數學王機率是什麼
丟一枚公正的銅板，出現正面和反面的機會是一樣的。兩種結果裡有一種是正面，所以出現正面的機率是 1/2。擲一顆骰子有 1 到 6 點六種結果，每一種機會都一樣，所以出現任何一個點數的機率都是 1/6。這種每一種結果機會相同、用數的就能算出來的機率，叫做古典機率。
機率最小是 0，最大是 1。擲一顆骰子出現 7 點是不可能的，機率是 0；出現 1 到 6 點其中一個是一定會發生的，機率是 6/6 = 1。機率越接近 1，表示越可能發生；越接近 0，越不可能發生。機率也可以寫成百分率，例如 1/2 就是 50%。
要注意的是，機率 1/2 不代表丟 2 次一定出現 1 次正面，而是丟很多很多次時，正面出現的比例會越來越接近一半。
機率怎麼算
國中的機率題大多用下面三條。先確認每種結果的機會是不是一樣，一樣才能直接用第一條；不一樣的時候，例如圖釘落地是針尖朝上還是朝下，就要用實驗來估計。
機率例題
做每一題時，都要照著三個步驟來：先列出所有可能發生的結果，再數出符合條件的有幾種，最後用符合條件的數量除以總數，並把它化成最簡分數。
例 1擲一顆公平的骰子，出現的點數大於 4 的機率是多少？
- 所有可能的結果有 1、2、3、4、5、6，總共有 6 種。
- 點數大於 4 的結果有 5、6，總共有 2 種。
- 機率 = 2 ÷ 6 = 2/6 = 1/3
答：1/3
例 2袋子裡有 3 顆紅球、5 顆白球，它們的大小都一樣。如果你閉著眼睛伸手進去摸出一顆球，摸到紅球和摸到白球的機率各是多少？
- 先把袋子裡的球全部加起來，總共有 3 + 5 = 8 顆球。
- 因為紅球有 3 顆，總共有 8 顆球，所以摸到紅球的機率 = 3/8。
- 白球有 5 顆，所以摸到白球的機率 = 5/8。你也可以用 1 − 3/8 = 5/8 來算，意思就是從全部的可能性裡，減去摸到紅球的可能性，剩下的就是摸到白球的可能性。
- 我們來檢查一下：3/8 + 5/8 = 1。這表示摸到紅球和摸到白球的可能性加起來，正好就是所有可能發生的情況。
答：紅球 3/8，白球 5/8
例 3班上有 30 位同學，座號從 1 號排到 30 號。老師要從中抽一位同學上台，抽到座號是 5 的倍數的機率是多少？
- 總共有 30 種可能的結果
- 5 的倍數有 5、10、15、20、25、30，共 6 種
- 機率 = 6/30 = 1/5
答：1/5
例 4同時擲兩顆公正的骰子，點數加起來是 7 的機率是多少？
- 第一顆骰子有 6 種結果、第二顆也有 6 種結果，所以全部結果有 6 × 6 = 36 種
- 點數加起來是 7 的情況有 (1, 6)、(2, 5)、(3, 4)、(4, 3)、(5, 2)、(6, 1)，總共 6 種
- 機率 = 6/36 = 1/6
答：1/6
樹狀圖：丟兩枚銅板
結果分兩層時，用樹狀圖一層一層畫出來，就不會漏掉。國中的樹狀圖以兩層為限。丟兩枚公正的銅板，第一枚有正、反兩種，每一種後面第二枚又有正、反兩種，全部是正正、正反、反正、反反 4 種，每一種的機率都是 1/4。
如果兩枚都是正面，只有正正這 1 種情況，所以機率是 1/4。如果是一正一反，有正反和反正這 2 種情況，機率就是 2/4 = 1/2。很多人會誤以為結果只有兩正、兩反、一正一反這三種，然後說每種的機率都是 1/3，這樣想是錯的。因為「一正一反」其實包含了正反和反正兩種不同的情形，所以它的機率比較大。
實驗機率：丟圖釘
圖釘丟在地上，可能是針尖朝上，也可能針尖斜斜地靠著地面朝下。因為圖釘形狀不對稱，這兩種結果出現的機會不一樣，所以不能隨便說機率各是 1/2。對於這種不對稱的東西，我們只能實際丟很多次，然後用針尖朝上出現的次數，除以總共丟的次數，來估計它的機率。
下表是一組假設的實驗紀錄。如果只丟 10 次，比例可能會忽高忽低，不太穩定。但是丟得次數越多，比例就會越來越穩定。這組資料最後穩定在 0.62 左右，所以我們可以說針尖朝上的機率大約是 0.62。不過，如果你換一種圖釘，或者換一個地面，結果可能會不一樣。
| 丟的次數 | 針尖朝上的次數 | 針尖朝上的比例 |
|---|---|---|
| 10 | 7 | 7 ÷ 10 = 0.7 |
| 50 | 29 | 29 ÷ 50 = 0.58 |
| 100 | 63 | 63 ÷ 100 = 0.63 |
| 200 | 124 | 124 ÷ 200 = 0.62 |
表格裡的數字只是為了說明而編的，不是真的做實驗量出來的結果喔。
算機率常見的錯誤
下面列出幾種大家很容易犯錯的地方，做完題目可以拿來對照檢查一下。還有像中位數、眾數、四分位數以及盒狀圖這些統計的知識，都整理在機率與統計裡面。
- 以為只要結果只有兩種，機率就是 1/2。例如圖釘丟下去可能朝上或朝下，或者考試可能及格或不及格，但這兩種結果發生的機會不一定是一樣大的。
- 把不同的情況當成同一種來算。丟兩枚銅板，要出現「一正一反」其實包含「正面反面」和「反面正面」兩種情況，所以機率是 1/2，而不是 1/3。
- 以為前面的結果會影響下一次。就算銅板已經連續丟出 3 次正面，下一次再丟出正面的機率依然是 1/2，不會因為之前很多正面就變少。
- 忘記把分數約分，或者算出比 1 還大的數字。機率一定是在 0 和 1 之間的數字，如果你算出來的答案大於 1，那一定是哪裡數錯了。
國小基礎：約分和數有幾種
數學王的練習關卡只給國小一到六年級的小朋友做，裡面沒有國中機率的題目。要算機率，你需要用到兩個國小學過的基礎：第一個是把分數約成最簡分數，第二個是有系統地數出全部有幾種情形。五年級學的「約分和異分母加減」就是在練約分。六年級學的「數量關係解題」，比如算上衣和裙子有幾種搭配、數字卡能排出幾種二位數，這些其實和畫樹狀圖數情形是同一個想法。你不用登入，做完之後系統會告訴你答對幾題。
準備好就開始，一共 5 題。
常見問題
機率怎麼算？
當每一種結果出現的機會都一樣時，機率 = 符合條件的情形數 ÷ 所有可能的情形數。舉個例子，袋子裡有 3 顆紅球、5 顆白球，摸到紅球的機率是 3/8。
機率是幾年級學的？
根據 108 課綱，機率是國中九年級才學的，內容包括機率的意義、兩層以內的樹狀圖和古典機率。國小六年級只學用文字描述可能性，要等到高中才學複合事件的機率和條件機率。
機率可以大於 1 嗎？
不可以。機率一定在 0 和 1 之間，不可能發生的事是 0，一定會發生的事是 1。如果你算出大於 1 或小於 0，那就是表示情形數數錯了。
丟兩枚銅板，一正一反的機率是多少？
是 1/2。全部結果有正正、正反、反正、反反 4 種，其中一正一反有正反、反正 2 種，機率是 2/4 = 1/2。