數學王二次函數圖形範例：y = x² − 2x − 3
下圖是 y = x² − 2x − 3 的圖形。配方後 y = (x − 1)² − 4，所以頂點是 (1, −4)；a = 1 大於 0，開口向上，頂點是最低點，最小值是 −4。虛線是對稱軸 x = 1，(0, −3) 和 (2, −3) 到對稱軸的距離都是 1，高度也一樣；(−1, 0) 和 (3, 0) 到對稱軸的距離都是 2，圖形左右對稱。
二次函數圖形怎麼畫：五個步驟
用 y = x² − 2x − 3 當例子，照下面的順序做，就能畫出上面的圖。
- 找頂點：配方成 y = (x − 1)² − 4，頂點是 (1, −4)。
- 畫對稱軸：通過頂點的鉛垂線 x = 1，用虛線畫。
- 看開口：a = 1 大於 0，開口向上。
- 找和兩軸的交點：x = 0 時 y = −3，得到 (0, −3)；解 x² − 2x − 3 = 0 得 x = −1 或 x = 3，得到 (−1, 0) 和 (3, 0)。
- 描對稱點再連線：(0, −3) 對稱到 (2, −3)，x = −2 和 x = 4 時 y 都是 5；把這些點用平滑的曲線連起來，頂點附近要畫成圓弧，不要畫成尖角。
描點用的表格
描點時，以對稱軸 x = 1 為中心，左右各取幾個整數，算出 y 填進表格。表格裡的 y 會以頂點為中心左右對稱，看到不對稱就表示有算錯。
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y = x² − 2x − 3 | 5 | 0 | −3 | −4 | −3 | 0 | 5 |
二次函數圖形的平移
a 相同的二次函數圖形，形狀和大小都一樣，只是位置不同。y = a(x − h)² + k 的圖形，就是把 y = ax² 的圖形向右移 h、向上移 k，頂點從 (0, 0) 移到 (h, k)。下圖把 y = x² 向右移 2、向上移 1，就得到 y = (x − 2)² + 1，頂點移到 (2, 1)。
要特別注意方向：(x − 2)² 是向右移，(x + 2)² 是向左移，和括號裡的正負號看起來相反；後面的 + k 是向上，− k 是向下。
常見的平移整理
下表的每一個二次函數，都可以由 y = 2x² 或 y = −x² 移動得到，開口大小不變。
| 二次函數 | 怎麼移動 | 頂點 |
|---|---|---|
| y = 2x² + 3 | y = 2x² 向上移 3 | (0, 3) |
| y = 2x² − 3 | y = 2x² 向下移 3 | (0, −3) |
| y = 2(x − 4)² | y = 2x² 向右移 4 | (4, 0) |
| y = 2(x + 4)² | y = 2x² 向左移 4 | (−4, 0) |
| y = −(x + 1)² + 2 | y = −x² 向左移 1、向上移 2 | (−1, 2) |
二次函數圖形判斷：從圖看 a、b、c 的正負
考題常給一張拋物線的圖，問 a、b、c 或 b² − 4ac 是正是負。每一個都有固定的看法：a 看開口方向；c 看和 y 軸的交點，因為 x = 0 時 y = c；b 要和 a 一起看對稱軸的位置，因為對稱軸是 x = −b ÷ 2a，對稱軸在 y 軸左邊表示 −b ÷ 2a 小於 0，a、b 同號，在右邊就是 a、b 異號，這就是常聽到的左同右異；b² − 4ac 看和 x 軸有幾個交點。
| 要判斷 | 看圖上哪裡 | 結論 |
|---|---|---|
| a | 開口方向 | 向上 a > 0，向下 a < 0 |
| c | 和 y 軸的交點 | 在原點上方 c > 0，下方 c < 0，通過原點 c = 0 |
| b | 對稱軸的位置 | 在 y 軸左邊 a、b 同號，右邊 a、b 異號，對稱軸就是 y 軸時 b = 0 |
| b² − 4ac | 和 x 軸的交點個數 | 2 個大於 0，1 個等於 0，沒有交點小於 0 |
用上面的 y = x² − 2x − 3 檢查：開口向上，a = 1 > 0；和 y 軸交在 (0, −3)，c = −3 < 0；對稱軸 x = 1 在 y 軸右邊，a、b 異號，b = −2 < 0；和 x 軸交兩點，b² − 4ac = 16 > 0。
二次函數圖形判斷例題
判斷題先把圖上看得到的特徵一個一個寫下來，再對照上面的表。不確定時，找一個符合描述的式子代進去檢查。
例 1y = ax² + bx + c 的圖形開口向下，頂點在第一象限，和 y 軸交在原點下方。判斷 a、b、c 和 b² − 4ac 的正負。
- 開口向下：a < 0
- 和 y 軸交在原點下方：c < 0
- 頂點在第一象限，對稱軸在 y 軸右邊，a、b 異號，a < 0，所以 b > 0
- 開口向下而頂點在 x 軸上方，圖形會穿過 x 軸兩次，b² − 4ac > 0
- 例如 y = −x² + 4x − 1，頂點 (2, 3)，c = −1，b² − 4ac = 16 − 4 = 12，都符合
答：a < 0，b > 0，c < 0，b² − 4ac > 0
例 2y = 2(x − 3)² + 1 的圖形和 x 軸有幾個交點？
- 頂點 (3, 1)，在 x 軸上方
- a = 2 > 0，開口向上，頂點是最低點
- 最低點已經在 x 軸上方，整條圖形都不會碰到 x 軸
- 檢查：展開是 y = 2x² − 12x + 19，b² − 4ac = 144 − 152 = −8 < 0
答：0 個
例 3y = x² 的圖形要怎麼移動，才會得到 y = (x + 3)² − 2 的圖形？
- (x + 3)² 就是 (x − (−3))²，h = −3，向左移 3
- − 2 表示 k = −2，向下移 2
- 頂點從 (0, 0) 移到 (−3, −2)
答：向左移 3、向下移 2
相關主題
畫圖要用到頂點和交點，判斷題要用到判別式，這幾頁可以一起看。
常見問題
二次函數圖形怎麼畫？
先找頂點和對稱軸，看 a 的正負決定開口方向，再找和 y 軸、x 軸的交點，最後在對稱軸兩邊描對稱的點，用平滑的曲線連起來。
從二次函數圖形怎麼判斷 b 的正負？
看對稱軸 x = −b ÷ 2a 的位置。對稱軸在 y 軸左邊，a、b 同號；在右邊，a、b 異號；對稱軸就是 y 軸時 b = 0。先從開口判斷 a，就能推出 b。
y = (x − 2)² 的圖形是向左還是向右移？
向右移 2。y = (x − 2)² 在 x = 2 時才等於 0，頂點是 (2, 0)，在原點的右邊。