數學王最大公因數的所有內容
最大公因數是什麼
如果一個數可以被另一個數整除，後面那個數就是它的因數。因數就是能剛好除得盡、沒有剩餘的數。比如 12 ÷ 3 = 4，因為沒有餘數，所以 3 是 12 的因數。好幾個數都有的因數叫做公因數，公因數裡面最大的那一個，就叫最大公因數。
每一組數一定都有公因數 1。如果兩個數的最大公因數是 1，例如 8 和 15，就說這兩個數互質。互質就是它們除了 1 以外，沒有其他共同的因數。
最大公因數最常用在約分：把分子和分母同時除以最大公因數，一次就能變成最簡分數。例如 18/24，18 和 24 的最大公因數是 6，同時除以 6 得到 3/4。約分和通分的完整說明在通分約分。
最大公因數怎麼算：三種方法
用三種方法算出來的答案一定一樣，差別在於數字的大小。如果數字比較小，用第一種方法最直觀；如果數字比較大，就用第二或第三種方法。
例 1方法一：列出因數。求 12 和 18 的最大公因數。
- 12 的因數：1、2、3、4、6、12
- 18 的因數有：1、2、3、6、9、18
- 公因數：1、2、3、6
- 最大的公因數是 6
答：6
例 2方法二：用質因數分解法。我們來求 24 和 36 的最大公因數。
- 24 = 2 × 2 × 2 × 3
- 36 = 2 × 2 × 3 × 3
- 兩邊都有的一樣質因數是 2、2、3
- 最大公因數 = 2 × 2 × 3 = 12
答：12
例 3方法三：短除法。求 48 和 60 的最大公因數。
- 48 和 60 都能被 2 整除，除完得到 24 和 30
- 24 和 30 都能被 2 整除，除完得到 12 和 15
- 12 和 15 都能被 3 整除，除完得到 4 和 5
- 4 和 5 除了 1 以外沒有公因數，停止
- 把左邊那一列的除數全部乘起來：2 × 2 × 3 = 12。
答：12
短除法求最大公因數
短除法是把質因數分解寫成一個直式的樣子，一次處理兩個數。每一層，我們都找一個兩個數都能整除的質數寫在左邊，把除出來的商寫在下面。我們一直除，直到下面兩個數除了 1 以外，沒有其他公因數為止。
左邊直排的那些數乘起來，就是最大公因數。如果再把最下面那一排的數也乘進去，就是最小公倍數：2 × 2 × 3 × 4 × 5 = 240。
最大公因數和最小公倍數的差別
最大公因數和最小公倍數常常一起考，名字也很像，小朋友最容易搞混。記法是：因數是往下拆，所以最大公因數不會超過原來的數；倍數是往上乘，所以最小公倍數不會小於原來的數。
| 最大公因數 | 最小公倍數 | |
|---|---|---|
| 意思 | 共同的因數裡最大的 | 共同的倍數裡最小的 |
| 大小 | 不大於原來最小的數 | 不小於原來最大的數 |
| 12 和 18 | 6 | 36 |
| 短除法怎麼取 | 只乘左邊的除數 | 左邊的除數再乘最下面一排 |
| 生活裡用在 | 平分、剪成一樣長、約分 | 同時發生、排成正方形、通分 |
當只有兩個數的時候，有一個很神奇的規律可以用來檢查答案。你試試看：12 × 18 = 216，還有 6 × 36 = 216。發現了嗎？這兩個數相乘的結果，正好等於它們的最大公因數乘以最小公倍數。不過要注意哦，如果有三個或三個以上的數，這個規律就不一定適用了。
常見的最大公因數對照表
這些組合在課本和考卷上很常出現。你可以拿它們來對對看答案，也可以把右邊兩欄遮起來，自己先算一算當作練習。
| 兩個數 | 最大公因數 | 最小公倍數 |
|---|---|---|
| 8 和 12 | 4 | 24 |
| 12 和 18 | 6 | 36 |
| 15 和 25 | 5 | 75 |
| 16 和 24 | 8 | 48 |
| 24 和 36 | 12 | 72 |
| 30 和 45 | 15 | 90 |
| 48 和 60 | 12 | 240 |
| 8 和 15 | 1 | 120 |
