數學王弧長公式：國小、國中、高中寫法
這三種寫法算出來的結果是一樣的，只是代表圓周率和角度的方法不一樣。扇形的周長和面積常常一起考，所以我們也一起寫下來。
扇形弧長是哪一段
扇形看起來像一片切好的餅乾，它由兩條半徑和一段彎彎的弧圍成。弧長只算外面那一段彎彎的邊，如果要算扇形的周長，就要把兩條半徑也加進去。圓心角 120 度的扇形占整個圓的 120 ÷ 360 = 1/3，所以它的弧長就是圓周長的 1/3。
π 是圓周率，它就是圓周長 ÷ 直徑，大約是 3.14159265，小數一直寫不完也不會循環。我們為了好算一律用 3.14，到了國中會改用符號 π 表示，例如半徑 6、圓心角 60 度的弧長寫成 2π，不用算出小數；如果用 3.14 算是 6.28，真正的值約 6.2832。圓周率的歷史和更多位數在圓周率。
弧長公式例題
前兩題是國小也會出的直接計算，後面是國中的反推題和高中的弧度題。用 π 表示時，先把 2 × 半徑 × 圓心角 ÷ 360 算成一個數，再接上 π。
例 1半徑 6 公分、圓心角 60 度的扇形，弧長是多少？
- 弧長 = 2π × 6 × 60 ÷ 360 = 2π（公分）
- 當 π 用 3.14 來算時，2 × 3.14 = 6.28（公分）
答：2π 公分，約 6.28 公分
例 2半徑 10 公分、圓心角 72 度的扇形，弧長是多少？
- 國中：2π × 10 × 72 ÷ 360 = 4π（公分）
- 國小：72 ÷ 360 = 1/5，20 × 3.14 ÷ 5 = 12.56（公分）
答：4π 公分，約 12.56 公分
例 3半徑 9 公分的扇形，弧長是 5π 公分，圓心角是幾度？
- 2π × 9 × 圓心角 ÷ 360 = 5π
- 18π × 圓心角 ÷ 360 = 5π，圓心角 = 5 × 360 ÷ 18 = 100（度）
答：100 度
例 4圓心角 120 度的扇形，弧長 6.28 公分，半徑是多少？π 用 3.14 計算。
- 120 ÷ 360 = 1/3，弧長是圓周長的 1/3
- 圓周長 = 6.28 × 3 = 18.84（公分）
- 半徑 = 18.84 ÷ 3.14 ÷ 2 = 3（公分）
答：3 公分
例 5半徑 6 公分、圓心角 60 度的扇形，周長是多少？
- 弧長 = 2π（公分）
- 周長 = 6 × 2 + 2π = 12 + 2π（公分），約 18.28 公分
答：(12 + 2π) 公分
例 6高中題：半徑 4、圓心角 π/3 弧度的扇形，弧長是多少？
- s = rθ = 4 × π/3 = 4π/3
- π/3 弧度就是 60 度，用度數算 2π × 4 × 60 ÷ 360 = 4π/3，答案一樣
答：4π/3，約 4.19
圓心角和圓周角
頂點在圓心的角叫圓心角，頂點在圓周上、兩邊都和圓相交的角叫圓周角。同一段弧所對的圓周角是圓心角的一半：下圖弧 AB 所對的圓心角 ∠AOB 是 100 度，圓周角 ∠ACB 就是 50 度；C 在弧的另一側任何位置，角度都不變。
到了國中三年級，還會用到三個重要的結果。第一個是弧的度數，它等於它所對的圓心角的度數。第二個是，如果一條線段是直徑，它所對的圓周角就是 180 ÷ 2 = 90 度。第三個是圓內接四邊形的對角相加是 180 度，例如一個角 75 度，它的對角是 105 度。
切線和割線的差別
一條直線和一個圓的位置關係有三種。我們看圓心到直線的距離 d 和半徑 r 比大小。如果 d 比 r 大，直線和圓不相交。如果 d 等於 r，直線只碰到圓的一個點，這條直線叫切線，碰到的點叫切點。如果 d 比 r 小，直線穿過圓、交於兩點，叫割線。割線在圓裡面的那一段叫弦。
切線最重要的性質是：過切點的半徑和切線互相垂直。兩條線碰在一起形成直角，像書本的角或「十」字。所以題目給切線時，先把圓心和切點連起來，就會出現直角，常常接著用畢氏定理計算。
切線割線整理表
下表把三種位置關係並排比較。最後一列的切割線性質不在 108 課綱國中的學習內容裡，屬於延伸。
| 比較 | 不相交 | 切線 | 割線 |
|---|---|---|---|
| 圓心到直線的距離 d | d > r | d = r | d < r |
