數學王30 度、60 度、90 度：1 : √3 : 2
把邊長 2 的正三角形從頂點對半切開，會得到兩個 30 度、60 度、90 度的直角三角形。斜邊是正三角形的邊 2，短直角邊是底邊的一半 1，長直角邊是正三角形的高，用畢氏定理算是 √(2² − 1²) = √3，所以三邊比是 1 : √3 : 2。
記的時候要抓住角和邊的對應關係：30 度角對著最短的邊 1，60 度角對著 √3，90 度角對著最長的斜邊 2。√3 約 1.732，詳細可以看根號3。
45 度、45 度、90 度：1 : 1 : √2
正方形沿著對角線切開，對角線就是從一個角連到對面那個角的直線。切開後得到兩個等腰直角三角形。等腰直角三角形的兩條直角邊一樣長，另外兩個銳角都是 45 度。如果直角邊是 1，斜邊是 √(1² + 1²) = √2，所以三邊比是 1 : 1 : √2。√2 約 1.414，詳細可以看根號2。
直角三角形邊長比例換算表
如果你知道其中一條邊的長度，就把比例裡對應的那一項換成它，算出放大了幾倍，再乘到另外兩項。近似值是四捨五入到小數第 3 位。
| 三角形 | 已知 | 另外兩邊 |
|---|---|---|
| 30 度、60 度、90 度 | 短直角邊 3 | 長直角邊 3√3，約 5.196；斜邊 6 |
| 30 度、60 度、90 度 | 斜邊 10 | 短直角邊 5；長直角邊 5√3，約 8.660 |
| 30 度、60 度、90 度 | 長直角邊 6 | 短直角邊 2√3，約 3.464；斜邊 4√3，約 6.928 |
| 45 度、45 度、90 度 | 直角邊 4 | 另一條直角邊 4；斜邊 4√2，約 5.657 |
| 45 度、45 度、90 度 | 斜邊 10 | 兩條直角邊都是 5√2，約 7.071 |
| 45 度、45 度、90 度 | 斜邊 8 | 兩條直角邊都是 4√2，約 5.657 |
如果你知道長的那條直角邊，或者知道斜邊，想要算出另外一條邊，就要用到除法。這時候分母裡面如果有根號，記得把它變乾淨。舉個例子：6 ÷ √3 = 2√3。
用直角三角形比例求邊長
第一步先看清楚這是哪一種三角形，然後把你已經知道的邊長，對到比例公式裡對應的那一個位置。
例 130 度、60 度、90 度的直角三角形，斜邊是 12 公分，兩條直角邊各是多少？
- 這種三角形的三邊比例是 1 : √3 : 2。這裡的 2 代表斜邊。因為斜邊是 12，所以要把比例放大 6 倍。
- 比較短的那條直角邊 = 1 × 6 = 6（公分）
- 比較長的那條直角邊 = √3 × 6 = 6√3 ≈ 10.39（公分）
答：6 公分和 6√3 公分，6√3 約 10.39
例 2有一個直角三角形，它的三個角分別是 30 度、60 度和 90 度。90 度那個角像書本一樣方方正正。題目說，60 度角對面那條直角邊的長度是 6。請問另外兩條邊的長度各是多少？
- 這種三角形的三邊長度有一個固定的比例關係，其中 60 度角對面的那條邊，對應的比例數字是 √3。現在這條邊的長度是 6，我們用 6 ÷ √3 來算出放大的倍數，結果是 2√3 倍。
- 比較短的那條直角邊，它的比例數字是 1。我們用 1 × 2√3，算出它的長度是 2√3。
- 最長的那條邊叫做斜邊，它的比例數字是 2。我們用 2 × 2√3，算出它的長度是 4√3。
答：短直角邊 2√3，斜邊 4√3
例 3有一個等腰直角三角形，它的兩條腰一樣長，而且有一個直角。題目告訴我們，最長的那條斜邊長度是 6 公分。請問它的腰長是多少？面積又是多少？
