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數學公式

這頁把國中三年常用的數學公式整理成總表，依國一、國二、國三排列，每條公式都寫出適用的條件和簡單說明，需要完整推導和例題時，可以點進各主題頁。

公式裡的字母代表數，例如 a、b 代表任意的數，n 代表項數或邊數。國中開始用 π 表示圓周率，不再寫成 3.14。

最常用的五條

  • 乘法公式：(a + b)² = a² + 2ab + b²，(a + b)(a − b) = a² − b²。
  • 一元二次方程式公式解：x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a。
  • 畢氏定理：直角三角形兩股 a、b，斜邊 c，a² + b² = c²。
  • 多邊形內角和：(n − 2) × 180 度。
  • 弧長 = 2πr × 圓心角 ÷ 360，扇形面積 = πr² × 圓心角 ÷ 360。

國一數學公式：指數、科學記號和運算規律

國一的公式以數的運算為主。指數律裡的 m、n 是 0 或正整數，相除的公式要 m 大於或等於 n。

同底數相乘aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ例如 2³ × 2⁴ = 2⁷，詳細在指數律。
同底數相除aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿa 不能是 0，例如 2⁸ ÷ 2⁶ = 2²。
次方的次方(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ指數相乘，例如 (2³)² = 2⁶，因為 3 × 2 = 6。
乘積的次方(a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ例如 (2 × 3)² = 2² × 3² = 36。
零次方a⁰ = 1a 不能是 0。
科學記號a × 10ⁿ，1 ≤ a < 10很大的數 n 是正整數，很小的數 n 是負整數，例如 0.000056 = 5.6 × 10⁻⁵，詳細在科學記號。
分配律a × (b + c) = a × b + a × c去括號時常用，也是乘法公式的基礎。
去括號−(a + b) = −a − b，−(a − b) = −a + b括號前面是負號，括號裡每一項都要變號，常和負數一起出現。
數線上兩點的距離|a − b|數線上 a、b 兩點的距離，例如 −3 和 5 相距 |−3 − 5| = 8，可以看絕對值。
平均數資料總和 ÷ 資料個數中位數要先由小到大排好再找中間，見中位數。

國二數學公式：乘法公式、根號、方程式和數列

國二的代數公式彼此相關：乘法公式反過來用就是因式分解，因式分解和公式解都用來解一元二次方程式。

和的平方(a + b)² = a² + 2ab + b²例如 102² = 10000 + 400 + 4 = 10404，詳細在乘法公式。
差的平方(a − b)² = a² − 2ab + b²例如 99² = 10000 − 200 + 1 = 9801。
平方差(a + b)(a − b) = a² − b²例如 98 × 102 = 100² − 2² = 9996，反過來用就是因式分解。
多項式相乘(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd每一項都要乘到，見多項式。
根號相乘√a × √b = √(a × b)a、b 都要大於或等於 0，例如 √2 × √8 = √16 = 4，詳細在根號。
根號相除√a ÷ √b = √(a ÷ b)a 大於或等於 0，b 大於 0。根號相加不能這樣拆，√(9 + 16) 不等於 √9 + √16。
平方再開根號√(a²) = |a|例如 √((−3)²) = √9 = 3。
一元二次方程式公式解ax² + bx + c = 0 的解是 x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2aa 不能是 0，詳細在一元二次方程式公式解。
判別式b² − 4ac大於 0 有兩個不同的解，等於 0 有兩個相同的解，小於 0 在國中範圍沒有解，見一元二次方程式。
等差數列第 n 項aₙ = a₁ + (n − 1) × da₁ 是首項，d 是公差，詳細在等差數列公式。
等差級數和Sₙ = (a₁ + aₙ) × n ÷ 2 = [2a₁ + (n − 1) × d] × n ÷ 2例如 1 + 2 + … + 100 = (1 + 100) × 100 ÷ 2 = 5050，見等差級數公式。
等比數列第 n 項aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹r 是公比，例如 3、6、12、24 的第 5 項是 3 × 2⁴ = 48，見等比數列公式。
一次函數y = ax + b圖形是一條直線；a 是 0 時變成常數函數 y = b，是一條水平線。

