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平行線距離公式

兩平行線距離公式是：直線 ax + by + c₁ = 0 和 ax + by + c₂ = 0 的距離 d = |c₁ − c₂| ÷ √(a² + b²)。用之前一定要先把兩條方程式的 x、y 係數調成完全一樣，例如 2x − y + 3 = 0 和 4x − 2y − 1 = 0，要先把第一條乘以 2 寫成 4x − 2y + 6 = 0 再代公式。

這個公式屬於高中一年級的直線方程式，國中不會直接考。國中平行線單元學的是兩平行線間的距離處處相等，也就是從一條線上任何一點畫垂直線段到另一條線，長度都一樣，國小四年級就已經用操作觀察過這件事。國中遇到坐標上的平行線，通常用水平線、鉛垂線或面積來算距離，下面兩種方法都會說明。

先看重點

  • 兩平行線的距離：一條線上任一點到另一條線的垂直距離，處處相等。
  • 公式 d = |c₁ − c₂| ÷ √(a² + b²)，兩條方程式的 a、b 要先調成一樣。
  • 水平線 y = k₁、y = k₂ 的距離是 |k₁ − k₂|；鉛垂線 x = h₁、x = h₂ 的距離是 |h₁ − h₂|。
  • 這個公式是高中一年級學的，國中學距離處處相等和面積算法。

兩平行線的距離是什麼

點到直線的距離，是從這個點往直線畫垂直線段的長度，這是所有連到直線的線段中最短的一條。兩條平行線的距離，就是從一條線上的點往另一條線畫垂直線段的長度。因為平行線間的距離處處相等，選哪一個點都可以，答案都一樣。

如果兩條直線不平行，它們一定會相交，距離會從某一處的 0 開始越來越大，就沒有一個固定的距離。所以只有平行線才談得上兩線之間的距離。

ddLM
L ∥ M，在 L 上任選兩個點往 M 畫垂直線段，兩段都是 d

兩平行線距離公式

下面的公式都在高中一年級的直線方程式學到。a、b 不能同時是 0，√(a² + b²) 是根號，可以用下面的根號計算機算。

兩平行線距離d = |c₁ − c₂| ÷ √(a² + b²)兩條線寫成 ax + by + c₁ = 0 和 ax + by + c₂ = 0，a、b 要相同
點到直線距離d = |a × x₀ + b × y₀ + c| ÷ √(a² + b²)點 (x₀, y₀) 到直線 ax + by + c = 0
斜截式d = |k₁ − k₂| ÷ √(1 + m²)兩條線寫成 y = mx + k₁ 和 y = mx + k₂
水平線d = |k₁ − k₂|y = k₁ 和 y = k₂，國中就能算
鉛垂線d = |h₁ − h₂|x = h₁ 和 x = h₂，國中就能算

平行線距離公式怎麼來的

兩平行線距離公式是從點到直線距離公式推出來的。既然距離處處相等，就在第一條線上隨便找一個點，算它到第二條線的距離。

  1. 在 ax + by + c₁ = 0 上取一點 (x₀, y₀)，這個點代入方程式成立，所以 a × x₀ + b × y₀ = −c₁。
  2. 用點到直線距離公式算它到 ax + by + c₂ = 0 的距離：d = |a × x₀ + b × y₀ + c₂| ÷ √(a² + b²)。
  3. 把 a × x₀ + b × y₀ 換成 −c₁：d = |−c₁ + c₂| ÷ √(a² + b²) = |c₁ − c₂| ÷ √(a² + b²)。
  4. 這一步用到兩條線的 a、b 相同，所以 a、b 不一樣時，要先把其中一條方程式乘上一個數，讓係數一致。

國中怎麼算：用面積求距離

國中還沒學點到直線距離公式，但學過畢氏定理和三角形面積，也能算出坐標上兩平行線的距離。下圖兩條平行線是 3x − 4y = 0 和 3x − 4y + 20 = 0，原點 O(0, 0) 和 Q(4, 3) 在第一條線上，P(0, 5) 在第二條線上。

