開始練習

因式分解

因式分解是把一個多項式寫成幾個多項式相乘的樣子，例如 x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)。它和乘法公式剛好相反：乘法公式把乘積展開，因式分解把展開的式子變回乘積。國中常用的方法有三種：提公因式、利用乘法公式、十字交乘法。

108 課綱把因式分解排在國二，國中只處理整數係數的二次多項式，例如 ax² + bx + c。學會因式分解，就能用最快的方法解一元二次方程式，它也是國中數學代數的重要工具。

先看重點

  • 第一步永遠先看有沒有公因式可以提出來。公因式就是每個項都包含的相同因數。
  • 如果兩項相減而且都是平方，就用平方差公式 a² − b² = (a + b)(a − b)。
  • 三項式要先看是不是完全平方，如果不是，就用十字交乘法。
  • 分解完後把括號乘開，如果回到原式，就代表分解正確。

因式分解是什麼

在國小的時候，我們學過質因數分解，就是把 12 拆成 2 × 2 × 3 這樣。因式分解也是同樣的想法，不過是把一個比較複雜的多項式，拆成幾個比較簡單的多項式相乘。多項式就是由幾個項加起來或減起來的算式。例如 x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)，這裡的 x + 2 和 x + 3 就叫做 x² + 5x + 6 的因式。因式就像是把一個大東西拆開後的零件。

要檢查因式分解做得對不對，只要把括號裡的東西乘開，看看是不是變回原來的式子就好。我們算一下：(x + 2)(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6，結果和原來的一樣，所以是對的。做因式分解時，要一直拆到不能再拆為止才算完成。例如 3x² − 12 = 3(x² − 4) 還沒做完，因為裡面的 x² − 4 還可以再繼續拆。

因式分解公式

因式分解的公式，其實就是把乘法公式的等號左右換個位置。當你看見一個式子時，先想一想它像哪一個公式展開後的樣子。

提公因式ma + mb = m(a + b)如果每一項都有相同的因數或文字，就先把它們提出來。
平方差a² − b² = (a + b)(a − b)這是兩個平方相減的情況。
完全平方a² + 2ab + b² = (a + b)²，a² − 2ab + b² = (a − b)²首尾兩項都是平方，中間那項是它們兩倍乘積的情況。
十字交乘x² + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)找兩個數相乘是常數、相加是 x 的係數

用面積拼出因式分解

我們把一個大長方形切成四塊：x²、2x、3x 和 6。把四塊拼在一起，長是 x+2，寬是 x+3，所以面積就是 (x+2)(x+3)。把四塊面積加起來，剛好是 x²+5x+6。因式分解就是這樣把多項式拆成兩個因式相乘。

x²2x3x6x2x3長 x + 2寬 x + 3四塊加起來x² + 5x + 6x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
四塊面積加起來等於 (x+2)(x+3)

因式分解題目

做因式分解時，我們要按照固定的順序來判斷：先看看能不能把共同的因數提出來，再數數看是兩項還是三項。如果是兩項，就找找看是不是平方差；如果是三項，先看看是不是完全平方，如果不是，就用十字交乘法。最後，要把答案重新乘開，檢查一下有沒有算錯。

例 1因式分解 6x² + 9x

  1. 這兩項共同的因數是 3x
  2. 6x² + 9x = 3x(2x + 3)
  3. 檢查：3x × 2x + 3x × 3 = 6x² + 9x

答：3x(2x + 3)

例 2因式分解 4x² − 25

  1. 4x² 可以看成 (2x)²，25 可以看成 5²，這是兩個平方相減的情況
  2. (2x + 5)(2x − 5)
  3. 檢查一下：(2x)² − 5² 算出來就是 4x² − 25

答：(2x + 5)(2x − 5)

例 3因式分解 x² − 10x + 25

  1. x² 和 25 = 5² 都是平方，中間的 10x 剛好是 2 × x × 5，這是兩數差的平方
  2. (x − 5)²
  3. 檢查：(x − 5)² = x² − 10x + 25

答：(x − 5)²

例 4因式分解 x² − x − 12

  1. 找兩個數相乘是 −12、相加是 −1
  2. −4 和 3：(−4) × 3 = −12，−4 + 3 = −1
  3. (x − 4)(x + 3)
  4. 我們來檢查一下：x² + 3x − 4x − 12 其實就是 x² − x − 12。

答：(x − 4)(x + 3)

