數學王直角三角形邊長公式
前面兩條公式，其實就是把畢氏定理的算式重新整理，然後開根號得到的。後面三條，是邊長算出來以後，常常會接著考的題目。如果你不太確定根號是什麼意思，可以去看根號。
已知斜邊和一條直角邊，求另一條直角邊
看下面的圖，斜邊是 13，有一條直角邊是 5，我們要找另一條直角邊。直角三角形有一個規律：兩條直角邊各自平方後加起來，等於斜邊的平方。所以，要求的那條直角邊平方，就是 13² − 5² = 169 − 25 = 144。對 144 開根號，答案就是 12。很多人會犯錯，習慣把兩個數平方後加起來，算出 √194，這比斜邊 13 還長，一看就知道不對。
直角三角形邊長計算對照表
每一列都可以自己先算一次，再對答案。如果根號開不盡，保留根號就是精確值，括號後面是四捨五入到小數第 3 位的近似值。
| 已知 | 要求 | 算式 | 答案 |
|---|---|---|---|
| 直角邊 6、8 | 斜邊 | √(36 + 64) = √100 | 10 |
| 斜邊 10、直角邊 6 | 另一條直角邊 | √(100 − 36) = √64 | 8 |
| 斜邊 25、直角邊 7 | 另一條直角邊 | √(625 − 49) = √576 | 24 |
| 斜邊 17、直角邊 15 | 另一條直角邊 | √(289 − 225) = √64 | 8 |
| 斜邊 5、直角邊 2 | 另一條直角邊 | √(25 − 4) = √21 | √21，約 4.583 |
| 斜邊 4、直角邊 1 | 另一條直角邊 | √(16 − 1) = √15 | √15，約 3.873 |
| 直角邊 1、1 | 斜邊 | √(1 + 1) = √2 | √2，約 1.414 |
三邊都是整數的組合，例如 3、4、5 和 5、12、13，整理在畢氏定理常見組合。
直角三角形邊長計算：開不盡時用根號計算機
先自己算好根號裡面的數，再交給計算機開根號。例如斜邊 5、直角邊 2，5 × 5 − 2 × 2 = 21，把預設的 12 改成 21，會得到 √21 ≈ 4.582576，介於 4 和 5 之間。根號裡是 72 時，計算機會化成 6√2，方便寫成最簡根式。
直角三角形邊長計算例題
先確認哪一條是斜邊，再決定用加的還是減的。判斷題要拿最長的邊當斜邊來檢查。
例 1有一個直角三角形，像書本角落那樣方方正正。它最長的那條邊叫斜邊，長度是 10 公分。其中一條形成直角的邊是 6 公分。請問另一條形成直角的邊有多長呢？
- 我們先算另一條直角邊長度的平方。算式是：另一條直角邊² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64
- 因為 8 × 8 = 64，所以另一條直角邊 = √64 = 8（公分）
答：8 公分
例 2如果一個三角形的三條邊長分別是 7、24、25，請問它是直角三角形嗎？
- 我們先找出最長的那條邊，它是 25。把 25 乘以自己，25² = 625
- 再把另外兩條較短的邊平方後加起來：7² + 24² = 49 + 576 = 625
- 因為兩邊算出來的長度一樣，所以這個三角形有直角，是直角三角形。裡面最長的那條邊叫做斜邊，長度是 25。
答：是直角三角形
例 3如果一個三角形的三條邊長分別是 4、5、6，它會是直角三角形嗎？
- 先找出最長的那條邊，也就是 6。把 6 自己乘自己，算出 6² = 36。
- 再把另外兩條邊 4 和 5 各自乘自己，然後加起來，算出 4² + 5² = 16 + 25 = 41。
- 因為 41 和 36 不一樣，所以這個三角形不是直角三角形。
答：不是直角三角形
例 4有一個直角三角形，兩條互相垂直的直角邊長分別是 6 公分和 8 公分。請問從直角那個角，直直量到最長那條斜邊的高，長度是多少？
- 斜邊 = √(36 + 64) = 10（公分）
- 面積 = 6 × 8 ÷ 2 = 24（平方公分）
- 斜邊上的高 = 24 × 2 ÷ 10 = 4.8（公分）
答：4.8 公分
例 5直角三角形的斜邊是 5 公分，一條直角邊是 3 公分，面積和周長各是多少？
- 另一條直角邊 = √(25 − 9) = √16 = 4（公分）
- 面積 = 3 × 4 ÷ 2 = 6（平方公分）
- 周長 = 3 + 4 + 5 = 12（公分）
答：面積 6 平方公分，周長 12 公分
只知道一條邊和角度怎麼求邊長
如果只知道一條邊的長度，光靠畢氏定理是算不出來的，你還需要知道角度。角度是 30 度、60 度、90 度時，三邊比是 1 : √3 : 2；角度是 45 度、45 度、90 度時，三邊比是 1 : 1 : √2。舉個例子，如果是 30 度、60 度、90 度的三角形，而且斜邊是 8，那麼 30 度角對面的直角邊是 4，另一條直角邊是 4√3，大約是 6.93。更詳細的換算方法在直角三角形比例。
如果角度是 20 度、50 度這種一般的角，要算邊長比就得用正弦、餘弦、正切。這是高中一年級才學的三角比，國中不會考。國中的題目如果給角度，幾乎都是 30 度、45 度、60 度。
常見問題
直角三角形邊長怎麼算？
用畢氏定理：直角邊² + 直角邊² = 斜邊²。想求斜邊時，把兩條直角邊平方後相加，再開根號；想求直角邊時，把斜邊平方減去另一條直角邊平方，再開根號。
直角三角形邊長公式有哪些？
斜邊 = √(直角邊² + 直角邊²)，直角邊 = √(斜邊² − 另一條直角邊²)，斜邊上的高 = 直角邊 × 直角邊 ÷ 斜邊。
知道斜邊怎麼求直角邊？
還要再知道一條直角邊或一個角。如果知道一條直角邊，另一條 = √(斜邊² − 直角邊²)。例如斜邊 13、直角邊 5，另一條是 12。
怎麼判斷三條邊能不能圍成直角三角形？
想確認是不是直角三角形，可以這樣做：先找出最長的那條邊，把它平方，再和另外兩條邊平方後的數字加起來比較。如果兩個數字一樣大，它就是直角三角形。舉個例子，邊長是 5、12、13：5 平方是 25，12 平方是 144，25 + 144 = 169，剛好等於 13²，所以它是直角三角形。