數學王全等三角形是什麼？五種全等性質
兩個圖形經過平移、旋轉或翻轉以後可以完全疊在一起，就叫全等，符號是 ≅。兩個三角形全等，三組對應邊都相等，三組對應角也都相等。要判斷全等不用六個條件都檢查，只要符合下面任何一種就夠了。表裡的 S 代表邊，A 代表角，順序就是條件排列的順序。
| 全等性質 | 要相等的條件 | 說明 |
|---|---|---|
| SAS 全等 | 兩邊和它們的夾角 | 角要夾在兩邊中間，也叫邊角邊 |
| SSS 全等 | 三邊 | 三角形三邊確定，形狀就確定 |
| ASA 全等 | 兩角和它們的夾邊 | 邊要夾在兩角中間，也叫角邊角 |
| AAS 全等 | 兩角和其中一角的對邊 | 兩角確定後第三角也確定，可以換成 ASA |
| RHS 全等 | 直角三角形的斜邊和一股 | 只能用在直角三角形 |
兩邊和其中一邊的對角相等，不一定全等；三個角相等也不一定全等，只能說相似。
相似三角形的性質
下圖的 △ABC 三邊是 4、5、6，△DEF 三邊是 6、7.5、9，每一邊都是 1.5 倍，兩個三角形相似，寫成 △ABC ~ △DEF。寫的時候字母順序要對應：A 對 D、B 對 E、C 對 F，相等的角用相同的弧線標示。
相似三角形的性質有兩個：對應角相等，對應邊成比例。所以 AB : DE = BC : EF = CA : FD = 2 : 3，相似比是 2 : 3。三組角相等是形狀一樣的意思，成比例是大小一起放大的意思。
相似三角形的判定
判斷兩個三角形相似，也不用檢查全部的角和邊，符合下面任一種就相似，符號是 ~。最常用的是 AA，因為三角形內角和是 180 度，兩個角相等，第三個角自然也相等。
| 相似性質 | 條件 | 例子 |
|---|---|---|
| AA 相似 | 兩組對應角相等 | 兩個三角形都有 50 度和 60 度的角 |
| SAS 相似 | 兩組對應邊成比例，而且夾角相等 | 4 和 6 夾 40 度，對應 6 和 9 也夾 40 度 |
| SSS 相似 | 三組對應邊成比例 | 4、5、6 和 6、7.5、9 |
全等可以看成相似比是 1 的相似。相似的判定只列 AA、SAS、SSS 三種，因為只要兩個角相等就夠了，不需要再管邊。
相似三角形邊長比和面積比公式
設兩個相似三角形的相似比是 a : b。所有長度一起放大，所以邊、周長、高、中線的比都一樣是 a : b；面積是底乘高，底和高都放大，所以面積比是 a² : b²。
為什麼面積比是邊長比的平方
把一個三角形三邊的中點連起來，會切出 4 個一樣大的小三角形。上面那個小三角形和大三角形相似，邊長正好是一半，面積卻只有四分之一。邊長 2 倍、面積 4 倍；同樣的道理，邊長 3 倍可以切成 9 塊，面積是 9 倍。
連接兩邊中點的線段平行於第三邊、長度是第三邊的一半，這也是國三會學的性質。
相似三角形例題
做題目時先寫出相似比，再看問的是長度還是面積：長度直接乘相似比，面積要乘相似比的平方。
例 1△ABC ~ △DEF，AB = 4、BC = 6、CA = 5，DE = 6，求 EF 和 DF。
- 相似比 AB : DE = 4 : 6 = 2 : 3，大三角形是小三角形的 1.5 倍
- EF = 6 × 1.5 = 9
- DF = 5 × 1.5 = 7.5
答：EF = 9，DF = 7.5
例 2兩個相似三角形的邊長比是 2 : 3，小三角形面積是 20 平方公分，大三角形面積是多少？
- 面積比 = 2² : 3² = 4 : 9
- 大三角形面積 = 20 × 9 ÷ 4 = 45（平方公分）
答：45 平方公分
例 3兩個相似三角形的面積比是 9 : 16，小三角形周長 18 公分，大三角形周長是多少？
- 邊長比 = √9 : √16 = 3 : 4
- 周長比等於邊長比，大三角形周長 = 18 × 4 ÷ 3 = 24（公分）
