開始練習

負數

負數就是比 0 小的數字。我們會在數字前面加一個負號來表示它，比如 −3 要讀成負三。如果你畫一條數線，負數都排在 0 的左邊。離 0 越遠的負數，其實越小，所以 −5 < −2 < 0。生活中有很多地方會用到負數，例如氣溫零下 3 度、海平面以下 20 公尺，或者做生意虧損 100 元，都可以用負數記下來。

108 課綱把負數安排在國中一年級學。國一的時候，我們會把國小學過的數線往 0 的左邊再延伸出去。接著會學正負數的加減乘除、絕對值、指數，還有直角坐標平面。這些都是國中數學後面每個單元的基礎。正負數加減的大量練習整理在正負數加減題目；絕對值方程式和絕對值不等式要到高一才學，這頁先說明它們和負數的關係。

先看重點

  • 負數比 0 小，在數線上排在 0 的左邊。0 很特別，它既不是正數，也不是負數。
  • 比較兩個負數的大小時，離 0 越遠的那個數越小。例如 −8 < −3。
  • 乘法或除法時，如果符號相同結果就是正數，符號不同結果就是負數。例如 (−3) × (−4) = 12，(−12) ÷ 3 = −4。
  • (−2)⁴ = 16，但 −2⁴ = −16。有沒有括號，決定負號要不要一起參與計算。

負數的所有內容

負數是什麼

在國小，我們學的數字都是從 0 開始往大的方向數。但是在生活裡，常常會遇到比 0 還少的情況。例如，氣溫冷到 0 度以下，或者你花掉的錢比存下的錢還多。為了表示這種跟正方向相反的數量，我們會在數字前面加一個負號，寫成 −3、−2.5、−1/2。這些比 0 小的數字叫做負數。那原本的 3、2.5、1/2 叫做正數，正號通常省略不寫。

像 3 和 −3 這樣，只有負號不同的兩個數字，叫做互為相反數。在數線上，它們分別在 0 的左右兩邊，而且到 0 的距離是一樣的遠。0 的相反數還是 0。0 比所有的正數小，卻比所有的負數大，所以 0 既不是正數，也不是負數。

  • 氣溫：零上 5 度記作 5 度，零下 3 度記作 −3 度。
  • 高度：把海平面當作 0，山高 300 公尺記作 300 公尺，海平面以下 20 公尺記作 −20 公尺。
  • 錢：賺 100 元記作 100 元，虧損 100 元記作 −100 元。
  • 時間：把現在當作 0，3 天後記作 3，3 天前記作 −3。

含負數的數線

國中的數線也有原點、正方向和單位長這三個東西。只是它在 0 的左邊也畫了刻度，依序是 −1、−2、−3。你往右看，數字越大；往左看，數字越小。所以數線右邊的數，一定比左邊的數大。

下圖中 −3 和 3 到 0 都是 3 格，表示它們到 0 的距離都是 3，這個距離就是絕對值。比兩個負數誰大誰小時，離 0 越遠的在越左邊，反而越小，例如 −8 < −3。

−5−4−3−2−1012345距離 3距離 3負數：0 的左邊正數：0 的右邊
數線從 −5 到 5，−3 和 3 互為相反數，到 0 的距離都是 3

正負數的加減乘除規則

算正負數時，先決定答案的正負號，再算數字的部分。加減要看符號是否相同，乘除只看負號有幾個。更多加減練習和口訣在正負數加減題目。

同號相加絕對值相加，保留共同的符號(−8) + (−5) = −13
異號相加絕對值大的減小的，取絕對值大的符號(−9) + 4 = −5，9 + (−4) = 5
減法減一個數 = 加上它的相反數5 − (−3) = 5 + 3 = 8
乘法與除法同號得正，異號得負(−6) × (−5) = 30，(−24) ÷ 6 = −4
連乘負數有偶數個得正，奇數個得負(−1) × (−2) × (−3) = −6

負數運算例題

為什麼負數乘負數會變成正數？我們來看 (−3) 乘上一串越來越小的數字：(−3) × 2 = −6，(−3) × 1 = −3，(−3) × 0 = 0。你發現了嗎？後面那個數字每少 1，答案就多 3。照著這個規律繼續往下想，(−3) × (−1) = 3，(−3) × (−2) = 6。所以，負負得正就是為了讓計算規則前後一致的結果。

例 1計算 (−7) + 4。

  1. 正負號不同的數相加，絕對值（就是不看正負號的大小）7 比 4 大
  2. 7 − 4 = 3，取 −7 的負號

答：−3

例 2請算一算 5 − (−3) 等於多少。

  1. 減去一個負數，其實就等於加上它的正數，所以減 −3 就是加 3。
  2. 接著算 5 + 3 = 8。

答：8

例 3請計算 (−6) × (−5) 和 (−24) ÷ 6。

  1. 先看 (−6) × (−5)：兩個數都是負號，負負得正，先算 6 × 5 = 30。
  2. 算 (−24) ÷ 6 的時候，因為一個是負數、一個是正數，符號不一樣，所以結果是負數。先算 24 ÷ 6 = 4，答案就是負 4。

