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二次函數公式
二次函數有兩種常見的寫法。一般式把每一項展開，容易看出圖形和 y 軸的交點；頂點式是配方好的樣子，一眼就看出頂點和對稱軸。兩種寫法可以互相轉換，例如 y = x² − 2x − 3 配方後就是 y = (x − 1)² − 4，展開 (x − 1)² − 4 = x² − 2x + 1 − 4 又會回到原式。
二次函數公式解：求圖形和 x 軸的交點
二次函數公式解，指的是用一元二次方程式的公式解，找出二次函數圖形和 x 軸的交點。圖形和 x 軸相交的地方 y = 0，所以只要解 ax² + bx + c = 0，解出來的 x 就是交點的 x 坐標。公式解是 x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a，和圖形與 y 軸的交點一起找出來，畫圖就很方便。
例 1y = x² − 2x − 3 的圖形和 x 軸交在哪裡？
- 令 y = 0：x² − 2x − 3 = 0
- a = 1，b = −2，c = −3，b² − 4ac = 4 + 12 = 16
- x = (2 ± √16) ÷ 2 = (2 ± 4) ÷ 2
- x = 6 ÷ 2 = 3 或 x = −2 ÷ 2 = −1
答：(3, 0) 和 (−1, 0)
例 2y = 2x² + 3x − 2 的圖形和 x 軸交在哪裡？
- 令 y = 0：2x² + 3x − 2 = 0
- a = 2，b = 3，c = −2，b² − 4ac = 9 + 16 = 25
- x = (−3 ± √25) ÷ 4 = (−3 ± 5) ÷ 4
- x = 2 ÷ 4 = 1/2 或 x = −8 ÷ 4 = −2
答：(1/2, 0) 和 (−2, 0)
例 3y = x² − 2x − 3 的圖形和 y 軸交在哪裡？
- 和 y 軸相交的地方 x = 0
- y = 0² − 2 × 0 − 3 = −3
答：(0, −3)
一次函數和二次函數比一比
一次函數是 y = ax + b，國二學。x 每增加 1，y 就固定增加 a，所以圖形是一條直線；a 大於 0 時直線從左下往右上，a 小於 0 時從左上往右下。a 等於 0 時變成 y = b，叫做常數函數，圖形是一條水平線。二次函數多了 x² 項，y 的變化量不再固定，圖形就彎成拋物線。
下面用 y = 2x + 1、y = x² 和 y = 3 對照，x 從 −2 到 2 各算一次。一次函數每次固定多 2；二次函數先變小再變大，而且 x 和 −x 算出來的 y 一樣，這就是 y = x² 的圖形對稱於 y 軸的原因。
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| y = 2x + 1 | −3 | −1 | 1 | 3 | 5 |
| y = x² | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
| y = 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
y = 3 是常數函數，不管 x 是多少，y 都是 3，圖形是通過 (0, 3) 的水平線。
二次函數開口大小
二次函數的開口方向和大小只看 a，和 b、c 無關。a 大於 0 開口向上，a 小於 0 開口向下；a 的絕對值越大，y 增加得越快，拋物線越瘦，開口就越窄。下圖三條拋物線都開口向上，x = 1 時，y = 2x² 是 2，y = x² 是 1，y = 0.5x² 是 0.5；x = 2 時分別是 8、4、2，所以 y = 2x² 爬得最快、開口最窄。
y = −2x² 和 y = 2x² 開口一樣大，只是一個向下、一個向上，兩條圖形對稱於 x 軸。比較開口大小要看 a 的絕對值，例如 y = −3x² 的開口比 y = x² 還窄。
二次函數判別式：和 x 軸有幾個交點
二次函數 y = ax² + bx + c 的判別式是 b² − 4ac，和一元二次方程式 ax² + bx + c = 0 的判別式是同一個式子。它決定圖形和 x 軸有幾個交點：大於 0 有兩個交點；等於 0 只有一個交點，這時頂點剛好在 x 軸上；小於 0 沒有交點，整條拋物線都在 x 軸的上方或下方，開口向上就在上方，開口向下就在下方。
| 二次函數 | b² − 4ac | 和 x 軸的交點 |
|---|---|---|
| y = x² − 2x − 3 | (−2)² − 4 × 1 × (−3) = 16 | 2 個：x = 3 和 x = −1 |
| y = x² − 4x + 4 | (−4)² − 4 × 1 × 4 = 0 | 1 個：x = 2，就是頂點 (2, 0) |
| y = x² + 2x + 5 | 2² − 4 × 1 × 5 = −16 | 0 個，開口向上，整條在 x 軸上方 |
| y = −x² + 2x − 3 | 2² − 4 × (−1) × (−3) = −8 | 0 個，開口向下，整條在 x 軸下方 |
用計算機算判別式和交點
把二次函數的 a、b、c 填進一元二次方程式計算機，算出的判別式就是 b² − 4ac，算出的解就是圖形和 x 軸交點的 x 坐標；顯示沒有實數解，就代表圖形和 x 軸沒有交點。例如 y = x² − 2x − 3，輸入 a = 1、b = −2、c = −3，會得到判別式 16，x = 3 或 x = −1。
二次函數的相關主題
二次函數把國二學的多項式、方程式和國三的圖形串在一起，可以照下面的順序讀。
常見問題
二次函數是幾年級學的？
依 108 課綱，二次函數在國三學，重點是已經配方好的式子的圖形和最大值、最小值；一次函數在國二學。把一般式配方成頂點式和二次函數的應用問題，排在高一。
二次函數的開口大小怎麼看？
看 a 的絕對值，絕對值越大開口越窄。a 的正負決定方向，大於 0 開口向上，小於 0 開口向下，和 b、c 無關。
二次函數的判別式代表什麼？
判別式 b² − 4ac 決定圖形和 x 軸有幾個交點：大於 0 有 2 個，等於 0 有 1 個，小於 0 沒有交點。
二次函數和一元二次方程式有什麼關係？
把二次函數的 y 換成 0，就得到一元二次方程式。方程式的實數解，就是二次函數圖形和 x 軸交點的 x 坐標。