開始練習

國三數學

國三數學以幾何為主。孩子會學連比、相似形和相似三角形、平行線截比例線段、圓的各種性質、弧長和扇形面積，以及三角形的外心、內心和重心，也開始練習寫證明。代數方面是二次函數的圖形和最大最小值，資料方面是四分位距、盒狀圖和機率。

這頁照 108 課綱整理九年級的單元，每個單元寫一句重點，說明常見的錯誤，例題都寫出每一步。

先看重點

  • 相似三角形的面積比等於邊長比的平方，邊長變 2 倍，面積變 4 倍。
  • 弧長 = 2πr × 圓心角 ÷ 360，扇形面積 = πr² × 圓心角 ÷ 360，國中開始用 π 表示圓周率。
  • y = a(x − h)² + k 的頂點是 (h, k)，a 大於 0 開口向上，有最小值 k。
  • 機率 = 符合的情況數 ÷ 所有可能的情況數，前提是每種情況出現的機會相等。

九年級會學到的主題

國三數學內容：九年級學哪些單元

下面照 108 課綱的學習內容整理九年級的單元。各版本課本的順序可能不同，但一整年的範圍是這些。

單元重點
連比三個以上的量的比，例如 a : b : c，連比例式和應用問題。
相似形和相似三角形對應角相等、對應邊成比例；三角形的相似判定 AA、SAS、SSS；面積比等於邊長比的平方。
平行線截比例線段三角形兩邊中點的連線平行第三邊，長度是第三邊的一半；平行線截出的線段成比例。
特殊直角三角形的邊長比30 度、60 度、90 度的三角形，邊長比是 1 : √3 : 2；45 度、45 度、90 度的三角形，邊長比是 1 : 1 : √2。
弧長公式和扇形面積認識弦、弧、弓形，用 π 表示圓周率，算圓弧長和扇形面積公式。
圓的性質圓周角是所對弧度數的一半，圓內接四邊形對角互補；切線和半徑垂直，從圓外一點畫的兩條切線段等長，圓心到弦的垂線平分這條弦。
三角形的外心、內心、重心外心到三個頂點等距，內心到三邊等距，重心是三條中線的交點，重心到頂點的距離是到對邊中點的兩倍。
證明幾何推理和代數推理，每一步都要寫出根據的性質。
空間中的線和平面用長方體和正四面體認識線和線的平行、垂直、歪斜，以及線和平面的平行、垂直。
表面積和體積直角柱、直圓錐、正角錐的展開圖和表面積，直角柱的體積，可以先複習表面積公式。
二次函數畫 y = ax²、y = a(x − h)² + k 的圖形，找二次函數頂點、對稱軸、開口方向和最大最小值。
統計數據的分布全距、四分位數、四分位距和盒狀圖。
機率機率的意義，用兩層的樹狀圖列出所有可能，算擲銅板、骰子、抽球的古典機率。

整理自十二年國民基本教育課程綱要數學領域九年級的學習內容。

國三數學常見的錯誤

國三的幾何題常常要同時用到國二的全等、畢氏定理和平行線性質，前面的性質記得越清楚，國三越輕鬆。下面是最常見的幾種錯誤。

  • 面積比直接用邊長比：兩個相似三角形邊長比 3 : 5，面積比是 9 : 25，不是 3 : 5。
  • 圓周角和圓心角搞混：同一段弧所對的圓周角是圓心角的一半，圓心角 100 度時圓周角是 50 度。
  • 頂點的正負號：y = 2(x − 3)² + 1 的頂點是 (3, 1)，不是 (−3, 1)。
  • 重心的比例：重心把中線分成 2 : 1，靠近頂點的那一段比較長。
  • 機率漏算情況：擲兩枚硬幣，一正一反的機率是 1/2，不是 1/3。用樹狀圖列出來，正正、正反、反正、反反四種裡有兩種是一正一反。
  • 弧長和扇形面積用錯公式：弧長是周長的一部分，用 2πr；扇形面積是圓面積的一部分，用 πr²。

國三數學題目範例和詳解

下面的題目涵蓋國三幾個主要單元，每一題都寫出完整步驟。答案保留 π，和國中課本的寫法一樣。

例 1a : b = 2 : 3，b : c = 4 : 5，求 a : b : c。

  1. b 在兩個比裡分別是 3 和 4，先把 b 調成相同，3 和 4 的最小公倍數是 12
  2. a : b = 2 : 3 = 8 : 12
  3. b : c = 4 : 5 = 12 : 15
  4. 所以 a : b : c = 8 : 12 : 15

