數學王中垂線作圖
中垂線是垂直一條線段、又經過它中點的直線。作法：以 A 為圓心、比 AB 一半還長的長度為半徑，在 AB 上下各畫一段弧；圓規張開的大小不變，再以 B 為圓心畫弧，和剛才的弧交於 P、Q；用直尺連接 PQ，就是 AB 的中垂線，PQ 和 AB 的交點 M 是 AB 的中點。
為什麼這樣畫是對的呢？因為 P 點到 A 點和 B 點的距離，都是我們設定好的半徑，所以是一樣的長度。Q 點也是一樣的道理。凡是到線段兩端距離都相等的點，一定都在中垂線上。有了 P 和 Q 兩個點，我們就能畫出這條直線。不過要注意，如果圓規張開的大小沒有比 AB 的一半長，兩段弧線就碰不到一起，這樣就找不到交點 P 和 Q 了。
角平分線作圖
怎麼畫角平分線呢？先拿圓規，把針尖放在角的頂點 O，畫一段弧線，讓它跟角的兩條邊分別交在 C 點和 D 點。然後，分別以 C 點和 D 點為圓心，用跟剛剛一樣的半徑畫弧線，讓兩段弧線交在 E 點。最後，用直尺把 O 點和 E 點連起來，這條線就是這個角的角平分線，它能把這個角分成兩個一樣大的角。
為什麼這樣是對的呢？因為 OC 和 OD 都是同一個圓的半徑，所以長度相等。CE 和 DE 也是用同樣半徑畫的，所以長度也相等。OE 這條線是兩個三角形共用的邊。根據 SSS 全等，也就是三條邊長度都對應相等的三角形是全等的，△OCE 和 △ODE 這兩個三角形就全等。所以 ∠COE 和 ∠DOE 這兩個角是一樣大的。如果有一個 60 度的角，平分後可以得到 30 度，再平分一次就可以得到 15 度；如果有一個 90 度的角，平分後就可以得到 45 度。
其他基本作圖步驟
課綱裡要求學的其他尺規作圖，其實都可以拆成兩個基本動作：畫出長度一樣的弧，還有畫中垂線。考試時常會問你為什麼這樣畫是對的，這時候就要寫出用到的性質，像是中垂線的性質、SSS 全等，或是同位角相等時兩條直線就會像鐵軌一樣平行。
- 複製線段：先用圓規量好已知線段的長度，保持圓規張開的大小不變，在直線上選一個點當圓心畫弧。弧和直線相交的那個點，到圓心的距離，就和原來線段一樣長。
- 複製角：在原來的角和新的射線上，以頂點為圓心畫同樣半徑的弧；再用圓規量原來角兩個交點的距離，在新的弧上截出同樣距離，連到頂點。依 SSS 全等，兩個角相等。
- 過直線上一點作垂線：先以這個點為圓心畫弧，讓弧在直線上截出兩個點。然後畫這兩個點的中垂線，這條線就會和原來的直線形成直角。
- 過直線外一點作垂線：先以這個點為圓心畫弧，讓弧和直線相交於兩個點。接著畫這兩個交點的中垂線，這條中垂線一定會經過原來那個在直線外面的點，而且和直線垂直。
- 過直線外一點作平行線：先過這個點畫一條直線，讓它和原來的直線相交。然後把交出來的角複製到這個點上。因為同位角相等，所以新畫的直線和原來的直線就會像鐵軌一樣平行，不會碰在一起。
- 複製三角形：用圓規量出三條邊，先畫一條邊，再以兩端為圓心、另外兩邊長為半徑畫弧，交點就是第三個頂點，依 SSS 全等。
- 正三角形和正六邊形：以邊長為半徑畫弧可得正三角形；在圓上用半徑長連續截 6 次，依序連起來就是正六邊形，因為每個圓心角都是 60 度。
線段三等分怎麼作
線段可以用尺規分成任意等分。做法是：從 A 點畫一條射線，用圓規在這條射線上連續量出三段一樣長，得到點 1、2、3。接著連接點 3 和 B 點。然後過點 1 和點 2 畫出與這條連線平行的線，像鐵軌一樣不會相交。這兩條平行線交 AB 於 P、Q，P、Q 就把 AB 分成三等分。
為什麼對：因為那三條平行線在射線上截出的三段一樣長，所以在 AB 上截出的三段也會一樣長。這是國中三年級學的平行線截比例線段性質。
角能用尺規三等分嗎
任意一個角都不能只用尺規三等分，這是古希臘留下來的三大作圖難題之一。1837 年法國數學家汪策爾用代數證明了這件事，所以不是還沒找到方法，而是已經證明做不到。網路上看到的三等分角方法，多半是用了有刻度的尺、量角器，或只是近似值。
不過有些特別的角可以三等分。例如 90 度：用正三角形作出 60 度角，90 度扣掉 60 度剩下 30 度，就是 90 度的三分之一。能不能三等分要看是哪一個角，不能一概而論。
正 17 邊形尺規作圖
1796 年，還不到 19 歲的高斯發現正 17 邊形可以用尺規畫出來，這是兩千年來第一次有人找到新的可以尺規作圖的正多邊形。後來的結果是：正 n 邊形能用尺規作圖，若且唯若 n 是 2 的次方乘上幾個不同的費馬質數，費馬質數目前只知道 3、5、17、257、65537 這五個。
正 17 邊形的畫法步驟很長，背後需要算出 cos(360° ÷ 17)，而且這個計算只能用到加、減、乘、除和平方根。這些內容屬於大學程度，國中的你只需要知道它畫得出來就好。下面的表格整理了 3 到 20 邊的正多邊形，哪些能用尺規作圖，哪些不能。
| 能用尺規作圖 | 不能用尺規作圖 |
|---|---|
| 正 3、4、5、6 邊形 | 正 7、9 邊形 |
| 正 8、10、12 邊形 | 正 11、13、14 邊形 |
| 正 15、16、17、20 邊形 | 正 18、19 邊形 |
正 9 邊形畫不出來，這代表 120 度角不能三等分。為什麼呢？因為 120 度的三分之一是 40 度，而 40 度正好是正 9 邊形圓心角的度數。
常見問題
尺規作圖可以用哪些工具？
我們只能用沒有刻度的直尺和圓規。直尺是用來連直線的，圓規是用來畫圓、畫弧，以及複製長度用的。注意，我們不能用它來量角度，也不能用來量長度。
中垂線怎麼用尺規作圖？
我們先以線段的兩個端點為圓心，用比線段一半還要長的相同半徑畫弧。兩條弧會相交於兩個點，把這兩個點連起來，得到的直線就是中垂線。
角可以用尺規三等分嗎？
不是所有角都能用尺規作圖畫出來的。早在 1837 年，數學家就證明有些角是畫不出來的。不過，把一條線段分成完全相等的三段是可以做到的，像 90 度這種特別的角也可以畫出來。
正 17 邊形可以用尺規畫出來嗎？
可以的。大數學家高斯在 1796 年發現，正 17 邊形可以用尺規作圖畫出來。但是正 7 邊形和正 9 邊形就不行，它們沒辦法用尺規作圖完成。