數學王二次函數圖形範例：y = x² − 2x − 3
這張圖畫的是 y = x² − 2x − 3。我們把它變成配方形式 y = (x − 1)² − 4，這樣就能看出頂點在 (1, −4)。因為 a = 1 大於 0，所以開口朝上，頂點就是最低的地方，最小值是 −4。那條虛線是對稱軸 x = 1，就像一條中線。點 (0, −3) 和 (2, −3) 離這條中線都是 1 格遠，高度也一樣高；點 (−1, 0) 和 (3, 0) 離中線都是 2 格遠，所以圖形左右是對稱的。
二次函數圖形怎麼畫：五個步驟
我們用 y = x² − 2x − 3 當例子，按照下面的步驟做，就能畫出上面的圖。
- 先找頂點：把它配方成 y = (x − 1)² − 4，頂點就是 (1, −4)。
- 畫對稱軸：通過頂點的鉛垂線 x = 1，用虛線畫。
- 最後看開口方向：因為 a = 1 大於 0，所以開口是向上的。
- 先找圖形跟兩條軸碰到的地方。當 x = 0 時，y = −3，所以有一個點在 (0, −3)。再解 x² − 2x − 3 = 0，算出 x = −1 或 x = 3，這樣就得到另外兩個點 (−1, 0) 和 (3, 0)。
- 接著畫出對稱的點，再把點連起來。(0, −3) 這個點對稱過去就是 (2, −3)，當 x = −2 和 x = 4 時，y 都是 5；把這些點用平滑的曲線連起來，頂點附近要畫成圓圓的弧線，不要畫成尖尖的角。
描點用的表格
畫點的時候，以對稱軸 x = 1 當作中心，左右各挑幾個整數，算出 y 填進表格裡。表格裡的 y 會以頂點為中心，左右兩邊完全對稱，如果你看到不對稱，那就代表有算錯了。
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y = x² − 2x − 3 | 5 | 0 | −3 | −4 | −3 | 0 | 5 |
二次函數圖形的平移
a 相同的二次函數圖形，形狀和大小都一樣，只是位置不一樣。y = a(x − h)² + k 的圖形，就是把 y = ax² 的圖形向右移 h、向上移 k，頂點從 (0, 0) 移到 (h, k)。下圖把 y = x² 向右移 2、向上移 1，就得到 y = (x − 2)² + 1，頂點移到 (2, 1)。
要特別注意方向：(x − 2)² 是向右移，(x + 2)² 是向左移，方向和括號裡的正負號看起來是反的；後面的 + k 是向上，− k 是向下。
常見的平移整理
下表裡的每一個二次函數，都可以由 y = 2x² 或 y = −x² 移動得到，而且開口大小不變。
| 二次函數 | 怎麼移動 | 頂點 |
|---|---|---|
| y = 2x² + 3 | y = 2x² 向上移 3 | (0, 3) |
| y = 2x² − 3 | y = 2x² 向下移 3 | (0, −3) |
| y = 2(x − 4)² | y = 2x² 向右移 4 | (4, 0) |
| y = 2(x + 4)² | y = 2x² 向左移 4 | (−4, 0) |
| y = −(x + 1)² + 2 | y = −x² 向左移 1、向上移 2 | (−1, 2) |
二次函數圖形判斷：從圖看 a、b、c 的正負
考題常給一張拋物線的圖，問 a、b、c 或 b² − 4ac 是正是負。每一個都有固定的看法：a 看開口方向；c 看和 y 軸的交點，因為 x = 0 時 y = c；b 要和 a 一起看對稱軸的位置，因為對稱軸是 x = −b ÷ 2a，對稱軸在 y 軸左邊表示 −b ÷ 2a 小於 0，a、b 同號，在右邊就是 a、b 異號，這就是常聽到的左同右異；b² − 4ac 看和 x 軸有幾個交點。
