畢氏定理證明

證明方法一：拼圖法

準備四個一樣的直角三角形，直角邊 a、b，斜邊 c。左邊把四個三角形放在邊長 a + b 的正方形四個角落，中間空出來的是邊長 c 的正方形。中間這塊的四個角都是直角，因為每個角和兩旁三角形的兩個銳角拼成一直線，兩個銳角相加是 90 度，180 − 90 = 90。

右邊把同樣四個三角形兩兩拼成長方形，放在大正方形的右上和左下，空出來的是邊長 a 和邊長 b 的兩個正方形。兩個大正方形一樣大，扣掉的四個三角形也一樣，剩下的面積必定相等，所以 c² = a² + b²。

拼圖法寫成算式

不用把三角形搬來搬去，也可以只看左圖，用兩種方法算大正方形的面積，再讓兩個結果相等。這是課本最常用的寫法。

證明方法二：趙爽弦圖

三國時代的趙爽在注解《周髀算經》時畫了一張弦圖：在邊長是斜邊 c 的正方形裡，放進四個一樣的直角三角形，每個三角形的斜邊貼著大正方形的一條邊，中間空出一個小正方形，小正方形的邊長是 b − a。

大正方形面積 c² 等於四個三角形加上小正方形：c² = 4 × (a × b ÷ 2) + (b − a)² = 2ab + a² − 2ab + b² = a² + b²。這個方法和拼圖法的差別是把三角形放在 c² 裡面，而不是外面。

證明方法三：梯形證法

這個方法是美國的加菲爾德在當選總統之前想出來的。把兩個直角邊 a、b 的直角三角形擺成下圖，斜邊之間夾著一個直角，三個三角形合成一個直角梯形，上底 a、下底 b、高 a + b。中間三角形的角是直角，原因和拼圖法一樣：它和兩旁的兩個銳角合起來是 180 度。

梯形面積是 (a + b) × (a + b) ÷ 2；三個三角形加起來是 a × b ÷ 2 + a × b ÷ 2 + c × c ÷ 2。兩者相等，乘以 2 再整理：a² + 2ab + b² = 2ab + c²，一樣得到 a² + b² = c²。這張圖剛好是拼圖法左圖的一半。

證明方法四：用相似三角形證明

這個證法要先學國中三年級的相似三角形。從直角頂點畫一條垂直斜邊的高，原來的直角三角形被分成兩個小直角三角形，這三個三角形的角都一樣，所以彼此相似。設高把斜邊 c 分成 x 和 y 兩段，靠近直角邊 a 的是 x。

大三角形和靠近 a 的小三角形相似，對應邊成比例：x 比 a 等於 a 比 c，所以 a² = c × x；同樣的道理，b² = c × y。兩式相加得到 a² + b² = c × x + c × y = c × (x + y) = c × c = c²。

1. 畫出斜邊上的高，把斜邊分成 x 和 y，x + y = c。
2. 大三角形和兩個小三角形都相似，得到 a² = c × x、b² = c × y。
3. 相加：a² + b² = c × (x + y) = c²。

用 3、4、5 檢查四種證法

證明對所有直角三角形都成立，代一組數字進去可以確認自己沒有理解錯。下面用直角邊 3、4，斜邊 5，每個直角三角形的面積是 3 × 4 ÷ 2 = 6。

逆定理：三邊滿足 a² + b² = c² 就是直角三角形

108 課綱也要求知道反過來的說法：如果一個三角形的三邊 a、b、c 滿足 a² + b² = c²，它一定是直角三角形。證明方法是另外畫一個直角三角形，兩條直角邊也是 a 和 b。由畢氏定理，它的斜邊平方是 a² + b²，也就等於 c²，所以斜邊就是 c。兩個三角形三邊對應相等，依 SSS 全等，原來的三角形和這個直角三角形全等，c 對面的角也是直角。

這就是為什麼看到 3、4、5 或 5、12、13 這種三個數，就能判斷是直角三角形，常見的整數組合整理在畢氏定理常見組合。

常見問題

延伸學習