數學王兩點距離公式
公式裡的 a − c 是兩點左右差多少，b − d 是上下差多少。差可能是負數，平方以後都變成正數，所以誰減誰都可以。
兩點距離公式怎麼來的
從 A(1, 1) 往右走到和 B 同一條鉛直線，走了 4 − 1 = 3 格；再往上走到 B，走了 5 − 1 = 4 格。這兩段互相垂直，和 AB 圍成一個直角三角形，AB 是斜邊。
由畢氏定理，AB² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25，AB = 5。把 3 換成 a − c、4 換成 b − d，就是兩點距離公式。
兩點距離公式例題
先寫出兩個坐標的差，有負數時平方要加括號，最後別忘了開根號。答案不是整數時，可以寫成最簡根式。
例 1A(1, 2)、B(4, 6)，AB 是多少？
- x 差 4 − 1 = 3，y 差 6 − 2 = 4
- AB = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
答：5
例 2A(−2, 3)、B(4, −5)，AB 是多少？
- x 差 4 − (−2) = 6，y 差 (−5) − 3 = −8
- AB = √(6² + (−8)²) = √(36 + 64) = √100 = 10
答：10
例 3A(1, 1)、B(3, 5)，AB 是多少？
- x 差 3 − 1 = 2，y 差 5 − 1 = 4
- AB = √(4 + 16) = √20 = √(4 × 5) = 2√5
答：2√5，約 4.47
例 4A(2, −1)、B(2, 6)，AB 是多少？
- x 坐標相同，兩點在同一條鉛直線上
- AB = 6 − (−1) = 7
答：7
例 5地圖上每一格代表 1 公里，學校在 (−3, 2)，家在 (5, −4)，兩地的直線距離是多少？
- x 差 5 − (−3) = 8，y 差 (−4) − 2 = −6
- 距離 = √(8² + (−6)²) = √(64 + 36) = √100 = 10（公里）
答：10 公里
例 6A(0, 0)、B(3, 4)、C(7, 1)，△ABC 是什麼三角形？
- AB² = 3² + 4² = 25，BC² = 4² + (−3)² = 16 + 9 = 25，AC² = 7² + 1² = 49 + 1 = 50
- AB = BC = 5，兩邊相等
- AB² + BC² = 25 + 25 = 50 = AC²，由畢氏定理的逆定理，∠B 是直角
答：等腰直角三角形，直角在 B
用根號計算機算兩點距離
先算出兩個差的平方和，也就是根號裡的數，再輸入計算機按「計算」，會顯示近似值、最簡根式，以及答案介於哪兩個整數之間。例如 (0, 0) 到 (2, 3)，平方和是 4 + 9 = 13，輸入 13 得到 √13 ≈ 3.605551，介於 3 和 4 之間；(1, 1) 到 (3, 5) 輸入 20，會顯示 √20 = 2√5。
常見錯誤和高中的延伸
兩點距離公式的錯誤多半在負號和漏步驟。到了高中二年級學空間坐標，公式多一項 z 坐標的差：(1, 2, 3) 和 (3, 5, 9) 的距離是 √(2² + 3² + 6²) = √(4 + 9 + 36) = √49 = 7，想法和平面完全一樣。
- 負數平方沒加括號：(−3)² = 9，但 −3² 會被算成 −9。
- 減錯坐標：要 x 減 x、y 減 y，不能拿 A 的 x 去減 B 的 y。
- 忘了開根號：3² + 4² = 25，距離是 5，不是 25。
- 把差直接相加：3 + 4 = 7 不是距離，要先平方再相加。
直角坐標和四個象限
直角坐標是用兩條互相垂直的數線標出平面上的位置。水平的叫 x 軸，也叫橫軸；垂直的叫 y 軸，也叫縱軸；兩軸的交點是原點 O，坐標 (0, 0)。一個點寫成 (x, y)，先寫橫向的 x 坐標，再寫縱向的 y 坐標，例如 (3, 2) 是從原點往右 3、往上 2。
兩條軸把平面分成四個象限，從右上角開始逆時針數：第一象限 x、y 都是正數，第二象限 x 負 y 正，第三象限都是負數，第四象限 x 正 y 負。落在軸上的點，例如 (0, 5) 或 (−2, 0)，不屬於任何象限。國小學過的數線，就是只有一條軸的坐標。
象限和坐標的正負
判斷一個點在第幾象限，只要看 x、y 坐標的正負。點到兩軸的距離也可以從坐標直接看出來：(x, y) 到 x 軸的距離是 y 取正值，到 y 軸的距離是 x 取正值。
| 位置 | x 坐標 | y 坐標 | 例子 |
|---|---|---|---|
| 第一象限 | 正 | 正 | (3, 2) |
| 第二象限 | 負 | 正 | (−2, 4) |
| 第三象限 | 負 | 負 | (−3, −1) |
| 第四象限 | 正 | 負 | (2, −3) |
| x 軸上 | 任何數 | 0 | (−2, 0) |
| y 軸上 | 0 | 任何數 | (0, 5) |
例如 (−4, 3) 在第二象限，到 x 軸距離 3、到 y 軸距離 4，到原點距離 √(16 + 9) = 5。
常見問題
兩點距離公式是什麼？
A(a, b)、B(c, d) 兩點的距離是 √((a − c)² + (b − d)²)，橫向差和縱向差各自平方相加再開根號。
兩點距離公式和畢氏定理有什麼關係？
橫向差和縱向差是直角三角形的兩條直角邊，兩點連線是斜邊，所以兩點距離公式就是畢氏定理寫成坐標的樣子。
兩點距離公式幾年級學？
108 課綱在國中二年級，學完畢氏定理和平方根之後；直角坐標和象限在國中一年級就會學。
坐標相減有負數怎麼辦？
直接照算，平方以後一定是正數，例如 (−8)² = 64。誰減誰都可以，答案一樣。