例 5請把 3x² − 12 做因式分解。

  1. 先看這兩項都有 3，我們把 3 提出來：3(x² − 4)。
  2. 括號裡的 x² − 4 是平方差（就是兩個平方減去另一個平方），所以可以拆成：3(x + 2)(x − 2)。
  3. 再檢查一次：3(x² − 4) 展開後確實是 3x² − 12。

答：3(x + 2)(x − 2)

十字交乘法：x² 的係數不是 1

當 ax² + bx + c 裡面的 a 不是 1 時，我們用「十字交乘」法。你在左邊寫兩個數，它們相乘要等於 a；右邊也寫兩個數，相乘要等於 c。然後把左右兩邊的數交叉相乘，再把結果加起來，看是不是等於 b。如果加出來等於 b，就把橫著的那兩組數讀出來，那就是兩個因式。

例 1要把 2x² + 7x + 3 拆成兩個括號相乘，這個動作叫做因式分解。因式分解就像是把一個長長方方的積木塊，拆回成兩塊可以拼回去的小積木。

  1. a = 2 拆成 2 和 1，c = 3 拆成 1 和 3
  2. 交叉相乘：2 × 3 + 1 × 1 = 7，等於 x 的係數
  3. 現在橫著讀：上面那一排是 2 和 1，它們組成 2x + 1。下面那一排是 1 和 3，它們組成 x + 3。
  4. 所以，2x² + 7x + 3 = (2x + 1)(x + 3)。
  5. 檢查：2x² + 6x + x + 3 = 2x² + 7x + 3

答：(2x + 1)(x + 3)

例 2把 3x² − 10x − 8 拆成兩個小括號相乘的形狀

  1. 先把最前面的數字 3 看成 3 和 1 相乘，再把最後面的數字 −8 試看看能不能拆成 2 和 −4
  2. 交叉相乘：3 × (−4) + 1 × 2 = −12 + 2 = −10，等於 x 的係數
  3. 所以 3x² − 10x − 8 = (3x + 2)(x − 4)
  4. 檢查一下：把括號打開變成 3x² − 12x + 2x − 8，合併中間的項後就是 3x² − 10x − 8

答：(3x + 2)(x − 4)

因式分解計算機：用一元二次方程式計算機分解

數學王現在還沒有可以隨便分解任何多項式的計算機；質因數分解計算機是把整數拆成質數相乘，不能用來分解多項式。不過國中要學的因式分解大多是 ax² + bx + c 這種形式，可以借用下面的一元二次方程式計算機：先算出 ax² + bx + c = 0 的兩個解 r 和 s，就可以寫成 ax² + bx + c = a(x − r)(x − s)。

我們拿 2x² + 7x + 3 來試試看。把 2、7、3 輸入計算機，螢幕上會跳出 x = −0.5 或 x = −3。這表示 2x² + 7x + 3 = 2(x + 0.5)(x + 3)。接著，把前面的 2 乘進第一個括號裡，它就變成了 (2x + 1)(x + 3)。你看，這和我們之前用十字交乘法算出來的答案一模一樣。

計算機的結果也能判斷能不能分解：顯示沒有實數解，代表在實數範圍內不能分解；a、b、c 是整數，而計算機寫出根式，例如 x² − 4x + 1 的根是 2 ± √3，代表不能分解成整數係數的一次因式相乘。

  1. 先把要分解的式子整理成 ax² + bx + c 的樣子，然後把 a、b、c 輸入計算機。
  2. 按下「計算」鍵，讀出兩個根 r 和 s。如果兩個根是一樣的，那 r 和 s 就會相同。
  3. 把式子寫成 a(x − r)(x − s)。如果根是負數，x − r 就會變成 x 加上一個正數。
  4. 如果根是小數或分數，就把前面的 a 拆開，乘進括號裡，讓裡面的係數變回整數。
  5. 把拆開後的算式重新乘回去，看看有沒有變回最開始的那個式子。

一元二次方程式計算機

把要拆的二次式裡的 a、b、c 數字填進去。預設的 1、−5、6 代表的是 x² − 5x + 6，它的根是 3 和 2，所以 x² − 5x + 6 = (x − 3)(x − 2)。

方程式寫成 a x² + b x + c = 0，輸入 a、b、c，可以是負數或小數，a 不能是 0。

三次方因式分解

國中的因式分解只處理二次多項式，也就是最高次是二次的式子。三次方的因式分解是高中一年級的內容。最常用的是立方和、立方差公式，也就是乘法公式裡三次方公式反過來用；一般的三次多項式，則用高中的因式定理，先找到一個讓式子等於 0 的數 k，就知道 x − k 是一個因式，因式定理和餘式定理一起學。