- 等腰直角三角形的三邊長度比例是 1 : 1 : √2。這裡的 √2 對應的是最長的斜邊。因為斜邊實際長 6，我們用 6 ÷ √2 來算出腰的長度，結果是 3√2，大約等於 4.24 公分。
- 面積 = 3√2 × 3√2 ÷ 2 = 18 ÷ 2 = 9（平方公分）
答：腰 3√2 公分，約 4.24 公分；面積 9 平方公分
例 4邊長 7 公分的正方形，對角線約是多少？
- 對角線是從一個角連到對面那個角的直線。它把正方形分成兩個三角形，這些三角形有兩個 45 度角和一個像書本角一樣方方正正的 90 度角。
- 對角線 = 7 × √2 = 7√2 ≈ 9.90（公分）
答：7√2 公分，約 9.90 公分
3 : 4 : 5 也是直角三角形比例嗎
是的。如果一個三角形的三邊長度比是 3 : 4 : 5，我們算一下 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²，這表示它一定是直角三角形。同樣道理，5 : 12 : 13 和 8 : 15 : 17 也是。這些組合的三邊都是整數，很適合用在不想出現根號的題目裡，我們把它們整理在畢氏定理常見組合。
要特別注意，3 : 4 : 5 的三角形裡，兩個比較小的角約是 36.87 度和 53.13 度，不是 30 度和 60 度。如果是 30 度、60 度、90 度的三角形，最短的那條邊一定是斜邊的一半。但是在 3 : 4 : 5 的三角形裡，3 不是 5 的一半，所以它們不一樣。
角度一樣，邊長比就一樣：相似直角三角形
如果有兩個直角三角形，只要它們其中一個不是直角的那個角一樣大，那三個角就會全部一樣大。這種三角形叫做相似三角形，意思是它們形狀長得一樣，只是尺寸不一樣大。因為形狀一樣，所以對應起來的邊長比例也會一樣。這就是國中三年級會學的相似直角三角形邊長比不變的道理，相似三角形裡有比較完整的說明。
我們在生活中可以用這個原理量高度。在同一個時間、同一個地方，太陽照出來的影子和物體會形成角度相同的直角三角形。舉個例子，如果一根 2 公尺高的竿子，影子長 3 公尺；而旗桿的影子長 12 公尺。我們可以列出算式：旗桿高 : 12 = 2 : 3。算出來旗桿高就是 8 公尺。
每一種角度都有它專屬的邊長比例。30 度、45 度、60 度這些角度的比例，可以用正三角形和正方形來推算出來。至於其他角度的比例，要等到高中一年級才會用正弦、餘弦、正切來表示，這也就是三角函數的開始。
國小基礎：比和放大縮小試做 5 題
數學王的練習題是給國小一到六年級小朋友做的，裡面沒有國中才會遇到的邊長比題目。直角三角形比例用到的知識，是六年級學過的比與比值，還有放大縮小圖形時對應邊成比例。這兩個關卡練的就是這些國小基礎。不用登入，做完之後會告訴你答對幾題。
準備好就開始，一共 5 題。
常見問題
直角三角形邊長比有哪些？
最常用的是 30 度、60 度、90 度的 1 : √3 : 2，還有 45 度、45 度、90 度的 1 : 1 : √2。另外，三邊都是整數的 3 : 4 : 5、5 : 12 : 13 也是直角三角形，但它們的角度不是上面那種特殊角。
30 60 90 三角形的邊長比是多少？
短直角邊 : 長直角邊 : 斜邊 = 1 : √3 : 2。這裡 30 度角對著最短的那條邊，60 度角對著 √3 那條邊，90 度角對著斜邊 2。也就是說，斜邊的長度是最短直角邊的 2 倍。
45 45 90 三角形的邊長比是多少？
直角邊 : 直角邊 : 斜邊 = 1 : 1 : √2，斜邊約是直角邊的 1.414 倍。
直角三角形比例是幾年級學的？
108 課綱把這個內容安排在國中三年級的相似直角三角形單元。至於其他角度的邊長比，要用到三角函數，那是高中一年級才會學到比較進階的數學。