數學王多項式的定義和名詞
如果一個多項式裡面只有一個文字 x，我們就稱它為 x 的多項式，也就是只有一個未知數的多項式。國中的數學課主要學的這一種。拿 4x³ − 2x² + x − 7 來舉例，這個算式是由 4x³、−2x²、x、−7 這四個部分組成的，所以它的項數是 4。每一項中 x 前面的數字叫做係數。4x³ 的係數是 4，−2x² 的係數是 −2，而 x 前面雖然沒寫數字，但它的係數是 1。那個沒有 x 的 −7 叫做常數項。其中次方最高的 4x³ 被稱為最高次項，因為它的次方是 3，所以 4x³ − 2x² + x − 7 是一個三次多項式。
我們常聽到的多項式公式、多項式定理，通常是指做多項式運算時會用到的乘法公式，還有本頁下面提到的恆等定理。以下是讀題目時一定要認得的名詞。
- 項：就是用加號或減號分開的每一個部分。要注意減號要連同它後面的數一起算，例如 −2x² 就是一個項。
- 係數：就是每一項中 x 前面的數。如果 x 前面沒有寫數字，代表係數是 1；如果寫成 −x，代表係數是 −1。
- 常數項：就是不含 x 的那一項，例如在 4x³ − 2x² + x − 7 裡，−7 就是常數項。
- 次數：就是最高次項中 x 的次方。如果是二次多項式，它的最高次項是 x² 項；如果是三次多項式，它的最高次項是 x³ 項。
- 降冪排列：次方由高排到低，例如 4x³ − 2x² + x − 7；升冪排列：次方由低排到高，例如 −7 + x − 2x² + 4x³。
- 如果兩項裡面 x 的次方一樣，它們就叫做同類項。例如 3x² 和 −5x²，因為 x 都是二次方，所以可以把它們加在一起，合併成 −2x²。
- 如果多項式每一項前面的數字（叫做係數）都是整數，這種多項式叫做整係數多項式，例如 2x² − 3x + 1。如果係數有分數，像 1/2 x − 4，它還是多項式，只是因為係數不是整數，所以不叫整係數多項式。
哪些式子是多項式
要判斷一個式子是不是多項式，只要看 x 有沒有躲在分母裡面，或是躲在根號裡面，還有看 x 的次方有沒有負數或分數。如果 x 前面的數字（係數）是分數、小數或根號，都沒有關係，因為係數只是一個普通的數，不會影響它是不是多項式。
| 式子 | 是不是多項式 | 說明 |
|---|---|---|
| 3x² − 5x + 2 | 是 | 二次多項式，共 3 項 |
| x³ + 1 | 是 | 三次多項式，x² 項和 x 項的係數是 0，沒有寫出來 |
| 1/2 x − 4 | 是 | 一次多項式，係數可以是分數 |
| √2 x + 1 | 是 | 一次多項式，根號在係數上沒有關係 |
| 7 | 是 | 零次多項式，也是常數多項式 |
| 0 | 是 | 零多項式 |
| 1/x + 2 | 不是 | x 在分母 |
| √x + 3 | 不是 | x 在根號裡 |
零多項式、常數多項式和幾次多項式
多項式會依照它的次數來取名字。如果多項式只有一項常數，叫做常數多項式。像 5 或 −3 這種不是 0 的常數，可以看成 5 乘上 x 的 0 次方，所以叫做零次多項式。常數 0 叫做零多項式，因為 0 乘上 x 的任何次方都還是 0，我們看不出它的最高次方是幾次，所以零多項式不規定它的次數。
| 名稱 | 次數 | 例子 |
|---|---|---|
| 零多項式 | 不規定次數 | 0 |
| 零次多項式 | 0 | 5、−3、1/2 |
| 一次多項式 | 1 | 2x + 3、−x |
| 二次多項式 | 2 | x² − 4x + 4、3x² |
| 三次多項式 | 3 | x³ − 2x + 1、2x³ + x² |
常數多項式裡面包含了零多項式和零次多項式。一次多項式中 x 那一項的係數不能是 0，二次多項式中 x² 那一項的係數不能是 0，三次多項式中 x³ 那一項的係數不能是 0，如果這些係數變成 0，次數就會變小，名字也要跟著改。
多項式的加減乘除：例題
加法和減法是合併同類項，減法要先把減號後面括號裡的每一項都變號。乘法用分配律，前面每一項都要乘到後面每一項，再合併同類項。除法用直式，每次拿被除式剩下的最高次項，除以除式的最高次項，寫上商、乘回去、相減，直到餘式的次數比除式低，最後用 被除式 = 除式 × 商式 + 餘式 驗算。
例 1(3x² − 2x + 5) + (x² + 4x − 7) = ?
