數學王直角三角形定理總整理
下面的表格是按照學習順序排的。你可以選一個三邊都是整數的直角三角形，例如邊長是 3、4、5 或 6、8、10 的，自己動手算一次來驗證。
| 定理或性質 | 內容 | 例子 | 學習階段 |
|---|---|---|---|
| 兩銳角互餘 | 兩個銳角相加是 90 度 | 一個銳角 35 度，另一個是 55 度 | 國小五年級 |
| 斜邊最長 | 直角是最大的角，大角對大邊，所以斜邊最長 | 6、8、10 的斜邊是 10 | 國中二年級 |
| 畢氏定理 | 直角邊² + 直角邊² = 斜邊² | 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5² | 國中二年級 |
| 畢氏定理的逆定理 | 三邊滿足兩短邊平方和等於最長邊平方，就是直角三角形 | 7、24、25：49 + 576 = 625 | 國中二年級 |
| 斜邊上的高 | 高 = 直角邊 × 直角邊 ÷ 斜邊 | 6、8、10：6 × 8 ÷ 10 = 4.8 | 國中二年級 |
| 斜邊中點是外心 | 斜邊中點到三個頂點一樣遠，外接圓半徑是斜邊的一半 | 斜邊 10，外接圓半徑 5 | 國中三年級 |
| 30 度角的對邊 | 30 度角對面的直角邊是斜邊的一半 | 斜邊 8，30 度角的對邊是 4 | 國中三年級 |
| 內切圓半徑 | 半徑 = (兩條直角邊的和 − 斜邊) ÷ 2 | 3、4、5：(3 + 4 − 5) ÷ 2 = 1 | 國中三年級 |
| 斜邊上的高分出相似形 | 高把直角三角形分成兩個和原來相似的直角三角形 | 6、8、10 的高把斜邊分成 3.6 和 6.4 | 國中三年級 |
畢氏定理和它的逆定理
畢氏定理說的是：在直角三角形中，把兩條直角邊各自平方後加起來，會等於斜邊的平方。它最常用來知道兩條邊的長度後，求第三條邊。怎麼求斜邊的方法在直角三角形求斜邊，怎麼求直角邊的方法在直角三角形邊長。
逆定理是反過來用：如果你不知道一個三角形是不是直角三角形，只要它的三邊長滿足「兩條較短邊的平方和等於最長邊的平方」，就能確定它是直角三角形，而且最長邊對面的那個角是直角。108 課綱在國二會同時教這兩個方向。要注意判斷時一定要拿最長的那條邊來比較，例如邊長是 5、12、13，就要檢查 25 + 144 是否等於 169。
斜邊上的高：面積算兩次
直角三角形的面積可以用兩種方法算：因為兩條直角邊互相垂直，像「十」字一樣，所以面積 = 6 × 8 ÷ 2 = 24。也可以把斜邊當作底，那麼面積 = 10 × 高 ÷ 2。兩種算法算出來的面積是一樣的，所以高 = 24 × 2 ÷ 10 = 4.8。這就是「斜邊上的高 = 直角邊 × 直角邊 ÷ 斜邊」這個公式想出來的過程。
到了國中三年級學了相似形以後，還會發現這條高把原本的直角三角形分成了兩個小的直角三角形，它們和原來的三角形長得像，也就是相似。從相似可以推出：高的平方 = 斜邊被分成的兩段長度相乘，4.8² = 3.6 × 6.4 = 23.04；直角邊的平方 = 斜邊 × 靠近它的那一段長度，6² = 10 × 3.6、8² = 10 × 6.4。
斜邊中點和 30 度角的性質
直角三角形斜邊的中點，到三個頂點的距離都一樣，等於斜邊的一半。所以直角三角形的外心就在斜邊中點，外接圓的直徑就是斜邊。把直角三角形補成長方形就看得出來：斜邊是長方形的對角線，長方形兩條對角線一樣長而且互相平分，交點到四個角都一樣遠。
角度是 30 度、60 度、90 度的直角三角形，30 度角對面的那條直角邊，長度是斜邊的一半。如果你拿兩個一模一樣的這種三角形拼在一起，會拼成一個正三角形，短的那條直角邊剛好是正三角形邊長的一半。它們完整的邊長比是 1 : √3 : 2，詳細說明在直角三角形比例。
直角三角形定理例題
做每一題之前，先想清楚要用哪一個定理，然後再列出算式。
例 1三邊長分別是 6、7、9 的三角形，是直角三角形嗎？
- 最長的那條邊是 9，9² = 81
- 6² + 7² = 36 + 49 = 85
- 85 不等於 81，所以這個三角形不是直角三角形
答：不是直角三角形
例 2直角三角形的斜邊是 10 公分，斜邊中點到直角頂點的距離是多少？
- 斜邊中點到三個頂點一樣遠，都是斜邊的一半
- 10 ÷ 2 = 5（公分）
答：5 公分
例 330 度、60 度、90 度的直角三角形，斜邊是 14，兩條直角邊各是多少？
- 在這種特殊的直角三角形裡，30 度角正對著的那條邊，長度剛好是斜邊的一半。所以我們算 14 ÷ 2 = 7。
- 另一條直角邊的長度，要用斜邊平方減去剛才算出的邊長平方，再開平方根。算式是 √(14² − 7²) = √(196 − 49) = √147 = 7√3。
- 把 7√3 換成小數來算，約等於 7 × 1.732 = 12.124。
答：7 和 7√3，7√3 約 12.12
例 4直角邊 5 和 12 的直角三角形，斜邊上的高是多少？
- 先算出斜邊的長度。根據畢氏定理，斜邊 = √(25 + 144) = √169 = 13。
- 利用三角形面積的兩種算法，高 = 5 × 12 ÷ 13 = 60/13。
- 60 ÷ 13 ≈ 4.615
答：60/13，約 4.62
例 5三邊長 3、4、5 的直角三角形，內切圓半徑是多少？
- 半徑 = (3 + 4 − 5) ÷ 2 = 1
- 用面積檢查：面積 = 3 × 4 ÷ 2 = 6，也等於周長 × 半徑 ÷ 2 = 12 × 1 ÷ 2 = 6
答：1
常見問題
直角三角形定理是什麼？
最常指畢氏定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方，例如 3² + 4² = 5²。它在國中二年級學。
直角三角形有哪些性質？
兩個銳角相加是 90 度、斜邊最長、滿足畢氏定理、斜邊中點到三個頂點等距、30 度角對面的邊是斜邊的一半，斜邊上的高等於兩條直角邊相乘再除以斜邊。
怎麼用三邊長判斷直角三角形？
我們可以用畢氏定理的逆定理來判斷。畢氏定理的逆定理就是：如果一個三角形最長的那條邊，它的平方等於另外兩條邊的平方加起來，那這個三角形一定是直角三角形。舉個例子，假設三角形的三邊長度分別是 7、24、25。我們算一下：49 + 576 = 625 = 25²。因為 25 是最長邊，而且 25 的平方正好等於 7 的平方加 24 的平方，所以這個三角形就是直角三角形。
直角三角形的外心在哪裡？
圓心在斜邊的中點。中點就是邊的正中間。這個圓心到三角形三個頂點的距離都一樣遠。外接圓的半徑就是斜邊長度的一半。這個知識點是國中三年級學的。