數學王30 度、60 度、90 度：1 : √3 : 2
把邊長 2 的正三角形從頂點對半切開，會得到兩個 30 度、60 度、90 度的直角三角形。斜邊是正三角形的邊 2，短直角邊是底邊的一半 1，長直角邊是正三角形的高，用畢氏定理算是 √(2² − 1²) = √3，所以三邊比是 1 : √3 : 2。
記的時候抓住角和邊的對應：30 度對最短的邊 1，60 度對 √3，90 度對最長的斜邊 2。√3 約 1.732，詳細可以看根號3。
45 度、45 度、90 度：1 : 1 : √2
正方形沿對角線切開，就是兩個等腰直角三角形，兩條直角邊一樣長，兩個銳角都是 45 度。直角邊是 1 時，斜邊是 √(1² + 1²) = √2，所以三邊比是 1 : 1 : √2。√2 約 1.414，詳細可以看根號2。
直角三角形邊長比例換算表
已知哪一條邊，就把比例裡對應的那一項換成它，算出放大了幾倍，再乘到另外兩項。近似值是四捨五入到小數第 3 位。
| 三角形 | 已知 | 另外兩邊 |
|---|---|---|
| 30 度、60 度、90 度 | 短直角邊 3 | 長直角邊 3√3，約 5.196；斜邊 6 |
| 30 度、60 度、90 度 | 斜邊 10 | 短直角邊 5；長直角邊 5√3，約 8.660 |
| 30 度、60 度、90 度 | 長直角邊 6 | 短直角邊 2√3，約 3.464；斜邊 4√3，約 6.928 |
| 45 度、45 度、90 度 | 直角邊 4 | 另一條直角邊 4；斜邊 4√2，約 5.657 |
| 45 度、45 度、90 度 | 斜邊 10 | 兩條直角邊都是 5√2，約 7.071 |
| 45 度、45 度、90 度 | 斜邊 8 | 兩條直角邊都是 4√2，約 5.657 |
已知長直角邊或斜邊、要回推其他邊時會除以根號，記得把分母的根號化掉，例如 6 ÷ √3 = 2√3。
用直角三角形比例求邊長
先判斷是哪一種三角形，再把已知的邊對到比例裡的那一項。
例 130 度、60 度、90 度的直角三角形，斜邊是 12 公分，兩條直角邊各是多少？
- 三邊比 1 : √3 : 2，斜邊 2 對到 12，放大 6 倍
- 短直角邊 = 1 × 6 = 6（公分）
- 長直角邊 = √3 × 6 = 6√3 ≈ 10.39（公分）
答：6 公分和 6√3 公分，6√3 約 10.39
例 230 度、60 度、90 度的直角三角形，60 度角對面的直角邊是 6，另外兩邊是多少？
- 60 度對的是 √3 那一項，√3 對到 6，放大 6 ÷ √3 = 2√3 倍
- 短直角邊 = 1 × 2√3 = 2√3
- 斜邊 = 2 × 2√3 = 4√3
答：短直角邊 2√3，斜邊 4√3
例 3等腰直角三角形的斜邊是 6 公分，腰和面積各是多少？
- 三邊比 1 : 1 : √2，√2 對到 6，腰 = 6 ÷ √2 = 3√2 ≈ 4.24（公分）
- 面積 = 3√2 × 3√2 ÷ 2 = 18 ÷ 2 = 9（平方公分）
答：腰 3√2 公分，約 4.24 公分；面積 9 平方公分
例 4邊長 7 公分的正方形，對角線約是多少？
- 對角線把正方形分成兩個 45 度、45 度、90 度的三角形
- 對角線 = 7 × √2 = 7√2 ≈ 9.90（公分）
答：7√2 公分，約 9.90 公分
3 : 4 : 5 也是直角三角形比例嗎
是。邊長比 3 : 4 : 5 的三角形，3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²，所以一定是直角三角形，5 : 12 : 13、8 : 15 : 17 也是。這些比例的三邊都是整數，常用在不想出現根號的題目，整理在畢氏定理常見組合。
要注意 3 : 4 : 5 的兩個銳角約是 36.87 度和 53.13 度，不是 30 度和 60 度。30 度、60 度、90 度的三角形，最短邊一定是斜邊的一半，而 3 不是 5 的一半。
角度一樣，邊長比就一樣：相似直角三角形
兩個直角三角形只要有一個銳角一樣大，三個角就都一樣，它們是相似三角形，大小不同但形狀相同，對應邊的比也一樣。這就是國中三年級學的相似直角三角形邊長比不變，相似三角形有完整說明。
生活中可以用它量高度。同一個時間、同一個地方，太陽照出來的影子和物體形成的直角三角形角度相同。例如 2 公尺的竿子影長 3 公尺，旗桿影長 12 公尺，旗桿高 : 12 = 2 : 3，旗桿高 8 公尺。
每一種角度都有自己的邊長比，30 度、45 度、60 度的比例可以用正三角形和正方形推出來；其他角度的比例到高中一年級才用正弦、餘弦、正切來表示，也就是三角函數的起點。
國小基礎：比和放大縮小試做 5 題
數學王的練習是國小一到六年級，沒有國中的邊長比題目。直角三角形比例用到的是六年級學的比與比值，以及放大縮小圖形時對應邊成比例，這兩個關卡練的就是這些國小基礎。不用登入，做完會告訴你答對幾題。
準備好就開始，一共 5 題。
常見問題
直角三角形邊長比有哪些？
最常用的是 30 度、60 度、90 度的 1 : √3 : 2，和 45 度、45 度、90 度的 1 : 1 : √2。三邊都是整數的 3 : 4 : 5、5 : 12 : 13 也是直角三角形，但角度不是特殊角。
30 60 90 三角形的邊長比是多少？
短直角邊 : 長直角邊 : 斜邊 = 1 : √3 : 2。30 度對最短邊，60 度對 √3，90 度對斜邊 2，斜邊是最短邊的 2 倍。
45 45 90 三角形的邊長比是多少？
直角邊 : 直角邊 : 斜邊 = 1 : 1 : √2，斜邊約是直角邊的 1.414 倍。
直角三角形比例是幾年級學的？
108 課綱放在國中三年級的相似直角三角形單元；其他角度的邊長比要用三角函數，是高中一年級的內容。