數學王雞兔同籠是什麼
這類題目很早就出現在中國古代的算書裡，最有名的一題是籠子裡有 35 個頭、94 隻腳。它難的地方是有兩個不知道的數，國小還沒學方程式，要靠推理把兩個未知數變成一個。
題目不一定是雞和兔。腳踏車和三輪車數輪子、答對加分答錯扣分、大船小船載人，只要是兩種東西、知道總數量和另一個總量，都是同一種題型，解法完全一樣。
解法一：假設法
「假設法」是最常用的雞兔同籠解法。先假裝籠子裡全部都是雞，算出應該有幾隻腳，再和真正的腳數比。每把一隻雞換成一隻兔，腳就多 2 隻，所以差了幾隻腳除以 2，就是兔子的隻數。
另一個好記的說法是「抬腳法」：叫每隻動物都抬起 2 隻腳，雞就沒有腳站了，還站在地上的腳都是兔子的，每隻兔子剩 2 隻腳。算式和假設全部是雞完全一樣。
例 1雞和兔一共有 10 隻，腳一共有 28 隻，雞和兔各有幾隻？
- 假設 10 隻都是雞，腳有 2 × 10 = 20（隻）
- 真正的腳比假設的腳多 28 − 20 = 8（隻）
- 每把一隻雞換成兔，腳就多 4 − 2 = 2（隻），所以兔有 8 ÷ 2 = 4（隻）
- 雞有 10 − 4 = 6（隻）
- 驗算：6 + 4 = 10（隻），2 × 6 + 4 × 4 = 12 + 16 = 28（隻腳）
答：雞 6 隻，兔 4 隻
例 2籠子裡有雞和兔，數一數有 35 個頭、94 隻腳，雞和兔各有幾隻？
- 假設 35 隻都是雞，腳有 2 × 35 = 70（隻）
- 我們少算了 94 − 70 = 24（隻腳）
- 兔子有 24 ÷ 2 = 12（隻）
- 雞有 35 − 12 = 23（隻）
- 驗算：23 + 12 = 35（個頭），2 × 23 + 4 × 12 = 46 + 48 = 94（隻腳）
答：雞 23 隻，兔 12 隻
解法二：畫表格
當數字不太大的時候，畫表格是最清楚的辦法，也很適合剛接觸這種題目的小朋友。我們來試試「雞和兔一共 10 隻，腳 28 隻」這個問題。從兔子 0 隻開始，一行一行寫下去，總數固定是 10 隻，看看腳數什麼時候等於 28。
寫了幾行以後，你會發現一個規律：兔子每多 1 隻，腳就多 2 隻。看出這個規律，你就可以直接跳到答案，這也就是假設法的道理。
| 兔（隻） | 雞（隻） | 腳的總數（隻） |
|---|---|---|
| 0 | 10 | 0 + 20 = 20 |
| 1 | 9 | 4 + 18 = 22 |
| 2 | 8 | 8 + 16 = 24 |
| 3 | 7 | 12 + 14 = 26 |
| 4 | 6 | 16 + 12 = 28 |
當兔子有 4 隻、雞有 6 隻的時候，腳的總數剛好是 28 隻，這就是我們要找的答案。
解法三：列式和雞兔同籠公式
我們可以把假設法的步驟寫成一個算式，這就是大家常聽到的雞兔同籠公式。這個公式不用死記硬背，只要記得它是怎麼從「假設全部都是雞」或者「假設全部都是兔」想出來的，如果忘記了，你也可以自己再推導一次。
到了國中七年級，我們學了方程式以後，也可以用一元一次方程式，或是二元一次聯立方程式來解題。不過這些內容在國小是不教的，所以放在最後面，給那些想先看看的孩子參考。
到了國一，我們學了二元一次方程式以後，解雞兔同籠的問題就可以直接列出兩個方程式來計算。
假設全是雞，多出的腳分給兔
我們先假設籠子裡 5 隻動物全是雞，每隻雞有 2 隻腳，5 隻雞一共有 10 隻腳。可是題目說有 14 隻腳，多出來 4 隻腳。每把一隻雞換成兔子，就會多出 2 隻腳，所以 4 隻多出的腳剛好換成 2 隻兔子，剩下 3 隻雞。
雞兔同籠題目變化
下面兩題看起來不是雞和兔，但它們的解法一樣。先找出「兩種東西各是多少」，然後假設全部都是其中那一種。
例 1停車場有腳踏車和三輪車一共 12 輛，輪子一共 29 個，三輪車有幾輛？
- 假設 12 輛都是腳踏車，輪子有 2 × 12 = 24（個）
- 多出來 29 − 24 = 5（個輪子）
- 每把一輛腳踏車換成三輪車，輪子就多了 3 − 2 = 1（個）。所以三輪車有 5 ÷ 1 = 5（輛）
