數學王正比反比的意思
買同一種 15 元的筆，買 1 支 15 元、2 支 30 元、3 支 45 元，總價 ÷ 支數永遠是 15，總價和支數成正比，寫成 y = 15x。支數變成 2 倍，總價也變成 2 倍；支數是 0，總價也是 0。
開車走 120 公里，時速 20 公里要 6 小時，時速 40 公里要 3 小時，時速 60 公里要 2 小時，速度 × 時間永遠是 120，速度和時間成反比，寫成 xy = 120。速度變成 2 倍，時間就變成一半。正比是兩個量的比值固定，反比是兩個量的乘積固定，這是判斷時最可靠的方法。
正比反比公式和符號
公式裡的 k 叫做比例常數，正比時 k 是比值，反比時 k 是乘積。數學上通常直接寫成 y = kx 和 xy = k；比例符號 ∝ 在自然科比較常見，y ∝ x 讀作 y 和 x 成正比。
正比的例子：總價和支數
每支筆 15 元，總價 y 和支數 x 的對應值如下，最右欄的比值都是 15，所以成正比。
| 支數 x | 總價 y 元 | y ÷ x |
|---|---|---|
| 1 | 15 | 15 |
| 2 | 30 | 15 |
| 3 | 45 | 15 |
| 4 | 60 | 15 |
| 6 | 90 | 15 |
反比的例子：速度和時間
距離固定是 120 公里，時速 x 公里和所需時間 y 小時的對應值如下，最右欄的乘積都是 120，所以成反比。
| 時速 x 公里 | 時間 y 小時 | x × y |
|---|---|---|
| 20 | 6 | 120 |
| 30 | 4 | 120 |
| 40 | 3 | 120 |
| 60 | 2 | 120 |
| 80 | 1.5 | 120 |
正比反比的圖形
把對應值畫在坐標平面上，正比 y = 2x 的點會排成一條通過原點的直線，國二學一次函數時會再看到這種圖形。反比 xy = 6 的點則連成一條往右下彎的曲線，x 越大 y 越小，但永遠不會碰到兩條坐標軸，圖中只畫出 x 是正數的部分。
怎麼判斷正比還是反比
不能因為看到一個變大，另一個跟著變大，就一口咬定它們是正比。你得拿出證據，真的去算算看它們的比值或乘積是不是固定的。
- 拿正方形來說，它的周長等於 4 × 邊長。這裡的周長就是指繞著正方形走一圈的總長度。因為周長總是邊長的 4 倍，比值固定不變，所以它們是成正比的。
- 假設有一個面積是 24 平方公分的長方形，它的長和寬之間，滿足長 × 寬 = 24。因為長變大，寬就要變小，兩者的乘積永遠是 24，所以它們是成反比的。
- 想像一個桶子裡裝了 60 公升的水，每分鐘流出的水量和把水放完所需的時間，它們的乘積就是 60。流得越快，時間越短，所以它們是成反比的。
- 再看正方形的面積和邊長。當邊長是 1 時，面積是 1；邊長是 2 時，面積是 4；邊長是 3 時，面積是 9。你算算看，面積除以邊長的結果每次都不一樣，比值不固定，所以它們不成正比。
- 買 15 元的筆再加 20 元運費：總價 y = 15x + 20，1 支 35 元、2 支 50 元，比值不固定，不成正比。
- 先寫下 x 和 y 幾組配對的數字。
- 算 y ÷ x，如果每一組都一樣，就是正比。
- 算 x × y，如果每一組都一樣，就是反比。
- 如果 y ÷ x 和 x × y 算出來的數字都不固定，那就既不是正比也不是反比。
正比反比題目
解正比反比題目的步驟都一樣：先判斷它是正比還是反比，用已知的一組數字算出常數 k，再代入求答案。你也可以直接列比例式來計算。
例 1y 和 x 成正比，當 x = 4 時 y = 10，求 x = 6 時的 y。
- 先算出比例常數 k，用 y 除以 x，也就是 k = y ÷ x = 10 ÷ 4 = 2.5。
- 因為 y 和 x 是正比，所以 y 等於 k 乘以 x，算出 y = 2.5 × 6 = 15。
