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負數是什麼
國小學的數都是從 0 往上數，可是生活中常遇到比 0 還少的情形，例如氣溫降到 0 度以下、錢花得比存的多。為了表示這種相反方向的量，就在數字前面加上負號，寫成 −3、−2.5、−1/2，這些比 0 小的數叫做負數。原本的 3、2.5、1/2 叫做正數，正號通常省略不寫。
像 3 和 −3 這樣只差一個負號的兩個數，叫做互為相反數，它們在數線上分別在 0 的兩側，到 0 的距離一樣遠。0 的相反數還是 0。0 比所有正數小、比所有負數大，所以 0 既不是正數也不是負數。
- 氣溫：零上 5 度記作 5 度，零下 3 度記作 −3 度。
- 高度：以海平面為 0，山高 300 公尺記作 300 公尺，海平面以下 20 公尺記作 −20 公尺。
- 錢：賺 100 元記作 100 元，虧損 100 元記作 −100 元。
- 時間：以現在為 0，3 天後記作 3，3 天前記作 −3。
含負數的數線
國中的數線一樣有原點、正方向和單位長三個要素，只是往 0 的左邊也畫上刻度，依序是 −1、−2、−3。越往右數越大，越往左數越小，所以數線上右邊的數一定比左邊的數大。
下圖中 −3 和 3 到 0 都是 3 格，表示它們到 0 的距離都是 3，這個距離就是絕對值。兩個負數比大小時，離 0 越遠的在越左邊，反而越小，例如 −8 < −3。
正負數的加減乘除規則
正負數的計算先決定答案的正負號，再算數字的部分。加減看符號是否相同，乘除只看負號有幾個。更多加減練習和口訣在正負數加減題目。
負數運算例題
為什麼負數乘負數會是正數？看 (−3) 乘上一串越來越小的數：(−3) × 2 = −6，(−3) × 1 = −3，(−3) × 0 = 0，乘數每少 1，答案就多 3。照這個規律繼續下去，(−3) × (−1) = 3，(−3) × (−2) = 6，所以負負得正是讓計算規則前後一致的結果。
例 1計算 (−7) + 4。
- 異號相加，絕對值 7 比 4 大
- 7 − 4 = 3，取 −7 的負號
答：−3
例 2計算 5 − (−3)。
- 減 −3 等於加 3
- 5 + 3 = 8
答：8
例 3計算 (−6) × (−5) 和 (−24) ÷ 6。
- (−6) × (−5)：同號得正，6 × 5 = 30
- (−24) ÷ 6：異號得負，24 ÷ 6 = 4
答：30 和 −4
例 4早上氣溫 −2 度，中午上升 9 度，晚上又下降 12 度，晚上幾度？
- 中午：−2 + 9 = 7 度
- 晚上：7 − 12 = −5 度
答：−5 度，也就是零下 5 度
負數次方怎麼算
負數次方有兩種意思。第一種是底數是負數，例如 (−2)³ 表示 3 個 −2 相乘，負數的偶數次方是正的，奇數次方是負的。要特別注意括號：(−2)⁴ 是 4 個 −2 相乘，等於 16；−2⁴ 是先算 2⁴ 再加負號，等於 −16。
第二種是指數是負數，例如 2⁻³。規定 a⁻ⁿ = 1/aⁿ，a 不能是 0，所以 2⁻³ = 1/2³ = 1/8。國一只在科學記號裡用到 10 的負整數次方，例如 1 奈米 = 10⁻⁹ 公尺，其他底數的負次方要到高一學指數時才正式學，計算規則整理在指數律。
例 1計算 (−2)³ 和 (−2)⁴。
- (−2)³ = (−2) × (−2) × (−2) = −8，3 個負號得負
- (−2)⁴ = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16，4 個負號得正
答：−8 和 16
例 2計算 −3² 和 (−3)²。
- −3² = −(3 × 3) = −9，負號沒有被平方
- (−3)² = (−3) × (−3) = 9
答：−9 和 9
例 3計算 (−1)¹⁰⁰ 和 (−1)⁹⁹。
- 100 是偶數，(−1)¹⁰⁰ = 1
- 99 是奇數，(−1)⁹⁹ = −1
答：1 和 −1
例 4計算 2⁻³ 和 10⁻²。
- 2⁻³ = 1/2³ = 1/8
- 10⁻² = 1/10² = 1/100 = 0.01
答：1/8 和 0.01
直角坐標平面與四個象限
直角坐標平面是用兩條互相垂直的數線組成的，橫的叫 x 軸，也叫橫軸；直的叫 y 軸，也叫縱軸，兩軸交在原點 O，坐標是 (0, 0)。平面上每個點都用一組數 (x, y) 表示位置，先寫橫坐標、再寫縱坐標，例如 A(3, 2) 是從原點往右 3 格、往上 2 格。因為有負數，點也可以在原點的左邊或下方，例如 B(−3, −3) 是往左 3 格、往下 3 格。