三角形 OPQ 用 OP 當底，OP = 5，高是 Q 到 y 軸的距離 4，面積是 5 × 4 ÷ 2 = 10。換成用 OQ 當底，OQ = √(4² + 3²) = 5，這時的高就是 P 到直線 OQ 的距離 d，所以 5 × d ÷ 2 = 10，d = 4。用高中公式驗算：|0 − 20| ÷ √(3² + 4²) = 20 ÷ 5 = 4，答案一樣。

xy55PHQO3x − 4y = 03x − 4y + 20 = 04
P(0, 5) 到直線 3x − 4y = 0 的垂足是 H(2.4, 1.8)，PH = 4，就是兩平行線的距離

兩平行線距離例題

前兩題國中就能算，後三題要用高中的公式。每一題都先檢查兩條線的 x、y 係數是不是一樣。

例 1求直線 y = 2 和 y = −3 的距離。

  1. 兩條都是水平線，距離是 y 坐標相差多少
  2. |2 − (−3)| = |5| = 5

答：5

例 2求直線 x = −1 和 x = 6 的距離。

  1. 兩條都是鉛垂線，距離是 x 坐標相差多少
  2. |−1 − 6| = |−7| = 7

答：7

例 3求 3x + 4y − 5 = 0 和 3x + 4y + 15 = 0 的距離。

  1. 兩條的 a = 3、b = 4 相同，c₁ = −5，c₂ = 15
  2. √(3² + 4²) = √25 = 5
  3. d = |−5 − 15| ÷ 5 = 20 ÷ 5 = 4

答：4

例 4求 2x − y + 3 = 0 和 4x − 2y − 1 = 0 的距離。

  1. 係數不一樣，把第一條乘以 2：4x − 2y + 6 = 0
  2. a = 4、b = −2，√(4² + (−2)²) = √20 = 2√5
  3. d = |6 − (−1)| ÷ 2√5 = 7 ÷ 2√5 = 7√5 ÷ 10，約 1.57

答：7√5 ÷ 10，約 1.57

例 5求 y = x + 1 和 y = x − 3 的距離。

  1. 斜率都是 1，所以平行，k₁ = 1，k₂ = −3
  2. d = |1 − (−3)| ÷ √(1 + 1²) = 4 ÷ √2 = 2√2
  3. 2√2 約 2.83

答：2√2，約 2.83

根號計算機：算 √(a² + b²)

代公式時分母的 √(a² + b²) 常常不是整數，例如 a = 4、b = −2 時是 √20。在下面輸入 a² + b² 的值，就能看到它的近似值、化成最簡根式的寫法，以及它介於哪兩個整數之間，√20 會化成 2√5，約 4.47。

代公式前要檢查的事

平行線距離公式最常錯在代公式之前的準備，下面三件事先檢查完再算。

  • 兩條線真的平行嗎：x、y 係數要成比例，例如 2x − y 和 4x − 2y 成比例，2x − y 和 2x + y 就不平行。
  • a、b 調成一樣了嗎：係數只是成比例還不能代，要乘開到完全相同，c 也要跟著乘。
  • 方程式都移成等號右邊是 0 了嗎：例如 3x + 4y = 5 要先寫成 3x + 4y − 5 = 0，c₁ 是 −5，不是 5。

常見問題

兩平行線距離公式是什麼？

直線 ax + by + c₁ = 0 和 ax + by + c₂ = 0 的距離是 |c₁ − c₂| ÷ √(a² + b²)。兩條方程式的 a、b 要先調成一樣才能代。

平行線距離公式是國中還是高中學的？

用方程式算距離的公式是高中一年級直線方程式的內容。國中學的是平行線間的距離處處相等，坐標上的水平線、鉛垂線距離，以及用面積和畢氏定理算距離。

兩條線的係數不一樣怎麼辦？

先確定係數成比例，再把其中一條整條方程式乘上同一個數，讓 x、y 的係數完全一樣，常數項也要一起乘，然後再代公式。

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