| 和圓的交點 | 0 個 | 1 個 | 2 個 |
| 性質 | 整條線在圓外 | 垂直過切點的半徑 | 圓內的部分是弦，弦心距垂直平分弦 |
| 延伸：從圓外一點 P 畫切線 PA 和割線 PBC | PA² = PB × PC | 例如 PB = 4、PC = 9，PA = √36 = 6 |
弦心距是圓心到弦的垂直線段，它會把弦分成相等的兩半。
切線方程式（高中）
切線方程式是高中一年級學完圓方程式之後才會學的。如果圓的中心在原點，半徑是 r，它的方程式是 x² + y² = r²。圓上有一個點 (x₀, y₀)，經過這個點的切線方程式是 x₀x + y₀y = r²。舉個例子，點 (3, 4) 在圓 x² + y² = 25 上，那它的切線就是 3x + 4y = 25。從圓心量到這條線的距離是 25 ÷ 5 = 5，剛好等於半徑。
圓心在 (h, k) 時，公式變成 (x₀ − h)(x − h) + (y₀ − k)(y − k) = r²。至於曲線和函數圖形的切線，要到高中選修微分才學，和國中的圓切線是不同的單元。
圓外一點求切線
從圓外面的一個點 P，可以畫出兩條切線 PA 和 PB，這兩段切線的長度是一樣的。因為 OA 垂直 PA，三角形 OAP 是一個直角三角形，所以切線段的長度 = √(OP² − r²)。看下面的圖，半徑是 5，OP = 13，那切線段 PA = √(169 − 25) = √144 = 12，PB 也是 12。
用尺規畫切線的方法是：先畫 OP 的中垂線找到中點 M，然後以 M 為圓心、MO 為半徑畫一個圓，這個新圓和原來的圓交於 A、B 兩點，連接 PA 和 PB 就是切線。為什麼這樣可以？因為 OP 是這個虛線圓的直徑，直徑所對的圓周角是 90 度，所以 ∠OAP 是直角。中垂線的作法在尺規作圖。
切線例題
第一題是國中數學的切線段長問題，第二題是高中數學用切線方程式求圓外一點的兩條切線。
例 1圓的半徑 5 公分，圓外一點 P 到圓心 13 公分，從 P 到圓的切線段多長？
- 半徑垂直切線，△OAP 是直角三角形，OP 是斜邊
- PA = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12（公分）
答：12 公分
例 2高中題：求從點 (7, 1) 到圓 x² + y² = 25 的兩條切線。
- 設切線 y − 1 = m(x − 7)，圓心到切線的距離等於半徑 5
- 我們先算出 |1 − 7m| ÷ √(1 + m²) = 5。把等號兩邊都平方，整理後得到 12m² − 7m − 12 = 0。解出 m = 4/3 或 −3/4。
- 當 m = 4/3 時，直線是 4x − 3y = 25，切點在 (4, −3)。當 m = −3/4 時，直線是 3x + 4y = 25，切點在 (3, 4)。
- 我們來檢查一下：從 (7, 1) 到兩個切點的距離都是 5，所以這兩段切線一樣長。
答：4x − 3y = 25 和 3x + 4y = 25
圓周長和扇形練習：試做 5 題
數學王的練習涵蓋國小一到六年級。要學弧長公式，要先懂六年級的圓周長，還有五年級算幾分之幾圓對應幾度圓心角的觀念。六年級在「圓周長和圓面積」單元練習算圓周長、半圓和 1/4 圓；五年級在「內角和與扇形」單元練習算扇形的圓心角。
準備好就開始，一共 5 題。
常見問題
弧長公式是什麼？
弧長 = 2πr × 圓心角 ÷ 360。國小用 3.14，寫成直徑 × 3.14 × 圓心角 ÷ 360；高中用弧度，寫成 s = rθ。
弧長和扇形周長有什麼不同？
弧長只有彎的那一段；扇形周長是弧長再加上兩條半徑。
弧長公式國小和國中有什麼差別？
在國小，我們用 3.14 來代替圓周率，只計算知道半徑和圓心角的弧長。到了國中，我們用 π 這個符號來表示圓周率，答案會寫成 2π 這種形式，也會從弧長反推半徑或圓心角。
切線和割線差在哪裡？
切線和圓只有一個交點，而且這條線和過切點的半徑是垂直的，也就是兩條線碰在一起形成直角，像書本的角那樣。割線和圓有兩個交點，這兩個交點之間的線段叫做弦。