兩條坐標軸把平面分成四個象限，從右上開始逆時針依序是第一、二、三、四象限，每個象限裡點坐標的正負號是固定的。落在坐標軸上的點，例如 (0, 3)、(−4, 0)，不屬於任何象限。直角坐標平面是國一的內容，國二會用它來算兩點距離公式。
負數是實數嗎
負數是實數。實數就是數線上所有的點所代表的數，包含正數、0 和負數。負整數像 −5、負分數像 −3/4、負小數像 −0.2，都是有理數；−√2 這種不能寫成分數的負數是無理數，有理數和無理數合起來就是實數，所以每一個負數都是實數。
國一學負數時用到的整數、分數和小數都是有理數，國二學根號會遇到 √2 這種無理數，實數這個名稱和完整的分類到高一的實數單元才整理。下表列出常見的數各屬於哪一類。
| 數 | 整數 | 有理數 | 實數 |
|---|---|---|---|
| 5 | 是 | 是 | 是 |
| 0 | 是 | 是 | 是 |
| −5 | 是 | 是 | 是 |
| −3/4 | 不是 | 是 | 是 |
| −0.2 | 不是 | 是 | 是 |
| −√2 | 不是 | 不是，是無理數 | 是 |
| √(−4) | 不是 | 不是 | 不是，在實數裡沒有意義 |
0 是整數、有理數、實數，但不是正數也不是負數。
根號裡面可以是負數嗎
在國中和高一、高二的範圍內，根號裡面不能是負數。√a 指的是平方後等於 a 的非負數，而任何實數平方都大於或等於 0，例如 2² = 4、(−2)² = 4，找不到一個實數平方後等於 −4，所以 √(−4) 在實數裡沒有意義。國中學根號時，根號裡面一律是 0 或正數。
到了高三的選修課程學複數，才規定一個新的數 i，讓 i² = −1，這時 √(−4) = 2i，但 2i 不是實數，所以不在數線上。另外要注意這是平方根的情形，立方根就可以放負數，例如 ∛(−8) = −2，因為 (−2)³ = −8。
絕對值方程式
絕對值方程式是含有絕對值的方程式，例如 |x| = 3。|x| 是 x 到 0 的距離，距離 0 剛好 3 的點有兩個，所以 x = 3 或 x = −3。同樣地，|x − 2| = 5 表示 x 到 2 的距離是 5。因為距離不會是負的，|x| = −1 這種方程式沒有解。
108 課綱在國一只用絕對值表示數線上兩點的距離，明訂不處理絕對值方程式和絕對值不等式，這兩個主題在高一學。下面的例題用國一學過的距離概念就能理解，想看不等式的解法可以到絕對值不等式。
例 1解 |x| = 3。
- x 到 0 的距離是 3
- 0 往右 3 格是 3，往左 3 格是 −3
答：x = 3 或 x = −3
例 2解 |x − 2| = 5。
- x 到 2 的距離是 5
- 2 + 5 = 7，2 − 5 = −3
- 驗算：|7 − 2| = 5，|−3 − 2| = |−5| = 5
答：x = 7 或 x = −3
例 3解 |2x + 1| = 7。
- 2x + 1 = 7 或 2x + 1 = −7
- 2x = 6，x = 3；或 2x = −8，x = −4
- 驗算：|2 × 3 + 1| = 7，|2 × (−4) + 1| = |−7| = 7
答：x = 3 或 x = −4
例 4解 |x + 4| = 0 和 |x| = −1。
- 只有 0 的絕對值是 0，所以 x + 4 = 0，x = −4
- 絕對值不會是負數，|x| = −1 沒有解
答：x = −4；|x| = −1 無解
絕對值函數 y = |x| 的圖形
絕對值函數是像 y = |x| 這樣，把 x 的絕對值當成 y 的函數。x 是正數或 0 時 y = x，x 是負數時 y = −x，所以 x = −2 時 y = 2，x = 3 時 y = 3。把這些點畫在直角坐標平面上，會得到一個以原點為最低點、左右對稱的 V 字形，最小值是 0。
國中不教絕對值函數，國二學的是一次函數的直線圖形；絕對值函數的圖形要到高中才會遇到，這裡先讓孩子看懂它和負數、絕對值的關係。
負數的相關主題
負數是國一數學的第一個新概念，學好正負數的計算，後面的方程式、坐標和函數都會順很多。學完這頁，可以接著看這些主題。
常見問題
0 是負數嗎？
不是。0 比所有正數小、比所有負數大，0 既不是正數也不是負數，但 0 是整數，也是實數。
負數乘負數為什麼是正數？
看 (−3) × 2 = −6、(−3) × 1 = −3、(−3) × 0 = 0，乘數每少 1 答案就多 3，照規律下去 (−3) × (−1) = 3，所以負負得正讓計算規則前後一致。
負數是實數嗎？
是。實數是數線上所有點代表的數，負整數、負分數、負小數和 −√2 這種負的無理數，都是實數。
負數是幾年級學的？
108 課綱把負數排在國中一年級，包含含負數的數線、正負數四則運算、絕對值的意義和直角坐標平面。國小的數線只畫到 0 和正數。