8 和 15 的最大公因數是 1。當兩個數的最大公因數是 1 時，我們說這兩個數是「互質」的。這時候，它們的最小公倍數就是直接把這兩個數相乘。
最大公因數應用題
做題時要學會看關鍵字。如果你看到「平分」、「剪成一樣長」、「最多能分給幾人」或是「最大的正方形」，通常就是要找最大公因數。如果看到「同時」、「再一次一起」或是「最少要幾個」，通常就是要找最小公倍數。
例 1有一張長 36 公分、寬 24 公分的紙，要把它剪成大小一樣的正方形，而且不能有任何剩下。請問正方形的邊長最大可以是幾公分？總共可以剪成幾個？
- 正方形的邊長必須同時能整除 36 和 24，也就是說它要是這兩個數的因數，而且還要盡可能大，所以我們要來求最大公因數。
- 36 = 2 × 2 × 3 × 3，24 = 2 × 2 × 2 × 3，最大公因數 = 2 × 2 × 3 = 12
- 長可以剪 36 ÷ 12 = 3 個，寬可以剪 24 ÷ 12 = 2 個
- 一共 3 × 2 = 6 個
答：邊長 12 公分，可以剪成 6 個
例 2延伸題：有 12 顆蘋果、18 顆橘子和 30 顆糖果，要平分給小朋友，每種都要剛好分完。最多可以分給幾個人？國小課本只要求兩個數，三個數的做法一樣，學有餘力再挑戰。
- 人數要同時整除 12、18、30，求三個數的最大公因數
- 短除法：12、18、30 同除以 2，得到 6、9、15
- 6、9、15 同除以 3，得到 2、3、5，沒有公因數了
- 最大公因數 = 2 × 3 = 6
答：最多 6 個人
例 3A 路公車每 6 分鐘一班，B 路公車每 8 分鐘一班。如果早上 7 點兩路公車同時發車，下一次同時發車是幾點幾分？
- 這題要找 6 和 8 共同的倍數裡最小的那一個，也就是最小公倍數。
- 6 和 8 的最大公因數是 2，最小公倍數 = 2 × 3 × 4 = 24
- 所以是 7 點過 24 分鐘。
答：7 點 24 分
最大公因數練習：馬上試做 5 題
「公因數和公倍數」這單元會考你找因數的數量、最大公因數和最小公倍數。「質因數和最簡分數」則會考質因數分解、最大公因數、最小公倍數和約分。你不用登入，做完題目後，系統會直接告訴你答對幾題。
準備好就開始，一共 5 題。
因數和倍數的相關主題
因數與倍數是國小數學五、六年級很重要的一部分，也是之後學分數約分、通分的基礎。如果你想再深入學習，可以看下面這些主題。
用遊戲練因數和倍數
要熟悉因數和倍數，光寫練習題很容易覺得無聊。數學王裡有兩個好玩的小遊戲：「餅乾分裝」是練習因數的，你要把餅乾平均裝進盒子裡；「餅乾火車」則是練習倍數的。題目從簡單慢慢變難，一開始比較簡單，讓小朋友先建立信心。
在家裡也可以玩：家長說一個數字，例如 24，小朋友輪流說出它的因數，說不出來或說錯的人就輸。等玩熟了以後，可以改成說兩個數字，搶著回答它們的最大公因數。
常見問題
最大公因數怎麼算最快？
如果數字比較小，可以直接把因數一一列出來；如果數字比較大，就用短除法，把左邊的除數全部乘起來，得到的結果就是最大公因數。三個數字也能用短除法，但是國小課本目前只要求會算兩個數字。
最大公因數和最小公倍數差在哪裡？
最大公因數是兩個數共同的因數裡面最大的那一個，它不會比原來的數字還大；最小公倍數是兩個數共同的倍數裡面最小的那一個，它不會比原來的數字還小。舉例來說，12 和 18 的最大公因數是 6，最小公倍數是 36。
最大公因數是幾年級學的？
按照 108 課綱的安排，五年級會先認識公因數和公倍數，六年級則會學質因數分解，以及用短除法求最大公因數和最小公倍數。五年級主要是了解這些名詞的意思，不需要用短除法；六年級學的質因數分解，用到的質數只到 20 以內，比 20 還大的質數要等到國中才會學。
兩個數的最大公因數是 1 代表什麼？
這代表這兩個數是互質的，意思是除了 1 以外，它們沒有共同的因數，就像 8 和 15 這樣。遇到這種情況，它們的最小公倍數就是直接把兩個數相乘，例如 8 × 15 = 120。