、7、11、13、17、19
- 20 以內的合數有：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20
- 2 是唯一一個雙數的質數。其他雙數都能被 2 整除，所以它們都是合數。
質因數分解法一：樹狀圖
樹狀圖很適合剛開始學的小朋友。我們先把 60 拆成兩個數相乘，想到哪一組都可以，例如 6 × 10。如果拆出來的數還能繼續拆，就繼續往下拆：6 = 2 × 3，10 = 2 × 5。一直拆到每個數都是質數就停下來，最下面圈起來的數乘在一起就是答案。
如果你一開始拆成 4 × 15 或 2 × 30，最後圈起來的數還是一樣是 2、2、3、5。這個特點讓小朋友可以放心用自己熟悉的乘法去拆，不用擔心拆錯方向。
質因數分解法二：短除法
短除法是國小課本裡常用的做法，也是考試最常看到的寫法。我們從最小的質數 2 開始試，如果能整除，就把 2 寫在左邊、商寫在下面；如果 2 除不了，就換 3，再換 5、7，一直除到下面剩下的數是質數為止。左邊的除數和最下面的質數乘起來，就是質因數分解。
判斷能不能除有三個好用的方法：個位數是 0、2、4、6、8 的數能被 2 整除；每一位的數字加起來是 3 的倍數，這個數就能被 3 整除；個位數是 0 或 5 的數能被 5 整除。
例 1用短除法做 360 的質因數分解。
- 360 是雙數，除以 2 得 180
- 180 是雙數，除以 2 得 90
- 90 是雙數，除以 2 得 45
- 45 是單數，4 + 5 = 9 是 3 的倍數，除以 3 得 15
- 15 除以 3 得 5，5 是質數，停
- 360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5
答：360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5
例 2用短除法做 252 的質因數分解。
- 先拿 252 除以 2，得到 126。因為 126 還是雙數，我們再除以 2，得到 63。
- 63 是單數，6 + 3 = 9 是 3 的倍數，除以 3 得 21
- 21 除以 3 得 7，7 是質數，停
- 把我們除過的數寫在一起，252 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7。
答：252 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7
例 384 拆成質因數相乘，結果是什麼呢？
- 先把 84 除以 2，得到 42；再把 42 除以 2，得到 21。
- 21 除以 3 得 7，7 是質數，停
- 所以，84 = 2 × 2 × 3 × 7。
答：84 = 2 × 2 × 3 × 7
91 的質因數分解：看起來像質數的數
91 這個數字，很多小朋友都會寫錯。它是一個單數，所以不能被 2 整除。把它的數字加起來，9 + 1 = 10，10 不是 3 的倍數，所以也不能被 3 整除。它的個位數字不是 0 也不是 5，所以也不能被 5 整除。試過 2、3、5 之後，大家很容易就誤以為 91 是質數了。
我們的 108 課綱特別規定，49、77、91 這三個數字，在國小階段是可以出現的。這三個數字都要用 7 去試除，才能拆開。所以，當 2、3、5 都除不了的時候，請記得接著去試 7、11、13、17、19。
例 191 是質數嗎？請把它做質因數分解。
- 我們先試試看 2、3、5 能不能把 91 整除，結果發現都不行。
- 換個數字試試看 7：算一算 91 ÷ 7 = 13，剛好可以整除。
- 因為 13 是質數，所以我們就可以停止計算了。
- 我們得到 91 = 7 × 13，這表示 91 不是質數。
答：91 = 7 × 13，不是質數
例 249 和 77 的質因數分解是什麼？
- 49 ÷ 7 = 7，所以 49 = 7 × 7。
- 77 ÷ 7 = 11，77 = 7 × 11
答：49 = 7 × 7，77 = 7 × 11
常見數字的質因數分解對照表
