數學王二次函數的所有內容
二次函數公式
二次函數有兩種常見的寫法。一般式把每一項展開，容易看出圖形和 y 軸的交點；頂點式是配方好的樣子，一眼就看出頂點和對稱軸。兩種寫法可以互相轉換，例如 y = x² − 2x − 3 配方後就是 y = (x − 1)² − 4，展開 (x − 1)² − 4 = x² − 2x + 1 − 4 又會回到原式。
二次函數公式解：求圖形和 x 軸的交點
二次函數公式解，指的是用一元二次方程式的公式解，找出二次函數圖形和 x 軸碰在一起的地方。圖形和 x 軸相交的地方 y = 0，所以只要解 ax² + bx + c = 0，解出來的 x 就是交點的 x 坐標。公式解是 x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a，和圖形與 y 軸的交點一起找出來，畫圖就很方便。
例 1y = x² − 2x − 3 的圖形和 x 軸交在哪裡？
- 先讓 y 變成 0：x² − 2x − 3 = 0
- 這裡 a = 1，b = −2，c = −3，算一下 b² − 4ac = 4 + 12 = 16
- x = (2 ± √16) ÷ 2 = (2 ± 4) ÷ 2
- x = 6 ÷ 2 = 3 或 x = −2 ÷ 2 = −1
答：(3, 0) 和 (−1, 0)
例 2y = 2x² + 3x − 2 的圖形和 x 軸交在哪裡？
- 把 y 換成 0，算式變成 2x² + 3x − 2 = 0
- 這裡 a = 2，b = 3，c = −2，先算 b² − 4ac，就是 9 + 16 = 25
- x = (−3 ± √25) ÷ 4 = (−3 ± 5) ÷ 4
- x = 2 ÷ 4 = 1/2 或 x = −8 ÷ 4 = −2
答：(1/2, 0) 和 (−2, 0)
例 3y = x² − 2x − 3 的圖形和 y 軸交在哪裡？
- 和 y 軸相交的地方 x = 0
- y = 0² − 2 × 0 − 3 = −3
答：(0, −3)
一次函數和二次函數比一比
一次函數的公式是 y = ax + b，這是國二會學的。當 x 每次多 1，y 就會固定多 a，所以畫出來是一條直線。如果 a 比 0 大，直線會從左下往右上爬；如果 a 比 0 小，直線會從左上往右下掉。如果 a 等於 0，公式就變成 y = b，這種叫做常數函數，畫出來是一條平平的橫線。二次函數比較特別，它多了一個 x² 項，y 增加的幅度不再固定，所以圖形會彎彎的，像拋物線。
我們用 y = 2x + 1、y = x² 和 y = 3 來比較看看，把 x 從 −2 到 2 每個數字都代進去算一次。一次函數每次都會固定多 2；二次函數則是先變小再變大。而且你會發現，x 和 −x 算出來的 y 是一樣的，這就是為什麼 y = x² 的圖形會左右對稱，像照鏡子一樣。
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| y = 2x + 1 | −3 | −1 | 1 | 3 | 5 |
| y = x² | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
| y = 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
y = 3 是常數函數，不管 x 變多少，y 都一直保持在 3，所以它的圖形是一條經過 (0, 3) 這個點的水平線。
二次函數開口大小
二次函數的開口方向跟大小，只看 a 就好，跟 b、c 沒有關係。a 比 0 大，開口就朝上；a 比 0 小，開口就朝下。a 的絕對值（也就是不管正負，只看數字大小）越大，y 增加得越快，拋物線看起來就越瘦，開口也就越窄。看下面的圖，三條拋物線都是朝上開口的。當 x = 1 時，y = 2x² 的 y 是 2，y = x² 的 y 是 1，y = 0.5x² 的 y 是 0.5；當 x = 2 時，它們分別是 8、4、2。所以 y = 2x² 爬得最快，開口也最窄。
y = −2x² 和 y = 2x² 的開口大小是一樣的，只是一個朝下、一個朝上，這兩條圖形是上下對稱的，就像翻轉過來一樣。要比較開口大小，就要看 a 的絕對值。例如 y = −3x² 的開口，就比 y = x² 的開口還要窄。
二次函數判別式：和 x 軸有幾個交點
二次函數 y = ax² + bx + c 有一個叫判別式的東西，它的算式是 b² − 4ac。這和你在解一元二次方程式 ax² + bx + c = 0 時用到的判別式是一模一樣的。這個數字可以告訴我們，這條曲線和 x 軸（就是橫著的那條線）碰頭幾次。如果算出來的數大於 0，曲線就會和 x 軸碰兩次，有兩個交點。如果剛好等於 0，曲線只會和 x 軸碰一次，而且那個碰到的點就是曲線最高的或最低的那個點，叫做頂點。如果算出來的數小於 0，曲線就完全不會碰到 x 軸，整條曲線都飄在 x 軸的上面或下面。如果曲線嘴巴朝上開，它就全在 x 軸上面；如果嘴巴朝下開，它就全在 x 軸下面。
| 二次函數 | b² − 4ac | 和 x 軸的交點 |
|---|---|---|
| y = x² − 2x − 3 | (−2)² − 4 × 1 × (−3) = 16 | 2 個：x = 3 和 x = −1 |
| y = x² − 4x + 4 | (−4)² − 4 × 1 × 4 = 0 | 1 個：x = 2，就是頂點 (2, 0) |
| y = x² + 2x + 5 | 2² − 4 × 1 × 5 = −16 | 0 個，開口向上，整條在 x 軸上方 |
| y = −x² + 2x − 3 | 2² − 4 × (−1) × (−3) = −8 | 0 個，開口向下，整條在 x 軸下方 |
用計算機算判別式和交點
你可以把二次函數裡面的 a、b、c 三個數字，填進一元二次方程式計算機裡。計算機算出來的判別式就是 b² − 4ac，而它算出來的解，其實就是曲線和 x 軸碰頭的那幾個點，在 x 軸上的位置（我們叫它 x 坐標）。如果計算機顯示「沒有實數解」，意思就是曲線和 x 軸完全沒有碰頭。舉個例子，假設 y = x² − 2x − 3，你把 a = 1、b = −2、c = −3 打進去，計算機會告訴你判別式是 16，解是 x = 3 或 x = −1。
二次函數的相關主題
二次函數把你在國二學的多項式、方程式，還有國三要學的圖形，全部串連在一起。你可以按照下面的順序來讀，會比較容易懂。
常見問題
二次函數是幾年級學的？
依照 108 課綱，二次函數是在國三學的。重點是認識已經配方好的式子，看它的圖形長什麼樣，還有找最大值和最小值。一次函數則是在國二學的。至於把一般式配方成頂點式，還有二次函數的應用問題，是留到高一才學的。
二次函數的開口大小怎麼看？
看 a 的絕對值，絕對值越大，圖形開口就越窄。a 的正負號決定開口方向，如果 a 大於 0，開口就朝上；如果 a 小於 0，開口就朝下。這跟 b 和 c 的大小沒有關係。
二次函數的判別式代表什麼？
判別式 b² − 4ac 可以告訴我們，二次函數的圖形和 x 軸有幾個交點。如果判別式大於 0，就有 2 個交點；如果等於 0，就只有 1 個交點；如果小於 0，就沒有交點。
二次函數和一元二次方程式有什麼關係？
把二次函數的 y 換成 0，就得到一元二次方程式。方程式的實數解，就是二次函數圖形和 x 軸交點的 x 坐標。