答：30 和 −4

例 4早上氣溫是負 2 度，到了中午變暖了 9 度，到了晚上又變冷了 12 度，請問晚上的氣溫是多少度？

  1. 先算中午的氣溫：負 2 度加上 9 度，就是 −2 + 9 = 7 度。
  2. 再算晚上的氣溫：從 7 度下降 12 度，就是 7 − 12 = −5 度。

答：−5 度，也就是零下 5 度

負數次方怎麼算

負數次方有兩種不同的意思。第一種是底數是負數，例如 (−2)³ 表示 3 個負 2 相乘。如果乘的個數是雙數，結果就是正數；如果是單數，結果就是負數。這裡要特別小心括號：(−2)⁴ 是 4 個負 2 相乘，等於 16；但寫成 −2⁴ 的話，是先算 2 的 4 次方，再在前面加負號，所以等於負 16。

第二種是指數是負數，例如 2⁻³。我們規定 a⁻ⁿ = 1/aⁿ，不過底數 a 不能是 0，所以 2⁻³ = 1/2³ = 1/8。其實在國一學科學記號的時候，我們就用過 10 的負整數次方，例如 1 奈米 = 10⁻⁹ 公尺。至於其他底數的負次方，要等到高一學指數的時候才會正式學，計算規則整理在指數律。

例 1算一算 (−2)³ 和 (−2)⁴。

  1. (−2)³ = (−2) × (−2) × (−2) = −8，因為有 3 個負號相乘，結果是負數
  2. (−2)⁴ = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16，因為有 4 個負號相乘，結果是正數

答：−8 和 16

例 2算一算 −3² 和 (−3)²。

  1. −3² = −(3 × 3) = −9，這裡只有 3 被平方，前面的負號沒有被平方
  2. (−3)² = (−3) × (−3) = 9，這裡整個 −3 都被平方了

答：−9 和 9

例 3請算出 (−1)¹⁰⁰ 和 (−1)⁹⁹ 的結果。

  1. 因為 100 是偶數，所以 (−1)¹⁰⁰ = 1。
  2. 因為 99 是奇數，所以 (−1)⁹⁹ = −1。

答：1 和 −1

例 4請算出 2⁻³ 和 10⁻² 的結果。

  1. 2⁻³ = 1/2³ = 1/8。
  2. 10⁻² = 1/10² = 1/100 = 0.01。

答：1/8 和 0.01

直角坐標平面與四個象限

直角坐標平面是用兩條互相垂直的數線組成的。垂直就是兩條線碰在一起形成直角，像書本的角那樣。橫著的那條叫 x 軸，也叫橫軸；直著的那條叫 y 軸，也叫縱軸。兩條軸交在一起的地方叫原點 O，它的坐標是 (0, 0)。平面上每個點都用一組數 (x, y) 表示位置，要先寫橫坐標、再寫縱坐標。例如 A(3, 2) 就是從原點往右走 3 格、再往上走 2 格。因為有負數，點也可以在原點的左邊或下方。例如 B(−3, −3) 就是往左走 3 格、再往下走 3 格。

兩條坐標軸把平面分成四個象限。從右上角開始，逆時針方向依序是第一、二、三、四象限。每個象限裡，點坐標的正負號是固定的。如果點落在坐標軸上，例如 (0, 3) 或 (−4, 0)，它就不屬於任何象限。直角坐標平面是國一的內容，國二會用它來算兩點距離公式。

−4−224−4−224Oxy第一象限 (+, +)第二象限 (−, +)第三象限 (−, −)第四象限 (+, −)A(3, 2)B(−3, −3)
x 軸和 y 軸把平面分成四個象限，A(3, 2) 在第一象限，B(−3, −3) 在第三象限

負數是實數嗎

負數是實數。實數就是數線上所有的點所代表的數，包含正數、0 和負數。負整數像 −5、負分數像 −3/4、負小數像 −0.2，這些都是有理數。像 −√2 這種不能寫成分數的負數是無理數。有理數和無理數合起來就是實數，所以每一個負數都是實數。

國一學負數時用到的整數、分數和小數都是有理數。國二學根號會遇到 √2 這種無理數。實數這個名稱和完整的分類，到高一的實數單元才會整理。下表列出常見的數各屬於哪一類。

數整數有理數實數
5是是是
0是是是
−5是是是
−3/4不是是是
−0.2不是是是
−√2不是不是，是無理數是
√(−4)不是不是不是，在實數裡沒有意義

0 是整數、有理數、實數，但不是正數也不是負數。

根號裡面可以是負數嗎

在國中和高一、高二的範圍內，根號裡面不能是負數。√a 指的是平方後等於 a 的非負數，而任何實數平方都大於或等於 0，例如 2² = 4、(−2)² = 4，找不到一個實數平方後等於 −4，所以 √(−4) 在實數裡沒有意義。國中學根號時，根號裡面一律是 0 或正數。

