數學王二次函數頂點公式
先看看題目給你的是哪一種式子，再挑最省事的公式。如果題目直接寫成頂點式，你直接看數字就好；如果是一般式，就用 −b ÷ 2a 先算出 x 的坐標；如果你知道圖形和 x 軸交在哪兩點，就把這兩個交點的中點找出來。
二次函數頂點與對稱軸
我們來看拋物線 y = (x − 2)² + 1。它的頂點在 (2, 1)，也就是圖上標出的那一點。頂點是拋物線最低的地方。穿過頂點的垂直虛線 x = 2 叫做對稱軸，拋物線左右兩邊就像鏡子一樣對稱。
從頂點式讀出頂點座標
用頂點式時，最容易搞錯正負號。y = a(x − h)² + k 裡面，括號裡是減 h，所以 (x − 3)² 的 h 是 3，(x + 2)² 要把它看成 (x − (−2))²，h 就是 −2；後面 + k 的部分，則照原來的正負號讀。
為什麼頂點的座標是 (h, k) 呢？因為 (x − h)² 是一個數的平方，它最小的值就是 0，而且只有當 x = h 的時候才會等於 0，這時候 y 的值就是 k。如果 a 大於 0，其他 x 算出來的 y 都會比 k 大，所以 (h, k) 就是圖形上的最低點；如果 a 小於 0，情況剛好相反，(h, k) 就是圖形上的最高點。
| 二次函數 | 頂點 | 對稱軸 | 開口 | 最大值或最小值 |
|---|---|---|---|---|
| y = 2(x − 3)² + 1 | (3, 1) | x = 3 | 向上 | 最小值 1 |
| y = −(x + 2)² + 5 | (−2, 5) | x = −2 | 向下 | 最大值 5 |
| y = 3x² − 4 | (0, −4) | x = 0 | 向上 | 最小值 −4 |
| y = −0.5(x − 1)² | (1, 0) | x = 1 | 向下 | 最大值 0 |
| y = x² | (0, 0) | x = 0 | 向上 | 最小值 0 |
一般式怎麼配方成頂點式
配方就是想辦法把式子變成 (x − h)² 這種完全平方的樣子，我們用到的是乘法公式裡面的 (x + m)² = x² + 2mx + m²。我們以 y = x² − 6x + 5 為例，照下面四步來做。
如果 a 不是 1，要先把 a 從 x² 項和 x 項裡面提出來，再進行配方。例如 y = 2x² + 8x + 3 = 2(x² + 4x) + 3 = 2(x² + 4x + 4) − 8 + 3 = 2(x + 2)² − 5，這時候頂點是 (−2, −5)。用同樣的方法把 y = ax² + bx + c 配方，最後會得到 y = a(x + b ÷ 2a)² + (4ac − b²) ÷ 4a，所以頂點的 x 坐標是 −b ÷ 2a，y 坐標是 (4ac − b²) ÷ 4a，這就是頂點公式的想出方法。
- 先看 x 項前面的係數 −6，把它取一半變成 −3，再把 −3 平方得到 9。
- 在式子裡面加 9 再減 9，這樣算出來的值不會改變：y = x² − 6x + 9 − 9 + 5。
- 把前三項湊成完全平方：y = (x − 3)² − 4。
- 頂點的座標是 (3, −4)。因為 a = 1 比 0 大，所以拋物線開口是朝上的，這表示 −4 是整個圖形能達到的最小值。
二次函數頂點例題
算出頂點後，你可以把頂點的 x 坐標代回原本的式子裡，來檢查 y 坐標算得對不對。另外，看看 a 是正數還是負數，就能知道頂點是最高點還是最低點。
例 1y = 2x² + 8x + 3 的頂點座標是多少？
- a = 2，b = 8，c = 3
- x = −8 ÷ (2 × 2) = −2
- 代回原式：y = 2 × (−2)² + 8 × (−2) + 3 = 8 − 16 + 3 = −5
- 也可以配方，變成 y = 2(x + 2)² − 5 的樣子。
答：(−2, −5)
例 2請算算看，y = −x² + 4x + 1 這個圖形的頂點在哪裡？它的最大值又是多少？
- 先找出算式裡的三個數字：a 是 −1，b 是 4，c 是 1。
- 算頂點的 x 座標：x = −4 ÷ (2 × (−1)) = 2。
- 把 x = 2 代回原本的算式裡算 y：y = −(2)² + 4 × 2 + 1 = −4 + 8 + 1 = 5。
- 因為 a 小於 0，代表圖形像倒扣的碗，開口朝下，所以頂點就是最高的那一點。
答：頂點 (2, 5)，最大值 5
例 3二次函數 y = x² − 6x + 5 的圖形和 x 軸交在 x = 1 和 x = 5，頂點是多少？
- 頂點的 x 坐標在兩個交點的正中間：(1 + 5) ÷ 2 = 3
- 把 x = 3 代回原式：y = 3² − 6 × 3 + 5 = 9 − 18 + 5 = −4
答：(3, −4)
例 4二次函數 y = 3x² − 6x + 7 的最小值是多少？
- a = 3 大於 0，代表拋物線開口向上，所以頂點是最低點
- 頂點 x = −(−6) ÷ (2 × 3) = 1
- 把數字代進去算：y = (4ac − b²) ÷ 4a = (4 × 3 × 7 − 36) ÷ 12 = 48 ÷ 12 = 4
- 我們來檢查一下：把 x = 1 代回原本的式子，3 − 6 + 7 = 4
答：最小值 4，發生在 x = 1
相關主題
頂點是畫二次函數圖形的第一步，也是求最大值、最小值的關鍵。
常見問題
二次函數頂點公式是什麼？
一般式 y = ax² + bx + c 的頂點是 x = −b ÷ 2a，y = (4ac − b²) ÷ 4a。頂點式 y = a(x − h)² + k 的頂點直接就是 (h, k)。
y = a(x − h)² + k 的頂點為什麼是 (h, k)？
(x − h)² 最小是 0，只在 x = h 時等於 0，這時 y = k。a 大於 0 時其他點都比 k 高，所以 (h, k) 是最低點；a 小於 0 時是最高點。
y = −(x + 2)² + 5 的頂點是 (2, 5) 嗎？
不是，是 (−2, 5)。(x + 2)² 要看成 (x − (−2))²，所以 h = −2。