國二數學公式：幾何

國二的幾何公式多半和三角形、多邊形有關，下面的 n 代表多邊形的邊數，a 代表邊長。

凸多邊形內角和(n − 2) × 180°例如五邊形 540 度、六邊形 720 度，詳細在多邊形內角和公式。
正 n 邊形每個內角(n − 2) × 180° ÷ n例如正六邊形每個內角 120 度。
三角形的外角外角 = 兩個內對角的和三角形內角和 180 度，見三角形內角和。
平行線的截角同位角相等，內錯角相等，同側內角互補兩條平行線被一條直線所截時成立，見平行線和內錯角。
畢氏定理a² + b² = c²a、b 是直角三角形的兩股，c 是斜邊，常見的整數組合有 3、4、5 和 5、12、13，詳細在畢氏定理。
正三角形的高高 = (√3 ÷ 2) × a用畢氏定理推得，a 是邊長。
正三角形的面積面積 = (√3 ÷ 4) × a²也就是 a × 高 ÷ 2。
兩點距離公式A(a, b)、B(c, d) 的距離 = √((a − c)² + (b − d)²)例如 (1, 2) 和 (4, 6) 相距 5，詳細在兩點距離公式。
梯形兩腰中點連線長度 = (上底 + 下底) ÷ 2這條線段和上下底平行。

國三數學公式：相似、圓、三心、二次函數和機率

國三的公式以圓和三角形為主，下面的 r 代表半徑，θ 代表圓心角的度數。

相似三角形的面積比面積比 = 對應邊長比的平方邊長比 3 : 5，面積比就是 9 : 25，詳細在相似三角形。
30 度、60 度、90 度三角形邊長比 = 1 : √3 : 2依序是 30 度、60 度、90 度所對的邊。
45 度、45 度、90 度三角形邊長比 = 1 : 1 : √2也就是等腰直角三角形。
圓弧長弧長 = 2πr × θ ÷ 360詳細在弧長公式。
扇形面積扇形面積 = πr² × θ ÷ 360 = 弧長 × r ÷ 2國小算法用 3.14，見扇形面積公式。
圓周角圓周角 = 所對弧的度數 ÷ 2同一段弧所對的圓周角是圓心角的一半；半圓所對的圓周角是 90 度。
圓內接四邊形對角相加 = 180°四個頂點都在同一個圓上時成立。
三角形面積和內切圓面積 = 周長 × 內切圓半徑 ÷ 2內心是三條角平分線的交點，到三邊等距。
直角三角形的內切圓半徑(兩股和 − 斜邊) ÷ 2例如 3、4、5 的直角三角形，內切圓半徑是 1。
直角三角形的外接圓外接圓半徑 = 斜邊 ÷ 2直角三角形的外心就在斜邊的中點。
重心重心到頂點的距離 = 重心到對邊中點距離 × 2三條中線把三角形分成面積相等的六塊。
直圓錐的側面積側面積 = π × r × 母線長側面展開是扇形，再加上底面積 πr² 就是表面積，可以對照圓錐體面積公式。
二次函數頂點式y = a(x − h)² + k 的頂點是 (h, k)，對稱軸是 x = ha 大於 0 開口向上有最小值 k，a 小於 0 開口向下有最大值 k，見二次函數頂點和二次函數。
四分位距和全距四分位距 = 第 3 四分位數 − 第 1 四分位數，全距 = 最大值 − 最小值詳細在四分位數。
古典機率機率 = 符合的情況數 ÷ 所有可能的情況數前提是每種情況出現的機會相等，例如擲骰子出現偶數的機率是 3 ÷ 6 = 1/2，見機率與統計。

公式怎麼用：三個例子

背公式之外，更重要的是知道什麼時候用哪一條。下面三題各用一條公式，每一步都寫出來。

例 11 + 2 + 3 + … + 100 = ?

