數學王絕對值不等式是什麼，幾年級學
絕對值不等式就是不等式裡出現絕對值，例如 |x| < 4、|x − 2| ≤ 3、|2x − 3| ≥ 5。因為 |x − a| 是數線上 x 到 a 的距離，這類不等式其實是在問：哪些數離 a 的距離比 b 近，或比 b 遠。
國一課程明訂絕對值只用來表示數線上兩點的距離，不處理絕對值方程式和絕對值不等式，所以這是高一數與量的內容。高一以 |x − a| ≤ b 這類型式為主，會連結到誤差範圍，例如產品標示的公差，並且開始用區間符號寫不等式的解。
絕對值不等式公式
下面的公式都假設 b > 0。小於型把絕對值拆成一個連續不等式，大於型拆成兩個不等式，中間用「或」連接。
小於型：|x − 2| ≤ 3
以 2 為中心，往左 3 到 −1，往右 3 到 5，中間這一段的每個數到 2 的距離都不超過 3。不等式有等號，所以端點 −1 和 5 也是解，在數線上畫實心點。
大於型：|x + 1| > 4
|x + 1| = |x − (−1)|，中心是 −1。往左 4 到 −5，往右 4 到 3，離 −1 超過 4 的數在 −5 的左邊和 3 的右邊。沒有等號，端點不算，畫空心點。
絕對值不等式解法例題
解題步驟：先把絕對值裡面整理成 x − a 的樣子，判斷是小於型還是大於型，套用公式拆開，最後解出 x，必要時代一個數驗算。
例 1解 |x − 2| ≤ 3。
- 小於型：−3 ≤ x − 2 ≤ 3
- 三邊都加 2：−1 ≤ x ≤ 5
答：−1 ≤ x ≤ 5
例 2解 |x + 1| > 4。
- 大於型：x + 1 < −4 或 x + 1 > 4
- x < −5 或 x > 3
答：x < −5 或 x > 3
例 3解 |2x − 3| < 7。
- −7 < 2x − 3 < 7
- 三邊都加 3：−4 < 2x < 10
- 三邊都除以 2：−2 < x < 5
答：−2 < x < 5
例 4解 |5 − 2x| ≥ 1。
- |5 − 2x| = |2x − 5|，改寫成 |2x − 5| ≥ 1
- 2x − 5 ≤ −1 或 2x − 5 ≥ 1
- 2x ≤ 4 或 2x ≥ 6，x ≤ 2 或 x ≥ 3
答：x ≤ 2 或 x ≥ 3
例 5|x − 1| < 3 的整數解有幾個？
- −3 < x − 1 < 3，所以 −2 < x < 4
- 整數有 −1、0、1、2、3
答：5 個
例 6解 |x + 3| ≤ 0 和 |x| < −2。
- 絕對值不會小於 0，|x + 3| ≤ 0 只能是 |x + 3| = 0，x = −3
- 絕對值不會小於 −2，|x| < −2 沒有解
答：x = −3；|x| < −2 無解
用絕對值不等式表示誤差範圍
產品標示 50 ± 0.2 公釐，意思是實際長度和 50 公釐最多差 0.2 公釐，寫成絕對值不等式就是 |x − 50| ≤ 0.2。反過來，一個範圍的中點就是 a，範圍長度的一半就是 b。
例 1零件長度標示 50 ± 0.2 公釐，合格的長度 x 在什麼範圍？
- |x − 50| ≤ 0.2
- 50 − 0.2 ≤ x ≤ 50 + 0.2
答：49.8 ≤ x ≤ 50.2 公釐
例 2把 49.5 ≤ x ≤ 50.5 寫成絕對值不等式。
- 中點 a = (49.5 + 50.5) ÷ 2 = 50
- 一半長度 b = (50.5 − 49.5) ÷ 2 = 0.5
答：|x − 50| ≤ 0.5
高一的區間寫法
高一解不等式時會用區間符號寫答案：方括號表示包含端點，圓括號表示不包含端點，∞ 讀作無限大，旁邊一律用圓括號。兩段的解用聯集符號 ∪ 連起來。
| 不等式的解 | 區間寫法 | 數線上的端點 |
|---|---|---|
| −1 ≤ x ≤ 5 | [−1, 5] | 兩端實心 |
| −2 < x < 5 | (−2, 5) | 兩端空心 |
| x ≥ 3 | [3, ∞) | 3 實心，往右延伸 |
| x < −5 或 x > 3 | (−∞, −5) ∪ (3, ∞) | −5 和 3 空心，往兩邊延伸 |
絕對值不等式常見的錯
- 大於型寫成 −3 > x − 2 > 3：沒有數同時小於 −3 又大於 3，大於型一定要拆成兩段，用「或」連接。
- 把 |x + 1| 的中心當成 1：x + 1 = x − (−1)，中心是 −1。
- |5 − 2x| 直接拆開後除以 −2 忘了變號：最簡單的做法是先改寫成 |2x − 5|，絕對值裡面整體乘以 −1 不會改變絕對值。
- 端點搞錯：有等號的 ≤、≥ 包含端點，畫實心點；沒有等號的 <、> 不包含端點，畫空心點。
先複習這些國中主題
絕對值不等式需要的國中基礎有三個：絕對值是距離、正負數的計算，以及一元一次不等式的解法。不熟的地方可以先回去看。
常見問題
絕對值不等式怎麼解？
把 |x − a| 看成 x 到 a 的距離。|x − a| ≤ b 的解是 a − b ≤ x ≤ a + b；|x − a| ≥ b 的解是 x ≤ a − b 或 x ≥ a + b，b 要是正數。
絕對值不等式是國中還是高中教的？
高中。108 課綱在國一只用絕對值表示數線上的距離，絕對值方程式和絕對值不等式排在高一。
大於和小於的解有什麼不同？
小於型的解是以 a 為中心的一段，例如 |x − 2| < 3 的解是 −1 < x < 5；大於型的解是左右兩邊，例如 |x − 2| > 3 的解是 x < −1 或 x > 5。
|x| < −1 有解嗎？
沒有。絕對值一定大於或等於 0，不可能小於 −1。反過來 |x| > −1 對所有實數都成立。