答：24 公分
例 4同一時間，身高 1.6 公尺的人影子長 2 公尺，旗桿的影子長 10 公尺，旗桿多高？
- 陽光可以看成平行的，人和旗桿都垂直地面，兩個直角三角形 AA 相似
- 高 : 影長 = 1.6 : 2，旗桿高 = 10 × 1.6 ÷ 2 = 8（公尺）
答：8 公尺
例 5一個三角形有 50 度和 60 度的角，另一個三角形有 60 度和 70 度的角，它們相似嗎？
- 第一個三角形的第三角 = 180 − 50 − 60 = 70（度）
- 第二個三角形的第三角 = 180 − 60 − 70 = 50（度）
- 兩個三角形的角都是 50、60、70 度，AA 相似
答：相似
例 6兩個相似三角形的相似比是 2 : 5，小三角形某邊上的高是 4 公分，大三角形對應的高是多少？
- 對應高的比 = 相似比 = 2 : 5
- 大三角形的高 = 4 × 5 ÷ 2 = 10（公分）
答：10 公分
外心、內心、重心整理
三角形的三心都是三條線的交點，差別在是哪三條線。下面的表是國中三年級要會的性質，正三角形的外心、內心、重心會在同一點。直角三角形的例子在下方例題。
| 項目 | 外心 | 內心 | 重心 |
|---|---|---|---|
| 哪三條線的交點 | 三邊的中垂線 | 三個內角的角平分線 | 三條中線 |
| 等距的性質 | 到三個頂點等距 | 到三條邊等距 | 到頂點的距離是到對邊中點的 2 倍 |
| 對應的圓或用途 | 外接圓的圓心，半徑是外心到頂點的距離 | 內切圓的圓心，半徑是內心到邊的距離 | 三條中線把三角形分成面積相等的 6 塊，是三角形的平衡點 |
| 位置 | 銳角三角形在內部，直角三角形在斜邊中點，鈍角三角形在外部 | 一定在內部 | 一定在內部 |
| 常用公式 | 直角三角形外接圓半徑 = 斜邊 ÷ 2 | 面積 = 周長 × 內切圓半徑 ÷ 2；直角三角形內切圓半徑 = (兩股和 − 斜邊) ÷ 2 | 重心到頂點 = 中線長 × 2/3 |
中線是頂點連到對邊中點的線段；中垂線是垂直平分一條邊的直線，作法在尺規作圖。
外心內心重心例題：三邊 6、8、10 的直角三角形
6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10²，這是直角三角形，斜邊 10。用畢氏定理確認直角以後，三心的公式都能直接套。
例 1外接圓半徑是多少？
- 直角三角形的外心在斜邊中點
- 外接圓半徑 = 10 ÷ 2 = 5
答：5
例 2內切圓半徑是多少？
- 內切圓半徑 = (6 + 8 − 10) ÷ 2 = 2
- 檢查：面積 6 × 8 ÷ 2 = 24，周長 × 半徑 ÷ 2 = 24 × 2 ÷ 2 = 24，相同
答：2
例 3重心到直角頂點的距離是多少？
- 直角頂點連到斜邊中點的中線長 = 斜邊 ÷ 2 = 5
- 重心到頂點 = 5 × 2/3 = 10/3，約 3.33
答：10/3，約 3.33
放大縮小練習：試做 5 題
數學王的練習是國小一到六年級。相似三角形的基礎是國小六年級的放大與縮小：放大幾倍，每一條邊都放大幾倍，角度不變。這一關練的就是這件事，可以先確認觀念再學相似比。
準備好就開始，一共 5 題。
常見問題
相似三角形有什麼性質？
對應角相等、對應邊成比例；周長比和對應高的比都等於相似比，面積比等於相似比的平方。
相似三角形面積比怎麼算？
先求相似比，再平方。邊長比 2 : 3，面積比就是 4 : 9；反過來，面積比 9 : 16 開根號，邊長比是 3 : 4。
全等三角形的判定有哪些？
SAS、SSS、ASA、AAS 四種用在所有三角形，RHS 只用在直角三角形。兩邊一對角、三個角相等都不能判定全等。
外心、內心、重心怎麼分？
外心是中垂線交點，到三頂點等距；內心是角平分線交點，到三邊等距；重心是中線交點，把中線分成 2 : 1。