數學王二次函數頂點公式
依照題目給的式子，選一個最方便的公式。給頂點式就直接讀；給一般式就用 −b ÷ 2a 先求 x 坐標；知道圖形和 x 軸的兩個交點，就取兩個交點的中點。
從頂點式讀出頂點座標
頂點式最容易錯的是正負號。y = a(x − h)² + k 括號裡是減 h，所以 (x − 3)² 的 h 是 3，(x + 2)² 要看成 (x − (−2))²，h 是 −2；後面的 + k 則照原來的正負號讀。
為什麼頂點是 (h, k)？因為 (x − h)² 是一個數的平方，最小是 0，只有 x = h 時等於 0，這時 y = k。a 大於 0 時，其他 x 算出來的 y 都比 k 大，所以 (h, k) 是最低點；a 小於 0 時剛好相反，(h, k) 是最高點。
| 二次函數 | 頂點 | 對稱軸 | 開口 | 最大值或最小值 |
|---|---|---|---|---|
| y = 2(x − 3)² + 1 | (3, 1) | x = 3 | 向上 | 最小值 1 |
| y = −(x + 2)² + 5 | (−2, 5) | x = −2 | 向下 | 最大值 5 |
| y = 3x² − 4 | (0, −4) | x = 0 | 向上 | 最小值 −4 |
| y = −0.5(x − 1)² | (1, 0) | x = 1 | 向下 | 最大值 0 |
| y = x² | (0, 0) | x = 0 | 向上 | 最小值 0 |
一般式怎麼配方成頂點式
配方就是想辦法湊出 (x − h)² 這種完全平方，用的是乘法公式裡的 (x + m)² = x² + 2mx + m²。以 y = x² − 6x + 5 為例，照下面四步做。
a 不是 1 的時候，先把 a 從 x² 項和 x 項提出來再配方，例如 y = 2x² + 8x + 3 = 2(x² + 4x) + 3 = 2(x² + 4x + 4) − 8 + 3 = 2(x + 2)² − 5，頂點是 (−2, −5)。用同樣的方法把 y = ax² + bx + c 配方，會得到 y = a(x + b ÷ 2a)² + (4ac − b²) ÷ 4a，所以頂點的 x 坐標是 −b ÷ 2a，y 坐標是 (4ac − b²) ÷ 4a，這就是頂點公式的由來。
- 看 x 項的係數 −6，取一半是 −3，平方是 9。
- 加 9 再減 9，式子的值不變：y = x² − 6x + 9 − 9 + 5。
- 前三項湊成完全平方：y = (x − 3)² − 4。
- 讀出頂點 (3, −4)；a = 1 大於 0，開口向上，最小值是 −4。
二次函數頂點例題
求出頂點後，可以把頂點的 x 坐標代回原式檢查 y 坐標，也可以看 a 的正負，判斷頂點是最高點還是最低點。
例 1y = 2x² + 8x + 3 的頂點座標是多少？
- a = 2，b = 8，c = 3
- x = −8 ÷ (2 × 2) = −2
- 代回原式：y = 2 × (−2)² + 8 × (−2) + 3 = 8 − 16 + 3 = −5
- 也可以配方：y = 2(x + 2)² − 5
答：(−2, −5)
例 2y = −x² + 4x + 1 的頂點和最大值是多少？
- a = −1，b = 4，c = 1
- x = −4 ÷ (2 × (−1)) = 2
- 代回原式：y = −(2)² + 4 × 2 + 1 = −4 + 8 + 1 = 5
- a 小於 0，開口向下，頂點是最高點
答：頂點 (2, 5)，最大值 5
例 3y = x² − 6x + 5 的圖形和 x 軸交在 x = 1 和 x = 5，頂點是多少？
- 頂點的 x 坐標在兩個交點的正中間：(1 + 5) ÷ 2 = 3
- 代回原式：y = 3² − 6 × 3 + 5 = 9 − 18 + 5 = −4
答：(3, −4)
例 4y = 3x² − 6x + 7 的最小值是多少？
- a = 3 大於 0，開口向上，頂點是最低點
- 頂點 x = −(−6) ÷ (2 × 3) = 1
- y = (4ac − b²) ÷ 4a = (4 × 3 × 7 − 36) ÷ 12 = 48 ÷ 12 = 4
- 檢查：x = 1 代回原式，3 − 6 + 7 = 4
答：最小值 4，發生在 x = 1
相關主題
頂點是畫二次函數圖形的第一步，也是求最大值、最小值的關鍵。
常見問題
二次函數頂點公式是什麼？
一般式 y = ax² + bx + c 的頂點是 x = −b ÷ 2a，y = (4ac − b²) ÷ 4a。頂點式 y = a(x − h)² + k 的頂點直接就是 (h, k)。
y = a(x − h)² + k 的頂點為什麼是 (h, k)？
(x − h)² 最小是 0，只在 x = h 時等於 0，這時 y = k。a 大於 0 時其他點都比 k 高，所以 (h, k) 是最低點；a 小於 0 時是最高點。
y = −(x + 2)² + 5 的頂點是 (2, 5) 嗎？
不是，是 (−2, 5)。(x + 2)² 要看成 (x − (−2))²，所以 h = −2。