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平行線是什麼
在同一個平面上，兩條直線如果怎麼延長都不會相交，就叫做互相平行，直線 L 和直線 M 平行寫成 L ∥ M，讀作 L 平行 M。畫圖時常在兩條線上畫同樣的箭頭記號，表示它們互相平行。
判斷平行最直接的方法是看距離：從一條線上任選幾個點，往另一條線畫垂直線段，如果每一段都一樣長，兩條線就平行，這個長度叫做兩平行線的距離。國小四年級也學過另一個說法，兩條直線如果都和同一條直線垂直，這兩條直線就互相平行。
截線形成的 8 個角
一條直線同時和兩條直線相交，這條直線叫做截線。截線和兩條直線各有一個交點，每個交點周圍有 4 個角，一共 8 個角。下圖把上面交點的 4 個角依序編成 ∠1 到 ∠4，下面交點編成 ∠5 到 ∠8，兩組的位置排法一樣。
夾在兩條直線中間的 ∠3、∠4、∠5、∠6 叫做內角，在兩條直線外側的 ∠1、∠2、∠7、∠8 叫做外角。角和角之間依位置有不同的名字，名字只說位置，和兩條線平不平行無關；只有在兩條線平行時，它們的大小才會有固定的關係。
平行線性質：三種角的關係
兩條平行線被截線所截，下面三個性質要一起記。表中的角用上面那張圖的編號，右邊一欄是反過來的判別方法：只要其中一組關係成立，就能確定兩條直線平行。對頂角相等則是任何兩條相交直線都有的性質，不需要平行。
| 角的名稱 | 位置 | 兩線平行時 | 圖中的例子 | 反過來可以判斷平行 |
|---|---|---|---|---|
| 同位角 | 在兩個交點的同一個方位 | 相等 | ∠1 = ∠5，∠2 = ∠6，∠3 = ∠7，∠4 = ∠8 | 同位角相等，兩直線平行 |
| 內錯角 | 夾在兩線中間、分在截線兩側 | 相等 | ∠3 = ∠5，∠4 = ∠6 | 內錯角相等，兩直線平行 |
| 同側內角 | 夾在兩線中間、在截線同一側 | 相加 180 度，也就是互補 | ∠3 + ∠6 = 180°，∠4 + ∠5 = 180° | 同側內角互補，兩直線平行 |
| 對頂角 | 同一個交點、方向相反 | 相等，不平行也成立 | ∠1 = ∠3，∠2 = ∠4 | 不能用來判斷平行 |
圖中 ∠1 是 60 度，所以 ∠3 + ∠6 = 60° + 120° = 180°。
同位角是什麼
同位角是兩個交點上「位置相同」的角。把上面的交點想成沿著截線滑到下面的交點，∠1 會剛好疊在 ∠5 上，所以 ∠1 和 ∠5 是一組同位角。8 個角一共可以配成 4 組同位角：∠1 和 ∠5、∠2 和 ∠6、∠3 和 ∠7、∠4 和 ∠8。
兩條直線平行時，同位角一定相等；反過來，量到一組同位角相等，就可以知道兩條直線平行。如果兩條直線不平行，同位角仍然叫同位角，只是大小不一樣。內錯角相等的理由也是從同位角來的，例如 ∠3 和 ∠1 是對頂角，∠1 又等於同位角 ∠5，所以 ∠3 = ∠5。
平行線角度例題
下面的題目都用上面 8 個角的圖，L ∥ M，只是 ∠1 的度數換掉。先找出要求的角和已知角是什麼關係，再決定是相等還是相加 180 度。
例 1L ∥ M，∠1 = 65°，求 ∠5、∠6 和 ∠7。
- ∠5 和 ∠1 是同位角，L ∥ M，所以 ∠5 = ∠1 = 65°
- ∠6 和 ∠5 合起來是一個平角：∠6 = 180° − 65° = 115°
- ∠7 和 ∠5 是對頂角：∠7 = ∠5 = 65°
答：∠5 = 65°，∠6 = 115°，∠7 = 65°
例 2L ∥ M，同側內角 ∠4 = 3x°、∠5 = (x + 20)°，求 x 和 ∠4。
- 同側內角互補：3x + (x + 20) = 180
- 4x + 20 = 180，4x = 160，x = 40
- ∠4 = 3 × 40° = 120°，∠5 = 40° + 20° = 60°，檢查 120° + 60° = 180°