答：15
例 2y 和 x 是反比關係，意思是 x 變大，y 就會變小。已知 x = 3 時 y = 8，請問 x = 4 時 y 是多少？
- 反比關係中，x 和 y 相乘的結果是固定的。先算出這個固定值 k，也就是 k = x × y = 3 × 8 = 24。
- 現在 x 變成 4，要算出新的 y，就用固定值 k 除以 x，得到 y = 24 ÷ 4 = 6。
答：6
例 3買 3 支筆要 45 元，如果買同樣的筆 8 支，需要多少元？
- 因為買得越多，總價就越高，所以總價和支數是正比關係。我們列出比例式：3 : 45 = 8 : y。
- 利用外項乘積等於內項乘積的規則，算出 3 × y = 45 × 8 = 360。
- 解出來 y = 120。
答：120 元
例 4有一件工作，6 個人做 10 天可以完成。如果每個人的工作速度都一樣，現在改成 15 個人一起做，需要幾天才能完成？
- 因為人越多，需要的天數就越少，所以人數和天數是反比關係。先算出總工作量：6 × 10 = 60。
- 用總工作量除以人數，算出天數：60 ÷ 15 = 4。
答：4 天
例 5汽車時速 60 公里，開 2.5 小時就能到達目的地。如果想在 2 小時內到，時速要變成多少？
- 因為目的地沒變，總距離是固定的。這時候，速度越快，花的時間就越少，所以速度和時間是反比關係。
- 先算出總距離：距離 = 60 × 2.5 = 150 公里。
- 用總距離除以新的時間：150 ÷ 2 = 75。
答：時速 75 公里
例 6請解這個比例式：(x + 1) : 4 = 3 : 2。
- 利用「外項乘積等於內項乘積」的規則：2(x + 1) = 4 × 3 = 12。這裡的「外項」是比例式最外面的兩個數 2 和 4，「內項」是中間的兩個數 (x + 1) 和 3。
- x + 1 = 6
- x = 5
答：x = 5
國小基礎：比與比值、速度
正比反比裡用到的「相等的比」和「速度公式」，是六年級要學的內容。數學王的練習關卡涵蓋一到六年級。在「比與比值」單元，會出像 1 : 3 = 4 : ? 這種相等的比，以及最簡整數比的題目。在「速度」單元，會考時速、分速的換算和距離計算。建議你先確認這些六年級基礎，再去做國中的題目。
準備好就開始，一共 5 題。
連比是什麼、怎麼算
連比是三個或更多量的比。例如甲、乙、丙三人的錢是 2 : 3 : 5，可以寫成 a : b : c = 2 : 3 : 5。連比和兩個數的比一樣，每一項同乘或同除以一個不為 0 的數，連比不變。所以 12 : 18 : 30 每一項都除以最大公因數 6，化簡成 2 : 3 : 5。
連比最常考的是把兩個比合成一個連比。已知 a : b = 2 : 3，b : c = 4 : 5。兩個比裡的 b 分別是 3 和 4，要先把 b 換成同一個數。取 3 和 4 的最小公倍數 12：a : b = 8 : 12，b : c = 12 : 15，合起來就是 a : b : c = 8 : 12 : 15。連比是國三的內容。
- 如果有小數，每一項乘以 10、100，化成整數。
- 如果算式裡有分數，就把每一項都乘以分母的最小公倍數。這樣做可以把分數變成整數，比較好算。
- 接下來，把每一項都除以它們的最大公因數。這樣就能把數字化成最簡單的整數比。
- 要把兩個比合成一個連比時，先找到兩個比裡共同的那一項。然後把這一項換成兩個數的最小公倍數，這樣兩邊的數字才能對齊。
連比公式
連比例式 a : b : c = x : y : z 的意思是，三個量都會按照同一個倍數放大或縮小。解題時，我們最常用的方法是設一個比例常數 k。
連比例題目
下面的連比例題目，從化簡、合成到應用，每一題都可以把答案代回題目驗算。
例 1把 24 : 36 : 60 化成最簡整數比。