  1. 這是首項 1、末項 100、共 100 項的等差級數
  2. 用等差級數和：(首項 + 末項) × 項數 ÷ 2
  3. (1 + 100) × 100 ÷ 2 = 5050

答：5050

例 2直角三角形的兩股是 5 和 12，斜邊多長？

  1. 用畢氏定理：斜邊² = 5² + 12²
  2. 25 + 144 = 169
  3. 斜邊 = √169 = 13

答：13

例 3用公式解解 x² − 5x + 6 = 0。

  1. a = 1，b = −5，c = 6
  2. 判別式 b² − 4ac = 25 − 24 = 1，大於 0，有兩個不同的解
  3. x = (5 ± √1) ÷ 2 = (5 ± 1) ÷ 2
  4. x = 3 或 x = 2

答：x = 2 或 x = 3

一元二次方程式計算機：公式解算給你看

公式解是國中最常用、也最容易算錯的公式之一。輸入 ax² + bx + c = 0 的 a、b、c，會算出判別式和公式解，預設的 1、−5、6 就是上面第三題。

方程式寫成 a x² + b x + c = 0，輸入 a、b、c，可以是負數或小數，a 不能是 0。

I love you 數學公式是什麼

網路上流傳一個 I love you 數學公式：把不等式 9x − 7i > 3(3x − 7u) 化簡，最後會變成 i < 3u，看起來就像 i <3 u，而 <3 是網路上常用來表示愛心的符號。這其實是一題很好的不等式練習，關鍵是兩邊除以負數時不等號要反過來，詳細可以看一元一次不等式。

例 1化簡 9x − 7i > 3(3x − 7u)。

  1. 右邊用分配律展開：3(3x − 7u) = 9x − 21u
  2. 不等式變成 9x − 7i > 9x − 21u
  3. 兩邊同減 9x：−7i > −21u
  4. 兩邊同除以 −7，不等號要反過來：i < 3u

答：i < 3u

數學公式怎麼記比較不會忘

公式大全一次背完很容易忘，比較有效的做法是把公式和它的來源連在一起記。國中很多公式其實是同一件事的不同樣子，記住來源，忘了也推得回來。

  • 乘法公式用面積記：(a + b)² 是邊長 a + b 的正方形，切成 a²、b² 和兩塊 ab。
  • 多邊形內角和用切三角形記：從一個頂點連對角線，n 邊形可以切成 n − 2 個三角形，每個 180 度。
  • 等差級數用倒過來相加記：1 + 2 + … + 100 正著寫一次、倒著寫一次，每一對加起來都是 101。
  • 扇形面積用比例記：圓心角 θ 度就是整個圓的 θ ÷ 360，弧長也一樣。
  • 兩點距離用畢氏定理記：兩點的橫坐標差和縱坐標差，就是直角三角形的兩股。

常見問題

國中數學公式有哪些一定要會？

最常用的是指數律、乘法公式、一元二次方程式公式解、等差數列和等差級數、多邊形內角和、畢氏定理、兩點距離公式、弧長和扇形面積、相似三角形面積比，以及二次函數的頂點式。這頁依國一到國三整理在上面。

I love you 數學公式怎麼算？

常見的版本是 9x − 7i > 3(3x − 7u)。右邊展開成 9x − 21u，兩邊同減 9x 得到 −7i > −21u，再同除以 −7 並把不等號反過來，就得到 i < 3u。

國中的圓周率要用 3.14 還是 π？

國小的題目用 3.14 計算；國中開始用 π 表示圓周率，答案通常保留 π，例如半徑 6、圓心角 60 度的扇形面積寫成 6π。題目有指定近似值時再照題目算。

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