答：x = 40，∠4 = 120°
例 3截線和直線 L 形成的 ∠2 = 118°，和直線 M 形成的 ∠6 = 112°，L 和 M 平行嗎？
- ∠2 和 ∠6 是同位角
- 118° ≠ 112°，同位角不相等
答：不平行，兩條直線延長後會相交
平行線還會用在哪裡
平行線的截角性質是國二幾何的基礎，後面很多單元都靠它推出來。過三角形的一個頂點畫一條和對邊平行的直線，用內錯角就能證明三角形內角和是 180 度；同樣的方法也能說明三角形的外角等於兩個內對角的和，整理在三角形外角和公式。平行四邊形兩組對邊平行，所以相鄰兩個角是同側內角、加起來 180 度，可以對照國小學過的平行四邊形。
兩平行線間的距離處處相等，國中用這個性質算面積，例如梯形的高就是上下兩底之間的距離。到了高中，直線用方程式表示，就可以直接用公式算出兩平行線的距離，算法在平行線距離公式。用尺規畫平行線的方法則在尺規作圖。
平行線截比例線段是什麼
平行線截比例線段是國三相似形單元的內容。在三角形 ABC 中，如果 D 在 AB 上、E 在 AC 上，而且 DE ∥ BC，那麼 DE 會把兩邊切成相同的比例：AD : DB = AE : EC，也可以寫成 AD : AB = AE : AC。反過來，如果兩邊被切成的比例相同，DE 就和 BC 平行。
更一般的說法是：三條平行線截兩條直線，截出來的對應線段成比例。這個性質和相似三角形是同一件事的兩種看法，因為 DE ∥ BC 時，三角形 ADE 和三角形 ABC 的三個角都相等。一個常用的特例是連接三角形兩邊中點的線段，它一定平行第三邊，長度是第三邊的一半。
平行線截比例線段例題
列比例式時，前項和後項要對應同一邊的同一段，例如左邊寫上段比下段，右邊也要寫上段比下段。
例 1如上圖，DE ∥ BC，AD = 4、DB = 6、AE = 5，求 EC。
- DE ∥ BC，所以 AD : DB = AE : EC
- 4 : 6 = 5 : x，內項乘積等於外項乘積：4x = 6 × 5 = 30
- x = 30 ÷ 4 = 7.5
答：EC = 7.5
例 2三角形 ABC 中，DE ∥ BC，AD = 3、AB = 9、BC = 12，求 DE。
- DE ∥ BC，三角形 ADE 和三角形 ABC 相似，AD : AB = DE : BC
- 3 : 9 = DE : 12，9 × DE = 3 × 12 = 36
- DE = 36 ÷ 9 = 4
答：DE = 4
例 3三角形 ABC 中，D、E 分別是 AB、AC 的中點，BC = 10，求 DE。
- D、E 是中點，AD : AB = AE : AC = 1 : 2，所以 DE ∥ BC
- DE : BC = 1 : 2，DE = 10 ÷ 2 = 5
答：DE = 5
國小基礎練習：試做 5 題
數學王的練習關卡是國小一到六年級，沒有國中的平行線題目。平行線角度題最常用到的是平角 180 度：知道 ∠5 求 ∠6，就是 180 度減掉已知角。四年級的「角度計算」練的正是直角、平角、周角的加減；「四邊形」練數出梯形、平行四邊形有幾組平行的邊。國二學平行線前，可以先用這兩關確認國小的基礎。
準備好就開始，一共 5 題。
常見問題
平行線的性質有哪些？
兩平行線間的距離處處相等，而且永遠不會相交。被一條截線所截時，同位角相等、內錯角相等、同側內角相加 180 度。
同位角一定相等嗎？
不一定。同位角只是位置的名稱，只有兩條直線平行時同位角才相等。反過來，同位角相等就可以判斷兩條直線平行。
平行線是幾年級學的？
國小四年級先認識平行、畫平行線，知道平行線間距離處處相等。國二學平行的符號和截角性質，國三學平行線截比例線段，高中一年級再用直線方程式算平行線的距離。
平行的符號怎麼寫？
平行的符號是兩條直立的短線 ∥，L ∥ M 讀作 L 平行 M。垂直的符號則是 ⊥。