數學王直角三角形定理總整理
下表依學習的先後排列。例子都可以用 3、4、5 或 6、8、10 這類三邊是整數的直角三角形自己驗證一次。
| 定理或性質 | 內容 | 例子 | 學習階段 |
|---|---|---|---|
| 兩銳角互餘 | 兩個銳角相加是 90 度 | 一個銳角 35 度，另一個是 55 度 | 國小五年級 |
| 斜邊最長 | 直角是最大的角，大角對大邊，所以斜邊最長 | 6、8、10 的斜邊是 10 | 國中二年級 |
| 畢氏定理 | 直角邊² + 直角邊² = 斜邊² | 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5² | 國中二年級 |
| 畢氏定理的逆定理 | 三邊滿足兩短邊平方和等於最長邊平方，就是直角三角形 | 7、24、25：49 + 576 = 625 | 國中二年級 |
| 斜邊上的高 | 高 = 直角邊 × 直角邊 ÷ 斜邊 | 6、8、10：6 × 8 ÷ 10 = 4.8 | 國中二年級 |
| 斜邊中點是外心 | 斜邊中點到三個頂點一樣遠，外接圓半徑是斜邊的一半 | 斜邊 10，外接圓半徑 5 | 國中三年級 |
| 30 度角的對邊 | 30 度角對面的直角邊是斜邊的一半 | 斜邊 8，30 度角的對邊是 4 | 國中三年級 |
| 內切圓半徑 | 半徑 = (兩條直角邊的和 − 斜邊) ÷ 2 | 3、4、5：(3 + 4 − 5) ÷ 2 = 1 | 國中三年級 |
| 斜邊上的高分出相似形 | 高把直角三角形分成兩個和原來相似的直角三角形 | 6、8、10 的高把斜邊分成 3.6 和 6.4 | 國中三年級 |
畢氏定理和它的逆定理
畢氏定理說的是：直角三角形兩條直角邊各自平方再相加，會等於斜邊的平方。它最常用來由兩條邊求第三條邊，求斜邊的方法在直角三角形求斜邊，求直角邊的方法在直角三角形邊長。
逆定理是反過來用：先不知道是不是直角三角形，只要三邊長滿足兩短邊平方和等於最長邊平方，就能確定它是直角三角形，而且最長邊對面的角是直角。108 課綱在國二同時教這兩個方向。要注意判斷時一定要拿最長的邊來比，例如 5、12、13 要檢查 25 + 144 是否等於 169。
斜邊上的高：面積算兩次
直角三角形的面積可以用兩種方法算：兩條直角邊互相垂直，面積 = 6 × 8 ÷ 2 = 24；也可以把斜邊當底，面積 = 10 × 高 ÷ 2。兩種算法的面積一樣，所以高 = 24 × 2 ÷ 10 = 4.8。這就是斜邊上的高 = 直角邊 × 直角邊 ÷ 斜邊的由來。
國中三年級學了相似形以後，還會發現這條高把直角三角形分成兩個小直角三角形，它們和原來的三角形相似。由相似可以推出：高² = 斜邊被分成的兩段相乘，4.8² = 3.6 × 6.4 = 23.04；直角邊² = 斜邊 × 靠近它的那一段，6² = 10 × 3.6、8² = 10 × 6.4。
斜邊中點和 30 度角的性質
直角三角形斜邊的中點，到三個頂點的距離都一樣，等於斜邊的一半。所以直角三角形的外心就在斜邊中點，外接圓的直徑就是斜邊。把直角三角形補成長方形就看得出來：斜邊是長方形的對角線，長方形兩條對角線一樣長而且互相平分，交點到四個角都一樣遠。
30 度、60 度、90 度的直角三角形，30 度角對面的直角邊是斜邊的一半。拿兩個一樣的這種三角形拼起來，會拼成一個正三角形，短直角邊剛好是正三角形邊長的一半。完整的邊長比 1 : √3 : 2 在直角三角形比例。
直角三角形定理例題
每一題先想好要用哪一個定理，再列式。
例 1三邊長 6、7、9 的三角形是直角三角形嗎？
- 最長邊是 9，9² = 81
- 6² + 7² = 36 + 49 = 85
- 85 不等於 81，所以不是直角三角形
答：不是直角三角形
例 2直角三角形的斜邊是 10 公分，斜邊中點到直角頂點的距離是多少？
- 斜邊中點到三個頂點一樣遠，都是斜邊的一半
- 10 ÷ 2 = 5（公分）
答：5 公分
例 330 度、60 度、90 度的直角三角形，斜邊是 14，兩條直角邊各是多少？
- 30 度角的對邊是斜邊的一半：14 ÷ 2 = 7
- 另一條直角邊 = √(14² − 7²) = √(196 − 49) = √147 = 7√3
- 7√3 ≈ 7 × 1.732 = 12.124
答：7 和 7√3，7√3 約 12.12
例 4直角邊 5 和 12 的直角三角形，斜邊上的高是多少？
- 斜邊 = √(25 + 144) = √169 = 13
- 高 = 5 × 12 ÷ 13 = 60/13
- 60 ÷ 13 ≈ 4.615
答：60/13，約 4.62
例 5三邊長 3、4、5 的直角三角形，內切圓半徑是多少？
- 半徑 = (3 + 4 − 5) ÷ 2 = 1
- 用面積檢查：面積 = 3 × 4 ÷ 2 = 6，也等於周長 × 半徑 ÷ 2 = 12 × 1 ÷ 2 = 6
答：1
常見問題
直角三角形定理是什麼？
最常指畢氏定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方，例如 3² + 4² = 5²。它在國中二年級學。
直角三角形有哪些性質？
兩個銳角相加是 90 度、斜邊最長、滿足畢氏定理、斜邊中點到三個頂點等距、30 度角對面的邊是斜邊的一半，斜邊上的高等於兩條直角邊相乘再除以斜邊。
怎麼用三邊長判斷直角三角形？
用畢氏定理的逆定理：最長邊的平方等於另外兩邊的平方和，就是直角三角形。例如 7、24、25：49 + 576 = 625 = 25²。
直角三角形的外心在哪裡？
在斜邊的中點。斜邊中點到三個頂點一樣遠，外接圓的半徑是斜邊的一半，這是國中三年級學的。