- x² 項：3x² + x² = 4x²
- x 項：−2x + 4x = 2x
- 常數項：5 + (−7) = −2
答：4x² + 2x − 2
例 2(3x² − 2x + 5) − (x² + 4x − 7) = ?
- 先把括號拿掉，記得減號後面每一項都要變號：3x² − 2x + 5 − x² − 4x + 7
- 把 x² 項加減起來：3x² − x² = 2x²
- 把 x 項加減起來：−2x − 4x = −6x
- 把沒有 x 的數字加起來：5 + 7 = 12
答：2x² − 6x + 12
例 3(2x + 3)(x² − x + 4) = ?
- 用 2x 去乘後面每一項：2x × x² − 2x × x + 2x × 4 = 2x³ − 2x² + 8x
- 把 3 乘到後面每一項：3 × x² − 3 × x + 3 × 4 = 3x² − 3x + 12
- 把樣子一樣的項加在一起：2x³ + (−2x² + 3x²) + (8x − 3x) + 12 = 2x³ + x² + 5x + 12
答：2x³ + x² + 5x + 12
例 4(2x² + 5x − 3) ÷ (x + 3) = ?
- 先用 2x² 除以 x 得到 2x，再算 2x × (x + 3) = 2x² + 6x，最後用 (2x² + 5x − 3) 減去 (2x² + 6x) 得到 −x − 3
- 再用 −x 除以 x 得到 −1，算出 −1 × (x + 3) = −x − 3，最後用 (−x − 3) 減去 (−x − 3) 得到 0
- 驗算一下：(x + 3)(2x − 1) = 2x² − x + 6x − 3 = 2x² + 5x − 3
答：商式 2x − 1，餘式 0
例 5(x² + 3x + 5) ÷ (x + 1) = ?
- 先用 x² 除以 x，得到 x。接著用 x 去乘 (x + 1)，算出 x² + x。最後從原本的式子減去這個結果，也就是 (x² + 3x + 5) − (x² + x) = 2x + 5。
- 現在剩下 2x + 5。用 2x 除以 x，得到 2。再用 2 去乘 (x + 1)，算出 2x + 2。把這個結果減掉，也就是 (2x + 5) − (2x + 2) = 3。
- 剩下來的 3 是一個固定的數字，它的次數比除式 x + 1 低，所以不用繼續除了，到此為止。
- 我們來驗算一下：(x + 1)(x + 2) + 3 = x² + 3x + 2 + 3 = x² + 3x + 5。
答：商式 x + 2，餘式 3
多項式計算機：手算展開的步驟
數學王目前沒有多項式計算機，也沒有多項式展開計算機。國二學的多項式題目步驟不多，你按照下面的順序自己手算，比直接看答案更能練到真正要會的能力。網站有的是一元二次方程式計算機，放在本頁下方的判別式那一段。
算完後，可以代數字進去檢查。以 (2x + 3)(x² − x + 4) = 2x³ + x² + 5x + 12 為例，x = 1 時左邊是 5 × 4 = 20，右邊是 2 + 1 + 5 + 12 = 20；x = 2 時左邊是 7 × 6 = 42，右邊是 16 + 4 + 10 + 12 = 42。代兩個數都相等，算錯的機會就很小。
- 先把每個多項式照降冪排好，缺少的次方就當作係數是 0。
- 加減：去括號，減號後面括號裡的每一項都要變號，再合併同類項。
- 乘法：前一個式子的每一項，分別乘後一個式子的每一項，係數相乘，x 的次方相加，最後合併同類項。
- 除法：用直式，每次用被除式剩下的最高次項除以除式的最高次項，寫上商、乘回去、相減，直到餘式的次數比除式低。
- 檢查：代 x = 1 和 x = 2 進去，比較原來的式子和答案算出來的值是不是一樣。
多項式函數是什麼
把多項式寫成 y = 多項式 的樣子，每給一個 x，就能算出唯一的一個 y，這種對應關係就叫做多項式函數。國中學兩種：國二的一次函數 y = ax + b，圖形是直線，a 是 0 時變成常數函數 y = b，圖形是水平線；國三的二次函數 y = ax² + bx + c，a 不是 0，圖形是拋物線。