立方和a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)高中一年級
立方差a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)高中一年級
因式定理若 f(k) = 0，則 x − k 是 f(x) 的因式高中一年級，用來分解一般的三次式

三次方因式分解例題

三次方程式也可以用因式分解來解。把式子拆成幾個一次式相乘之後，做法和一元二次方程式一樣。只要讓每個括號等於 0，就能找到一個根。

例 1因式分解 x³ − 8

  1. 因為 8 = 2³，所以我們用立方差公式，這裡 a = x，b = 2
  2. (x − 2)(x² + 2x + 4)
  3. 檢查：x³ + 2x² + 4x − 2x² − 4x − 8 = x³ − 8

答：(x − 2)(x² + 2x + 4)

例 2因式分解 27x³ + 1

  1. 27x³ 可以看成 (3x)³，1 可以看成 1³。這題要用「立方和」的公式。公式裡 a 代表 3x，b 代表 1。
  2. 把 a 和 b 代進公式，得到 (3x + 1)(9x² − 3x + 1)。
  3. 我們來檢查一下：把括號打開算一算，27x³ − 9x² + 3x + 9x² − 3x + 1，中間的項抵消後，最後等於 27x³ + 1，沒錯！

答：(3x + 1)(9x² − 3x + 1)

例 3請解這個三次方程式：x³ − 6x² + 11x − 6 = 0。

  1. 先試試 x = 1 是不是答案：把 1 代進去算，1 − 6 + 11 − 6 = 0。因為結果是 0，所以 x − 1 是這個式子的一個因式。
  2. 用除法得到 x³ − 6x² + 11x − 6 = (x − 1)(x² − 5x + 6)
  3. 把 x² − 5x + 6 繼續拆開，變成 (x − 1)(x − 2)(x − 3) = 0。
  4. x 的答案是 1、2、3。我們來檢查一下：把 x = 2 代進去，算出 8 − 24 + 22 − 6 = 0；把 x = 3 代進去，算出 27 − 54 + 33 − 6 = 0。

答：x = 1、x = 2 或 x = 3

提公因式的基礎：試做 5 題

數學王的練習從國小一年級到六年級都有，但沒有國中的因式分解題目。做「提公因式」之前，要先會找「最大公因數」，就是兩個數都能整除的最大那個數。例如 6x² + 9x，要先看出 6 和 9 的最大公因數是 3。這個知識在五年級學「公因數和公倍數」時就會用到，建議先把這個基礎練熟。不用登入，做完會告訴你答對幾題。

準備好就開始，一共 5 題。

因式分解和其他單元的關係

做因式分解前，要先熟悉乘法公式，這樣才看得出式子是用哪一個公式展開的。學會以後，最直接的用途是解一元二次方程式；如果是整數的分解，則可以回頭看最大公因數和質因數分解。

  • 乘法公式：把乘積展開，和因式分解的方向剛好相反。
  • 一元二次方程式：把它分解成兩個一次式相乘，就能找出兩個根。
  • 多項式：這裡要認識多項式是什麼，還有怎麼做加、減、乘、除。
  • 國二數學：這是國二一整年要學的數學內容整理。

常見問題

因式分解是什麼？

因式分解就是把一個多項式拆成幾個多項式相乘。舉例來說，x² + 5x + 6 可以拆成 (x + 2)(x + 3)。這其實就是把乘法公式反過來用。拆好之後，如果再把括號乘開，能變回原本的式子，就代表你做對了。

因式分解有哪些方法？

國中階段主要學三種方法：提公因式、利用乘法公式（包含平方差、完全平方）、還有十字交乘法。做題時，要先看看能不能提公因式，再根據項數選擇用公式或十字交乘法。

有因式分解計算機嗎？

數學王沒有專門用來分解任意多項式的計算機。不過，如果是二次式 ax² + bx + c，你可以用一元二次方程式計算機算出兩個根 r 和 s，然後把它寫成 a(x − r)(x − s)。

因式分解是幾年級學的？

108 課綱把這單元排在國中八年級，也就是國二。國二只處理係數是整數的二次多項式；像立方和、立方差和因式定理這些比較進階的，要等到高中一年級才學。

延伸學習

上一層

對應年級

同一個主題的其他內容