| 要判斷 | 看圖上哪裡 | 結論 |
|---|---|---|
| a | 開口方向 | 向上 a > 0，向下 a < 0 |
| c | 和 y 軸的交點 | 在原點上方 c > 0，下方 c < 0，通過原點 c = 0 |
| b | 對稱軸的位置 | 在 y 軸左邊 a、b 同號，右邊 a、b 異號，對稱軸就是 y 軸時 b = 0 |
| b² − 4ac | 和 x 軸的交點個數 | 2 個大於 0，1 個等於 0，沒有交點小於 0 |
用上面的 y = x² − 2x − 3 檢查：開口向上，a = 1 > 0；和 y 軸交在 (0, −3)，c = −3 < 0；對稱軸 x = 1 在 y 軸右邊，a、b 異號，b = −2 < 0；和 x 軸交兩點，b² − 4ac = 16 > 0。
二次函數圖形判斷例題
做判斷題時，先把圖上看得到的特徵一個一個寫下來，再對照上面的表。不確定時，找一個符合描述的式子代進去檢查。
例 1y = ax² + bx + c 的圖形開口向下，頂點在第一象限，和 y 軸交在原點下方。判斷 a、b、c 和 b² − 4ac 的正負。
- 開口向下：a < 0
- 圖形和 y 軸相交的地方，在原點的下方，也就是 c < 0。
- 頂點在第一象限，對稱軸在 y 軸右邊。因為 a 和 b 的符號不同，而且 a < 0，所以 b > 0。
- 開口向下，而且頂點在 x 軸上方，這樣圖形會穿過 x 軸兩次，所以 b² − 4ac > 0。
- 舉個例子，y = −x² + 4x − 1，它的頂點是 (2, 3)，c = −1，b² − 4ac = 16 − 4 = 12，這些條件都符合。
答：a < 0，b > 0，c < 0，b² − 4ac > 0
例 2y = 2(x − 3)² + 1 的圖形和 x 軸有幾個交點？
- 頂點在 (3, 1)，位置在 x 軸上方。
- a = 2 > 0，代表開口向上，頂點就是整條曲線最低的地方
- 因為最低點已經在 x 軸上面了，所以整條圖形都不會碰到 x 軸
- 檢查：把它展開變成 y = 2x² − 12x + 19，算一下 b² − 4ac = 144 − 152 = −8 < 0
答：0 個
例 3y = x² 的圖形要怎麼移動，才會變成 y = (x + 3)² − 2 的圖形？
- (x + 3)² 其實就是 (x − (−3))²，這裡 h = −3，代表向左移 3
- − 2 表示 k = −2，代表向下移 2
- 頂點從 (0, 0) 移到 (−3, −2)
答：向左移 3、向下移 2
相關主題
畫圖的時候，你要用到頂點和交點；做判斷題的時候，要用到判別式。這幾頁的內容可以一起看。
常見問題
二次函數圖形怎麼畫？
先找頂點和對稱軸，看 a 是正數還是負數，就知道圖形是向上還是向下開。接著找和 y 軸、x 軸的交點。最後在對稱軸的兩邊，標出左右對稱的點，再用平滑的曲線把它們連起來。
從二次函數圖形怎麼判斷 b 的正負？
你可以先看對稱軸的位置，它的公式是 x = −b ÷ 2a。對稱軸就像一條把圖形切成兩半的線。如果這條線在 y 軸的左邊，代表 a 和 b 的符號是一樣的；如果在右邊，代表 a 和 b 的符號不一樣；如果這條線剛好就是 y 軸，那代表 b = 0。你只要先從開口方向判斷出 a 是正還是負，就能推測出 b 的符號了。
y = (x − 2)² 的圖形是向左還是向右移？
圖形向右移了 2。我們來看 y = (x − 2)²，當 x = 2 的時候，結果才等於 0。所以頂點是在 (2, 0)，這個位置就在原點的右邊。