108 課綱提醒國中的函數不使用 f(x) 這種抽象寫法，一律寫成 y = 的形式。f(x) 的函數符號和三次函數的圖形，都是高一才學的內容。
- 常數函數：y = 3，不管 x 是多少，y 都是 3。
- 一次函數：y = 2x + 1，x = 3 時 y = 2 × 3 + 1 = 7。
- 二次函數：y = x² − 2x − 3，x = 3 時 y = 9 − 6 − 3 = 0。
- 三次函數：y = x³ − x，x = 2 時 y = 8 − 2 = 6，圖形高中才學。
多項式恆等定理
假設你有兩個多項式，不管把 x 換成什麼數字去算，最後得到的答案都一模一樣，我們就說這兩個多項式是「恆等」。這裡有一個重要的規則叫多項式恆等定理。它的意思是：如果兩個多項式恆等，那它們裡面相同次數的項，前面的數字（我們叫它係數）一定都相等。所以，當題目給你兩個恆等的多項式，裡面卻藏著一些不認識的字母時，你只要把相同次數的項拿出來比對，就能算出那些未知數是多少。
在 108 課綱的國中數學裡，這個定理沒有寫在正式課本裡，算是進階的補充內容。不過，當你到國二學乘法公式的時候，如果把算式打開來，把每一項都攤開來一一比對，用的就是完全一樣的道理。
例 1如果 ax² + bx + c 和 2x² − 3x + 5 是恆等的，請你算出 a、b、c 各是多少。
- 因為兩個式子恆等，所以相同次數的項，它們前面的係數一定相等。
- 看 x² 的項：a = 2
- 看 x 的項：b = −3
- 常數項：就是沒有 x 的那個數字，這裡是 c = 5。
答：a = 2，b = −3，c = 5
例 2如果 (x + 3)² = x² + mx + n 對所有 x 都成立，求 m、n。
- 先把左邊展開：(x + 3)² = x² + 6x + 9。
- 比較 x 項的係數：m = 6。
- 比較常數項：n = 9。
答：m = 6，n = 9
例 3如果 (x + a)(x − 2) = x² + 3x − 10 對所有 x 都成立，求 a。
- 先把左邊的式子展開：x² − 2x + ax − 2a = x² + (a − 2)x − 2a
- 比較常數項（就是沒有 x 的那個數字）：−2a = −10，算出 a = 5
- 檢查 x 前面的數字：a − 2 = 5 − 2 = 3，這和右邊的 3x 是對得上的
答：a = 5
多項式判別式：二次多項式的 b² − 4ac
一般說的判別式，是二次多項式 ax² + bx + c 的 b² − 4ac，用來判斷一元二次方程式 ax² + bx + c = 0 有幾個解：大於 0 有兩個不相等的實數解，等於 0 有一個重根，小於 0 沒有實數解。判別式也看得出二次多項式能不能分解：a、b、c 都是整數時，判別式是完全平方數，包括 0，ax² + bx + c 才能用十字交乘分解成兩個整係數的一次式。三次以上的多項式也有判別式，但公式複雜得多，國中和高中課程都不教。
下面的一元二次方程式計算機，你只要輸入 a、b、c，它會先算出判別式，再算出解。預設的題目是 x² − 5x + 6 = 0，它的判別式是 (−5)² − 4 × 1 × 6 = 1，解是 x = 3 或 x = 2，對應的分解結果是 x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)。更多解法在一元二次方程式，分解的方法在因式分解。
學完多項式接著學什麼
多項式是國二代數的基礎，後面學到的單元幾乎都會用到它的運算。
常見問題
多項式的定義是什麼？
由好幾項相加而成的式子，每一項都是常數乘上 x 的 0 次或正整數次方，例如 3x² − 5x + 2。x 不能出現在分母或根號裡，次方也不能是負數或分數。
零多項式和零次多項式差在哪裡？
零多項式就是數字 0，它沒有規定次數。零次多項式則是那些不為 0 的常數，例如 5 或 −3，它的次數是 0。這兩種都屬於常數多項式。
x 分之 1 是多項式嗎？
不是。在 1/x 這個式子裡，x 在分母，這相當於 x 的負 1 次方。但是在多項式裡，x 的次方只能是 0 或正整數。
多項式是幾年級學的？
依照 108 課綱的安排，多項式的意義和加減乘除運算是在國二學的。乘法最高只算到三次，除法只算被除式是二次的情形，接著會學乘法公式和因式分解。