下面是課本和考卷常出現的數。51 和 57 也是容易看錯的數，它們的數字和 5 + 1 = 6、5 + 7 = 12 都是 3 的倍數，所以都能被 3 整除。
| 數 | 質因數分解 | 用到的質因數 |
|---|---|---|
| 12 | 2 × 2 × 3 | 2、3 |
| 18 | 2 × 3 × 3 | 2、3 |
| 24 | 2 × 2 × 2 × 3 | 2、3 |
| 36 | 2 × 2 × 3 × 3 | 2、3 |
| 48 | 2 × 2 × 2 × 2 × 3 | 2、3 |
| 51 | 3 × 17 | 3、17 |
| 57 | 3 × 19 | 3、19 |
| 72 | 2 × 2 × 2 × 3 × 3 | 2、3 |
| 91 | 7 × 13 | 7、13 |
| 100 | 2 × 2 × 5 × 5 | 2、5 |
| 120 | 2 × 2 × 2 × 3 × 5 | 2、3、5 |
| 143 | 11 × 13 | 11、13 |
想檢查其他數字拆得對不對，可以用質因數分解計算機，輸入一個數就會列出每一步。
質因數分解可以用來做什麼
質因數分解最常用在求最大公因數和約分。把兩個數都分解以後，兩邊都有的質因數乘起來，就是它們的最大公因數。
例 1用質因數分解求 60 和 84 的最大公因數，再把 60/84 約成最簡分數。
- 60 = 2 × 2 × 3 × 5，84 = 2 × 2 × 3 × 7
- 看看兩邊都有的數字是哪些，這裡有 2、2、3。把這些數字乘起來：2 × 2 × 3 = 12，這就是最大公因數。
- 用 60 除以 12，得到 5；再用 84 除以 12，得到 7。
- 所以 60/84 化簡後就是 5/7。
答：最大公因數是 12，60/84 = 5/7
例 2延伸題：360 有幾個因數？因數就是能整除 360 的數字。這個算法是國中才會學的，國小考試不會考。
- 360 = 2³ × 3² × 5
- 把每個質數的個數加 1，再全部乘起來：(3 + 1) × (2 + 1) × (1 + 1)。
- 4 × 3 × 2 = 24
答：24 個
質因數分解練習：馬上試做 5 題
「質因數和最簡分數」的練習題裡，會有質因數分解的填空題，例如 36 = 2 × 2 × 3 × ?。也會考最大公因數、最小公倍數和約分。如果你還沒學過質因數，可以先練習「公因數和公倍數」。不用登入，做完會告訴你答對幾題。
準備好就開始，一共 5 題。
質因數分解常見的錯
寫完最好把答案乘回去檢查一次。乘出來等於原來的數，而且每個數都是質數，才算做完。這些是最大公因數單元裡的基本功，熟了以後求公因數、公倍數和約分都會快很多。
國二化簡根號時也會用到質因數分解，例如 √72 = 6√2，見根號運算規則。
- 把 1 寫進去：60 = 1 × 2 × 2 × 3 × 5 不算錯在乘積，但 1 不是質數，不能寫在質因數分解裡。
- 留下合數：60 = 4 × 15 乘起來對，但 4 和 15 都還能拆，要拆到全部都是質數。
- 不要漏寫重複的質數。以 60 為例，它的質因數有 2、3、5，但在質因數分解時，要寫成 2 × 2 × 3 × 5，因為 2 出現了兩次，所以都要寫出來。
- 不要只試到 2、3、5 就停下。像 91 和 77 這種數字，要試到 7 才能拆開；143 則要試到 11 才行。
常見問題
質因數分解是幾年級學的？
在 108 課綱裡，這部分安排在國小六年級學習。我們只用 20 以內的質數，並用短除法來計算。到了國中一年級，會學到 100 以內的質數，還會用次方來寫標準分解式。
91 是質數嗎？
不是。91 = 7 × 13，它不能被 2、3、5 整除，所以很多人誤以為它是質數，其實要用 7 去試才拆得開。
質因數分解有公式嗎？
沒有可以直接代入的公式。做法是從 2 開始，一直除以質數，直到剩下的數也是質數為止。國中的標準分解式，例如 360 = 2³ × 3² × 5，只是把結果寫得比較短的寫法，不是計算的方法。
1 為什麼不是質數？
質數要剛好有 1 和自己兩個因數。1 的因數只有 1 一個，所以 1 不算質數，也不算合數。如果 1 算質數，同一個數就會有很多種寫法，例如 6 = 2 × 3 = 1 × 2 × 3。