到了高三的選修課程學複數，才規定一個新的數 i，讓 i² = −1，這時 √(−4) = 2i，但 2i 不是實數，所以不在數線上。另外要注意這是平方根的情形，立方根就可以放負數，例如 ∛(−8) = −2，因為 (−2)³ = −8。

絕對值方程式

絕對值方程式是含有絕對值的方程式，例如 |x| = 3。|x| 是 x 到 0 的距離，距離 0 剛好 3 的點有兩個，所以 x = 3 或 x = −3。同樣地，|x − 2| = 5 表示 x 到 2 的距離是 5。因為距離不會是負的，|x| = −1 這種方程式沒有解。

108 課綱在國一只用絕對值表示數線上兩點的距離，明訂不處理絕對值方程式和絕對值不等式，這兩個主題在高一學。下面的例題用國一學過的距離概念就能理解，想看不等式的解法可以到絕對值不等式。

例 1解 |x| = 3。

  1. x 到 0 的距離是 3
  2. 從 0 往右走 3 格就是 3，往左走 3 格就是 −3

答：x = 3 或 x = −3

例 2解 |x − 2| = 5。

  1. x 到 2 的距離是 5
  2. 2 + 5 = 7，2 − 5 = −3
  3. 驗算：|7 − 2| = 5，|−3 − 2| = |−5| = 5

答：x = 7 或 x = −3

例 3解 |2x + 1| = 7。

  1. 2x + 1 = 7 或 2x + 1 = −7
  2. 2x = 6，x = 3；或 2x = −8，x = −4
  3. 驗算：|2 × 3 + 1| = 7，|2 × (−4) + 1| = |−7| = 7

答：x = 3 或 x = −4

例 4解 |x + 4| = 0 和 |x| = −1。

  1. 只有 0 的絕對值是 0，所以 x + 4 = 0，x = −4
  2. 絕對值不會是負數，|x| = −1 沒有解

答：x = −4；|x| = −1 無解

絕對值函數 y = |x| 的圖形

絕對值函數就是像 y = |x| 這樣，把 x 的絕對值當成 y 的函數。這裡的絕對值，就是數字離 0 有多遠。如果 x 是正數或 0，y 就等於 x；如果 x 是負數，y 就等於 −x。舉個例子，當 x = −2 時，y = 2；當 x = 3 時，y = 3。我們把這些點畫在直角坐標平面上，就會得到一個像字母 V 的形狀。這個形狀最低的地方在原點，左右兩邊長得一模一樣，最低的值就是 0。

國中不教絕對值函數，國二學的是一次函數的直線圖形；絕對值函數的圖形要到高中才會遇到，這裡先讓孩子看懂它和負數、絕對值的關係。

−4−22424Oxy(−2, 2)(3, 3)y = |x|
y = |x| 的圖形是 V 字形，經過 (−2, 2)、(0, 0)、(3, 3)，對 y 軸左右對稱

負數的相關主題

負數是國一數學的第一個新概念。如果你把正負數的計算學好，後面學方程式、坐標和函數時，就會輕鬆很多。看完這頁，你可以接著去看這些主題。

  • 正負數加減題目：這裡有正負數加減的概念、好記的口訣，還有附答案的練習題。
  • 絕對值：這裡介紹數字到 0 的距離，還有 0 的絕對值和絕對值的計算方法。
  • 絕對值不等式：這是高中一年級才學的解法，用「距離」來理解 |x − a| ≤ b。
  • 數線：國小學的數線三個重點，還有在數線上做加減法，這些都是學負數數線的基礎。
  • 指數律和科學記號：這是國中一年級接在負數後面要學的次方單元。

常見問題

0 是負數嗎？

不是。0 比所有正數都小，也比所有負數都大。0 既不是正數也不是負數，不過 0 是整數，也是實數。

負數乘負數為什麼是正數？

你看 (−3) × 2 = −6、(−3) × 1 = −3、(−3) × 0 = 0，乘數每少 1，答案就多 3。照這個規律推下去，(−3) × (−1) = 3，所以負負得正可以讓計算規則前後都一致。

負數是實數嗎？

是。實數就是數線上所有點代表的數。負整數、負分數、負小數，還有 −√2 這種負的無理數，都是實數。

負數是幾年級學的？

在 108 課綱裡，負數是國中一年級才正式學的。那時候會學到畫有負數的數線、正數和負數的加減乘除運算、絕對值的意義，還有直角坐標平面。在國小階段，我們畫的數線通常只畫到 0 和正數。

延伸學習

上一層

對應年級

同一個主題的其他內容