- 24、36、60 的最大公因數是 12
- 每一項除以 12：2 : 3 : 5
答：2 : 3 : 5
例 2把 0.4 : 1.2 : 2 化成最簡整數比。
- 把比裡的每一個數字都乘以 10，得到 4 : 12 : 20。
- 再把比裡的每一個數字都除以 4，得到 1 : 3 : 5。
答：1 : 3 : 5
例 3請把 1/2 : 2/3 : 3/4 化成最簡單的整數比。
- 先找出分母 2、3、4 的最小公倍數，答案是 12。
- 把比裡的每一個分數都乘以 12，得到 6 : 8 : 9。
答：6 : 8 : 9
例 4已知 a : b = 2 : 3，而且 b : c = 4 : 5，請問 a : b : c 是多少？
- b 分別是 3 和 4，最小公倍數是 12
- a : b = 8 : 12，b : c = 12 : 15
答：8 : 12 : 15
例 5x : y : z = 2 : 3 : 5，而且 x + y + z = 50，求 x、y、z。
- 設 x = 2k，y = 3k，z = 5k
- 2k + 3k + 5k = 10k = 50，k = 5
- x = 10，y = 15，z = 25
答：x = 10，y = 15，z = 25
例 6有一個三角形，它的三個角大小比例是 2 : 3 : 4，請問這三個角分別是多少度？
- 三角形的三個角加起來總共是 180 度。我們先看看比例裡的數字加起來是多少：2 + 3 + 4 = 9。
- 總角度 180 度要分成 9 份。第一份是 180 × 2 ÷ 9 = 40 度，第二份是 180 × 3 ÷ 9 = 60 度，第三份是 180 × 4 ÷ 9 = 80 度。
答：40 度、60 度、80 度
例 7已知 a : b : c = 2 : 3 : 4，而且 2a + b − c = 15，請問 c 是多少？
- 因為 a、b、c 的比例是 2 : 3 : 4，我們可以假設有一個共同的數 k。這樣 a 就是 2k，b 就是 3k，c 就是 4k。
- 把這些代進算式裡：2 × 2k + 3k − 4k = 3k = 15，算出來 k = 5。
- c = 4 × 5 = 20
答：c = 20
連比例計算機：用最大公因數和最小公倍數幫忙
數學王現在還沒有專門算連比例的計算機。不過，要把連比化簡，會用到最大公因數；要把兩個比合成一個連比，會用到最小公倍數。這兩個都可以用下面的計算機來算，最多可以輸入 3 個數。舉個例子，如果你輸入 24、36、60，最大公因數是 12，把每一項都除以 12，就會得到 2 : 3 : 5。再舉例，要把 a : b = 2 : 3 和 b : c = 4 : 5 合成一個連比，你就輸入 3 和 4，最小公倍數是 12。想知道更多用法，可以看最大公因數計算機。
正比反比的相關主題
比例是從小學到中學都要一直學的主題。學完這頁之後，你可以接著看這些內容。
常見問題
正比反比怎麼分？
要算兩個量的比值和乘積。如果用 y ÷ x，結果固定不變，那就是正比，例如總價和支數；如果用 x × y，結果固定不變，那就是反比，例如路程固定時的速度和時間；如果兩個算出來都不固定，那就都不是。
正比反比的符號怎麼寫？
正比可以寫成 y = kx 或 y ∝ x，反比可以寫成 xy = k 或 y ∝ 1/x，這裡的 k 是一個不為 0 的比例常數。
連比怎麼算？
連比的每一項如果同乘或同除以一個不為 0 的數，比的大小不會改變。化簡的時候要除以最大公因數；要合成兩個比時，先要把共同的那一項換成最小公倍數，例如 2 : 3 和 4 : 5 合成 8 : 12 : 15。
正比反比是幾年級學的？
108 課綱把比例式、正比和反比排在國中一年級學，連比則排在國中三年級學。我們在國小六年級學的比與比值和速度，就是之後學習這些內容的基礎。