答：8 : 12 : 15

例 2兩個相似三角形的對應邊長比是 3 : 5，小三角形的面積是 18 平方公分，大三角形的面積是多少？

  1. 面積比等於邊長比的平方：3² : 5² = 9 : 25
  2. 大三角形面積 = 18 × 25 ÷ 9 = 50

答：50 平方公分

例 3半徑 6 公分、圓心角 60 度的扇形，弧長和面積各是多少？

  1. 弧長 = 2π × 6 × 60 ÷ 360 = 2π
  2. 扇形面積 = π × 6² × 60 ÷ 360 = 36π ÷ 6 = 6π
  3. 也可以用扇形面積 = 弧長 × 半徑 ÷ 2 = 2π × 6 ÷ 2 = 6π 檢查

答：弧長 2π 公分，面積 6π 平方公分

例 4一個三角形的三個內角是 30 度、60 度、90 度，斜邊長 10，另外兩邊多長？

  1. 30 度、60 度、90 度的三角形，邊長比是 1 : √3 : 2，斜邊對應 2
  2. 10 ÷ 2 = 5，所以短股是 5
  3. 長股是 5√3

答：5 和 5√3

例 5二次函數 y = 2(x − 3)² + 1 的頂點、對稱軸和最大最小值是什麼？

  1. 對照 y = a(x − h)² + k，a = 2，h = 3，k = 1
  2. 頂點是 (3, 1)，對稱軸是 x = 3
  3. a = 2 大於 0，開口向上，頂點是最低點
  4. 所以最小值是 1，沒有最大值

答：頂點 (3, 1)，對稱軸 x = 3，最小值 1

例 6直角三角形的三邊是 3、4、5，內切圓半徑是多少？

  1. 直角三角形的內切圓半徑 = (兩股和 − 斜邊) ÷ 2
  2. (3 + 4 − 5) ÷ 2 = 1
  3. 檢查：面積 = 3 × 4 ÷ 2 = 6，周長 × 內切圓半徑 ÷ 2 = 12 × 1 ÷ 2 = 6，相同

答：1

例 7資料 2、4、5、7、8、10、12、15，求中位數、第 1 四分位數、第 3 四分位數和四分位距。

  1. 資料已經由小到大排好，共 8 個
  2. 中位數是第 4 和第 5 個的平均：(7 + 8) ÷ 2 = 7.5
  3. 前半 2、4、5、7 的中位數是第 1 四分位數：(4 + 5) ÷ 2 = 4.5
  4. 後半 8、10、12、15 的中位數是第 3 四分位數：(10 + 12) ÷ 2 = 11
  5. 四分位距 = 11 − 4.5 = 6.5

答：中位數 7.5，第 1 四分位數 4.5，第 3 四分位數 11，四分位距 6.5

統計計算機：四分位數和全距

輸入一串數字，會算出平均數、中位數、眾數、第 1 和第 3 四分位數、四分位距和全距，可以用來檢查畫盒狀圖需要的數字。把上面例題的 2 4 5 7 8 10 12 15 貼進去試試看。

輸入一串數字，用空格或逗號隔開，最多 500 個。

國三數學題目怎麼練

國三也是準備會考數學的一年，學新單元的同時，國一、國二的內容也要一起複習。各版本課本都照同一份 108 課綱編寫，範圍一樣。數學王沒有國中的練習關卡，也不提供任何版本課本的解答，數學王的練習是國小一到六年級。

  1. 先整理公式和性質：國中常用的公式都整理在數學公式，寫題目時要能說出用的是哪一條。
  2. 幾何題先畫圖標資料：把題目給的邊長、角度標在圖上，相似和圓的題目常常看圖就找得到關係。
  3. 回頭補國二：相似形要用到平行線和全等，二次函數要用到配方和因式分解，可以回去看國二數學。
  4. 錯題寫理由：每一題錯的地方寫一句原因，例如「面積比忘了平方」，比重寫一次更有用。

國小基礎：放大縮小和圓面積試做 5 題

國三的相似形是國小六年級放大縮小的延伸，扇形面積則要先會圓面積。下面是數學王國小六年級的關卡，練的就是這兩個基礎，以及連比會用到的比與比值。數學王沒有國中的練習；國小的題目圓周率用 3.14，到了國中則改用 π 表示。

準備好就開始，一共 5 題。

常見問題

國三數學有哪些內容？

照 108 課綱，國三要學連比、相似形和相似三角形、平行線截比例線段、特殊直角三角形的邊長比、圓的性質、弧長和扇形面積、三角形的外心內心重心、證明、空間中的線和平面、表面積和體積、二次函數，以及四分位距、盒狀圖和機率。

國三的圓和三角形三心為什麼容易卡住？

因為一題常常要同時用到好幾個性質，例如圓周角、切線和畢氏定理一起出現。把每個性質整理清楚，畫圖時把已知的資料標上去，會比較容易找到解題方向。

國三的二次函數和國二的一元二次方程式有什麼關係？

一元二次方程式 ax² + bx + c = 0 的解，就是二次函數 y = ax² + bx + c 的圖形和 x 軸交點的橫坐標。國三的課程重點是看懂二次函數的圖形和頂點，二次函數的配方法和應用問題是高一的課程。

延伸學習

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