數學王斜邊 50 以內的畢氏定理常見組合
下面是斜邊小於 50、而且三個數沒有共同因數的全部 7 組，前四組最常出現在國中題目裡。每一組都可以用兩條短邊的平方和等於最長邊的平方來檢查。
| 三邊長 | 檢查 | 怎麼記 |
|---|---|---|
| 3、4、5 | 9 + 16 = 25 | 最常考，口訣勾三股四弦五 |
| 5、12、13 | 25 + 144 = 169 | 斜邊比長直角邊多 1 |
| 8、15、17 | 64 + 225 = 289 | 斜邊比長直角邊多 2 |
| 7、24、25 | 49 + 576 = 625 | 斜邊比長直角邊多 1 |
| 20、21、29 | 400 + 441 = 841 | 兩條直角邊只差 1 |
| 12、35、37 | 144 + 1225 = 1369 | 斜邊比長直角邊多 2 |
| 9、40、41 | 81 + 1600 = 1681 | 斜邊比長直角邊多 1 |
表裡每一組都是最簡的，其他整數組合都是這些組合的倍數，或斜邊更大的組合。
3 4 5 放大 2 倍、3 倍還是直角三角形
把 3、4、5 的直角三角形放大 2 倍，三邊變成 6、8、10；放大 3 倍變成 9、12、15。形狀完全一樣，只是變大，所以直角還是直角。用算式檢查也一樣：6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10²。
原因是三邊同乘 k 以後，每個平方都變成原來的 k² 倍，等號兩邊一起放大，仍然相等。這種形狀一樣、大小不同的三角形，國三會學到叫做相似三角形。
常見組合的倍數整理
考題常把常見組合放大，看到數字有共同因數時，先把它們都除掉，看看是不是熟悉的組合。例如 15、20、25 都除以 5，就是 3、4、5。
| 基本組合 | 放大 | 三邊長 | 檢查 |
|---|---|---|---|
| 3、4、5 | 2 倍 | 6、8、10 | 36 + 64 = 100 |
| 3、4、5 | 3 倍 | 9、12、15 | 81 + 144 = 225 |
| 3、4、5 | 4 倍 | 12、16、20 | 144 + 256 = 400 |
| 3、4、5 | 5 倍 | 15、20、25 | 225 + 400 = 625 |
| 3、4、5 | 10 倍 | 30、40、50 | 900 + 1600 = 2500 |
| 5、12、13 | 2 倍 | 10、24、26 | 100 + 576 = 676 |
| 5、12、13 | 3 倍 | 15、36、39 | 225 + 1296 = 1521 |
| 8、15、17 | 2 倍 | 16、30、34 | 256 + 900 = 1156 |
小數也可以，例如 0.3、0.4、0.5 是 3、4、5 的 0.1 倍。
自己找出更多組合的方法
下面兩個式子可以一直產生新的組合，課本不要求背，屬於延伸內容，用代數展開就能驗證它們一定成立。
用常見組合快速解題
先把題目的數字和常見組合比對，數字對得上就能直接寫答案，對不上再用畢氏定理平方相加或相減。
例 1直角三角形的兩條直角邊是 9 和 12，斜邊是多少？
- 9 = 3 × 3、12 = 4 × 3，是 3、4、5 的 3 倍
- 斜邊 = 5 × 3 = 15
- 檢查：9² + 12² = 81 + 144 = 225 = 15²
答：15
例 2直角三角形的斜邊是 26，一條直角邊是 10，另一條直角邊是多少？
- 26 = 13 × 2、10 = 5 × 2，是 5、12、13 的 2 倍
- 另一條直角邊 = 12 × 2 = 24
- 檢查：26² − 10² = 676 − 100 = 576 = 24²
答：24
例 3直角三角形有兩條邊是 3 和 4，第三邊一定是 5 嗎？
- 如果 3 和 4 都是直角邊，斜邊 = √(9 + 16) = √25 = 5
- 如果 4 是斜邊，另一條直角邊 = √(16 − 9) = √7，約 2.65
- 題目沒說哪條是斜邊時，兩種都要考慮
答：不一定，可能是 5，也可能是 √7
例 4三邊長 15、36、39 的三角形是直角三角形嗎？
- 三個數都除以 3，得到 5、12、13，是常見組合
- 檢查：15² + 36² = 225 + 1296 = 1521 = 39²
答：是直角三角形
例 5三邊長 5、6、8 的三角形是直角三角形嗎？
- 5² + 6² = 25 + 36 = 61
- 8² = 64，61 不等於 64
答：不是直角三角形
3 4 5 的角度不是 30 度和 60 度
常見組合只保證有一個直角，另外兩個角通常不是整數度數。3、4、5 的兩個銳角約是 36.87 度和 53.13 度，很多人誤以為是 30 度和 60 度。30 度、60 度、90 度的直角三角形，最短邊是斜邊的一半，三邊比是 1 : √3 : 2，√3 不是整數，所以這種三角形的三邊不可能都是整數。更多國小到國中的直角三角形整理在直角三角形，畢氏定理為什麼成立可以看畢氏定理證明。
常見問題
畢氏定理常見組合有哪些？
最常見的是 3、4、5，5、12、13，8、15、17，7、24、25，以及它們的倍數，例如 6、8、10 和 10、24、26。
畢氏定理 345 是什麼意思？
直角邊 3 和 4 的直角三角形，斜邊剛好是 5，因為 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²。中國古代說成勾三股四弦五。
6、8、10 也是畢氏定理的組合嗎？
是。6、8、10 是 3、4、5 放大 2 倍，6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10²，任何常見組合同乘一個數都還是成立。