- 腳踏車有 12 − 5 = 7（輛）
- 我們來驗算一下：7 + 5 = 12（輛），2 × 7 + 3 × 5 = 14 + 15 = 29（個輪子）
答：三輪車 5 輛
例 2一份考卷有 20 題，答對一題得 5 分，答錯一題扣 2 分。小華每題都有作答，最後得了 72 分，他答錯幾題？
- 假設 20 題全對，會得 5 × 20 = 100（分）
- 實際分數比滿分少了 100 − 72 = 28（分）
- 每把一題答對換成答錯，不但拿不到 5 分，還要扣 2 分，一共少 5 + 2 = 7（分）
- 答錯 28 ÷ 7 = 4（題），答對 20 − 4 = 16（題）
- 驗算：5 × 16 − 2 × 4 = 80 − 8 = 72（分）
答：答錯 4 題
植樹問題：數間隔還是數棵數
植樹問題和雞兔同籠一樣，是國小常見的思考題，課綱沒有特別列出。關鍵是要分清楚「間隔數」和「棵數」：一條路長 100 公尺，每 10 公尺種一棵樹，一共有 100 ÷ 10 = 10 個間隔，但樹的棵數要看兩端種不種。
兩端都種，棵數比間隔多 1；只種一端，棵數等於間隔數；兩端都不種，棵數比間隔少 1；圍成一圈，頭尾接在一起，棵數等於間隔數。鋸木頭、爬樓梯也是同樣的道理。
用畫表格的方法解題，其實就是在找數字的規律，更多練習在找規律題目。
例 1有一條路長 100 公尺，從路的開始到路的結束，每走 10 公尺就種一棵樹，路的最前面和最後面都要種，請問一共要種幾棵樹？
- 先算出有多少個 10 公尺的間隔：100 ÷ 10 = 10（個）
- 因為路的最前面和最後面都要種樹，所以樹的棵數比間隔多 1 棵：10 + 1 = 11（棵）
答：11 棵
例 2一個圓形池塘周長 60 公尺，沿著池邊每隔 5 公尺種一棵樹，一共要種幾棵？
- 先算出池邊一圈有多少個 5 公尺的間隔：60 ÷ 5 = 12（個）
- 因為是圍成一圈，樹的棵數剛好等於間隔數：12 棵
答：12 棵
例 3要把一根木頭鋸成 5 段，每鋸一次要 3 分鐘，請問一共要花幾分鐘？
- 想像一下，把一根木頭鋸成 5 段，其實只要鋸 5 − 1 = 4（次）。因為最後一段不用鋸，它自然就分出來了。
- 既然要鋸 4 次，每次要 3 分鐘，所以總共要 4 × 3 = 12（分鐘）。
答：12 分鐘
例 4從 1 樓走到 4 樓要 36 秒，如果用一樣快的速度，從 1 樓走到 8 樓要幾秒？
- 從 1 樓走到 4 樓，其實只爬了 4 − 1 = 3（層）樓梯。因為我們是從 1 樓出發，不需要爬第 1 層。
- 每層要 36 ÷ 3 = 12（秒）
- 從 1 樓爬到 8 樓，中間其實只爬了 8 − 1 = 7（層）。因為每層要 12 秒，所以總共需要 12 × 7 = 84（秒）。
答：84 秒
列式練習：試做 5 題
數學王裡面現在沒有專門玩雞兔同籠的關卡。不過，六年級有一關叫「數量關係解題」，它是練習從題目裡找線索、推出答案，這和雞兔同籠一樣，都要先想清楚數量之間的關係。另外，四年級有一關叫「加減乘除一起算」，它是練習把很多算式加在一起時，該先算哪一步。等你列出雞兔同籠的算式後，要算得又快又對，靠的就是這個基本功。
如果你想多練習推理，數學王的小遊戲裡有「算式偵探」和「十字填數」。玩這些遊戲時，你也要一邊動腦推理，一邊試著填數字。
準備好就開始，一共 5 題。
常見問題
雞兔同籠是幾年級的題目？
雞兔同籠通常出現在國小五、六年級的思考題，或是數學比賽裡。108 課綱沒有特別列出這個單元。等到國中七年級，學了方程式以後，老師也常拿它當例子來講。
雞兔同籠的公式是什麼？
兔子的隻數 = (總腳數 − 2 × 總頭數) ÷ 2，雞的隻數 = (4 × 總頭數 − 總腳數) ÷ 2。這個公式是透過「假設全部都是雞」或「假設全部都是兔」想出來的。只要你懂這個假設的方法，就不用死記硬背了。
雞兔同籠一定要用方程式解嗎？
不用。在國小，用假設法或畫表格就能解出來。方程式是國中七年級才學的方法。你先學會假設法，之後上國中學方程式時，會更容易看懂那些式子在說什麼。