數學王兩點距離公式
公式裡的 a − c 代表兩點在左右方向差多少，b − d 代表上下方向差多少。就算差出來的數字是負數，平方以後也會變成正數，所以不管是誰減誰，結果都是一樣的。
兩點距離公式怎麼來的
從 A(1, 1) 往右走到和 B 同一條鉛直線，走了 4 − 1 = 3 格；再往上走到 B，走了 5 − 1 = 4 格。這兩段互相垂直，和 AB 圍成一個直角三角形，AB 是斜邊。
利用畢氏定理，AB² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25，所以 AB = 5。把 3 換成 a − c、4 換成 b − d，就是兩點距離公式。
兩點距離公式例題
先算出兩個坐標的差，如果出現負數，平方時要加括號，最後別忘了開根號。如果答案不是整數，可以寫成最簡根式。
例 1A(1, 2)、B(4, 6)，AB 是多少？
- x 差 4 − 1 = 3，y 差 6 − 2 = 4
- AB = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
答：5
例 2A(−2, 3)、B(4, −5)，AB 是多少？
- 先算 x 的差：4 − (−2) = 6，再算 y 的差：(−5) − 3 = −8
- AB = √(6² + (−8)²) = √(36 + 64) = √100 = 10
答：10
例 3A(1, 1)、B(3, 5)，AB 是多少？
- 先算 x 的差：3 − 1 = 2，再算 y 的差：5 − 1 = 4
- AB = √(4 + 16) = √20 = √(4 × 5) = 2√5
答：2√5，約 4.47
例 4點 A 在 (2, −1)，點 B 在 (2, 6)。請問 A 和 B 之間的距離 AB 是多少？
- x 坐標相同，兩點在同一條鉛直線上
- 因為在同一條直線上，我們只要把 y 坐標相減就可以算出距離。AB = 6 − (−1) = 7。
答：7
例 5假設地圖上每一格代表 1 公里。學校的位置是 (−3, 2)，家的位置是 (5, −4)。請問學校和家之間的直線距離是多少？
- 先算算看，兩地的 x 坐標相差多少？5 − (−3) = 8。再算算 y 坐標相差多少？(−4) − 2 = −6。
- 現在用兩點距離公式來算。距離 = √(8² + (−6)²) = √(64 + 36) = √100 = 10（公里）。
答：10 公里
例 6點 A 在 (0, 0)，點 B 在 (3, 4)，點 C 在 (7, 1)。請你判斷 △ABC 是什麼形狀的三角形？
- 我們先算算看每條邊長度的平方。AB² = 3² + 4² = 25，BC² = 4² + (−3)² = 16 + 9 = 25，AC² = 7² + 1² = 49 + 1 = 50。
- 因為 AB = BC = 5，所以這兩條邊的長度是一樣長的。
- 接著發現 AB² + BC² = 25 + 25 = 50，這正好等於 AC²。根據畢氏定理的逆定理（就是如果兩條短邊的平方加起來等於長邊的平方，那中間那個角就是直角），我們可以知道 ∠B 是直角。
答：等腰直角三角形，直角在 B
用根號計算機算兩點距離
使用計算機時，先算出兩個坐標差的平方和，也就是根號裡面要放的那個數字，然後輸入計算機按「計算」鍵。計算機會顯示大約是多少（近似值）、最簡單的根式寫法，以及答案卡在兩個整數之間。舉例來說，從 (0, 0) 到 (2, 3)，平方和是 4 + 9 = 13，輸入 13 後會得到 √13 ≈ 3.605551，這表示答案在 3 和 4 之間；如果是從 (1, 1) 到 (3, 5)，輸入 20，計算機會顯示 √20 = 2√5。
常見錯誤和高中的延伸
在算兩點距離公式時，最容易出錯的地方通常是忘記負號或者漏掉步驟。等到上到高中二年級，會學到空間坐標，那時公式會多出一項 z 坐標的差。例如 (1, 2, 3) 和 (3, 5, 9) 的距離是 √(2² + 3² + 6²) = √(4 + 9 + 36) = √49 = 7，它的想法和現在學習的平面距離公式完全一樣。
- 負數平方沒加括號：(−3)² = 9，但 −3² 會被算成 −9。
- 減錯坐標：要 x 減 x、y 減 y，不能拿 A 的 x 去減 B 的 y。
- 忘了開根號：3² + 4² = 25，距離是 5，不是 25。
- 把差直接相加：3 + 4 = 7 不是距離，要先平方再相加。
直角坐標和四個象限
直角坐標是用兩條互相垂直的數線標出平面上的位置。水平的叫 x 軸，也叫橫軸；垂直的叫 y 軸，也叫縱軸；兩軸的交點是原點 O，坐標 (0, 0)。一個點寫成 (x, y)，先寫橫向的 x 坐標，再寫縱向的 y 坐標，例如 (3, 2) 是從原點往右 3、往上 2。
兩條軸把平面分成四個象限，從右上角開始逆時針數：第一象限 x、y 都是正數，第二象限 x 負 y 正，第三象限都是負數，第四象限 x 正 y 負。落在軸上的點，例如 (0, 5) 或 (−2, 0)，不屬於任何象限。國小學過的數線，就是只有一條軸的坐標。
象限和坐標的正負
要判斷一個點在第幾象限，只要看 x 和 y 坐標是正數還是負數。點到兩條軸的距離也可以從坐標直接看出來：點 (x, y) 到 x 軸的距離，就是 y 變成正數；到 y 軸的距離，就是 x 變成正數。
| 位置 | x 坐標 | y 坐標 | 例子 |
|---|---|---|---|
| 第一象限 | 正 | 正 | (3, 2) |
| 第二象限 | 負 | 正 | (−2, 4) |
| 第三象限 | 負 | 負 | (−3, −1) |
| 第四象限 | 正 | 負 | (2, −3) |
| x 軸上 | 任何數 | 0 | (−2, 0) |
| y 軸上 | 0 | 任何數 | (0, 5) |
例如點 (−4, 3) 在第二象限，它到 x 軸的距離是 3，到 y 軸的距離是 4，到原點的距離是 √(16 + 9) = 5。
常見問題
兩點距離公式是什麼？
A(a, b) 和 B(c, d) 兩點的距離是 √((a − c)² + (b − d)²)。簡單說，就是先算出左右相差多少、上下相差多少，把這兩個差值各自平方後相加，最後再開根號。
兩點距離公式和畢氏定理有什麼關係？
橫向差和縱向差就像直角三角形的兩條直角邊，而兩點之間的連線就是斜邊。所以兩點距離公式，其實就是把畢氏定理寫成坐標的樣子。
兩點距離公式幾年級學？
依照 108 課綱，這個內容在國中二年級，學完畢氏定理和平方根之後才會教；而直角坐標和象限的概念，在國中一年級就會先學到。
坐標相減有負數怎麼辦？
直接照著公式算就好，數字平方之後一定會是正數，例如 (−8)² = 64。不管怎麼減，最後得到的答案都是一樣的。