數學王四分位數是什麼
中位數就像把一疊卡片從中間切開，分成前後兩堆。四分位數則是把這兩堆再各切一次。這樣整組資料就被三個數切成了四段，每一段裡的資料數量大約都一樣多。第 1 四分位數的意思是：大約有四分之一的資料比它小，剩下的四分之三比它大。第 3 四分位數則是：大約有四分之三的資料比它小。
下圖是 9 個數的例子。中位數 12 是排在第 5 個的數，它不屬於前半，也不屬於後半。所以前後兩邊各剩下 4 個數，我們再分別取這 4 個數中間兩個數的平均值。
四分位數怎麼算：例題
步驟都是一樣的：先把數字由小到大排好，找出中位數，把資料分成前後兩半，再找每一半的中位數。如果資料是偶數個，中位數就在兩個數中間，前後兩半剛好各占一半，不需要拿掉任何數。
例 19 位同學一週看課外書的時數是 3、7、8、5、12、14、21、13、18 小時，求第 1 四分位數、第 3 四分位數和四分位距。
- 由小到大排列：3、5、7、8、12、13、14、18、21
- 這裡總共有 9 個數字。把數字排好隊後，站在正中間的是第 5 個，也就是 12。這個正中間的數字叫做中位數。
- 中位數不算進任何一半，前半是 3、5、7、8，後半是 13、14、18、21
- 第 1 四分位數 = (5 + 7) ÷ 2 = 6
- 第 3 四分位數 = (14 + 18) ÷ 2 = 16
- 四分位距 = 16 − 6 = 10
答：第 1 四分位數 6 小時，第 3 四分位數 16 小時，四分位距 10 小時
例 28 個數 9、2、15、7、4、12、5、10，求三個四分位數。
- 先把數字從最小排到最大：2、4、5、7、9、10、12、15
- 一共有 8 個數，中位數 = (第 4 個 + 第 5 個) ÷ 2 = (7 + 9) ÷ 2 = 8
- 把資料分成兩半，前半是 2、4、5、7，後半是 9、10、12、15
- 第 1 四分位數 = (4 + 5) ÷ 2 = 4.5
- 第 3 四分位數 = (10 + 12) ÷ 2 = 11
答：第 1 四分位數 4.5，第 2 四分位數 8，第 3 四分位數 11
四分位距、全距和盒狀圖
全距是用最大的數減去最小的數，它告訴我們整組資料從頭到尾差多少。可是只要有一個數字特別大或特別小，全距就會變得很誇張。四分位距是用第 3 四分位數減去第 1 四分位數，它只看中間那一半的資料，所以比較不會被那些極端值影響。
把最小值、第 1 四分位數、中位數、第 3 四分位數、最大值畫在數線上，就變成盒狀圖。盒子的寬度就是四分位距。盒狀圖怎麼看，在機率與統計有圖解說明。
| 怎麼算 | 3、5、7、8、12、13、14、18、21 | 2、4、5、7、9、10、12、15 | |
|---|---|---|---|
| 最小值 | 排序後第一個 | 3 | 2 |
| 第 1 四分位數 | 前半的中位數 | 6 | 4.5 |
| 中位數 | 正中間 | 12 | 8 |
| 第 3 四分位數 | 後半的中位數 | 16 | 11 |
| 最大值 | 排序後最後一個 | 21 | 15 |
| 四分位距 | Q3 − Q1 | 16 − 6 = 10 | 11 − 4.5 = 6.5 |
| 全距 | 最大值 − 最小值 | 21 − 3 = 18 | 15 − 2 = 13 |
到了高中，我們會把四分位數的觀念用到百分位數，例如第 25 百分位數。
四分位數的不同算法
四分位數沒有全世界統一的算法。資料是奇數個時，有的算法把中位數拿掉再分兩半，也就是這頁和計算機用的方法；有的算法把中位數同時放進前半和後半。有些統計軟體還有用內插計算的版本，算出來可能是 4.25 這種小數。108 課綱在高中數據分析的說明裡也提到，統計數據可能有略為不同的定義，算出來的數值略有不同，但意義相同。
同樣是 3、5、7、8、12、13、14、18、21，把中位數 12 同時放進兩半時，前半是 3、5、7、8、12，第 1 四分位數是 7；後半是 12、13、14、18、21，第 3 四分位數是 14。和這頁的 6 和 16 不一樣，但都落在差不多的位置。寫作業和考試時，請照課本或老師教的算法，課本的算法和這頁不同時以課本為準。
| 算法 | 資料 3、5、7、8、12、13、14、18、21 的 Q1 | Q3 |
|---|---|---|
| 中位數不算進兩半（這頁和計算機用的） | 6 | 16 |
| 中位數同時算進兩半 | 7 | 14 |
資料是偶數個時，前兩種算法結果相同；例如 2、4、5、7、9、10、12、15 兩種都得到 4.5 和 11，用內插的軟體則可能得到 4.25 和 11.5，或 4.75 和 10.5。
四分位數計算機
輸入一串數字，用空格或逗號隔開，最多 500 個，資料有 4 個以上時，按計算會列出第 1 四分位數、第 3 四分位數和四分位距，並寫出找法；同時也會算平均數、中位數、眾數和全距。少於 4 個數時不會顯示四分位數。
計算機用的就是這頁的算法：先找中位數把資料分成前後兩半，資料是奇數個時中位數不算進任何一半，再找每一半的中位數。預設的 9 個數就是第一題例題，可以改成自己的資料試試看。
常見問題
四分位數怎麼算？
先由小到大排好、找出中位數，把資料分成前後兩半，前半的中位數是第 1 四分位數，後半的中位數是第 3 四分位數。這頁的算法在資料是奇數個時，中位數不算進任何一半。課本若用別的算法，以課本為準。
第一四分位數是什麼意思？
第一四分位數是排在前四分之一位置的數，大約四分之一的資料比它小、四分之三比它大。例如 2、4、5、7、9、10、12、15 的第一四分位數是 (4 + 5) ÷ 2 = 4.5，有 2 個數比它小，正好是 8 個的四分之一。
四分位距怎麼算？
四分位距 = 第 3 四分位數 − 第 1 四分位數。例如第 3 四分位數 16、第 1 四分位數 6，四分位距是 10，代表中間一半的資料分布在 10 的範圍內。
為什麼不同地方算出來的四分位數不一樣？
四分位數有好幾種定義，資料是奇數個時中位數要不要算進兩半、要不要用內插，做法不同，數值就會略有不同。考試請照課本的算法。