數學王因式分解是什麼
國小學過質因數分解，把 12 寫成 2 × 2 × 3；因式分解是同樣的想法，把多項式寫成幾個比較簡單的多項式相乘。x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)，x + 2 和 x + 3 都叫做 x² + 5x + 6 的因式。
要檢查因式分解對不對，只要把括號乘開，看看是不是回到原來的式子：(x + 2)(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6，所以正確。因式分解要分解到不能再分解為止，例如 3x² − 12 = 3(x² − 4) 還沒做完，x² − 4 還能再分解。
因式分解公式
因式分解的公式，就是把乘法公式的等號左右對調。看到式子時，先想它像哪一個公式展開後的樣子。
因式分解題目
因式分解的技巧，是照固定順序判斷：先提公因式，再看是兩項還是三項。兩項式找平方差，三項式先看是不是完全平方，不是的話用十字交乘。每一題最後都把答案乘開檢查。
例 1因式分解 6x² + 9x
- 兩項的公因式是 3x
- 6x² + 9x = 3x(2x + 3)
- 檢查：3x × 2x + 3x × 3 = 6x² + 9x
答：3x(2x + 3)
例 2因式分解 4x² − 25
- 4x² = (2x)²，25 = 5²，是平方差
- (2x + 5)(2x − 5)
- 檢查：(2x)² − 5² = 4x² − 25
答：(2x + 5)(2x − 5)
例 3因式分解 x² − 10x + 25
- x² 和 25 = 5² 都是平方，中間 10x = 2 × x × 5，是差的平方
- (x − 5)²
- 檢查：(x − 5)² = x² − 10x + 25
答：(x − 5)²
例 4因式分解 x² − x − 12
- 找兩個數相乘是 −12、相加是 −1
- −4 和 3：(−4) × 3 = −12，−4 + 3 = −1
- (x − 4)(x + 3)
- 檢查：x² + 3x − 4x − 12 = x² − x − 12
答：(x − 4)(x + 3)
例 5因式分解 3x² − 12
- 先提公因式 3：3(x² − 4)
- x² − 4 是平方差：3(x + 2)(x − 2)
- 檢查：3(x² − 4) = 3x² − 12
答：3(x + 2)(x − 2)
十字交乘法：x² 的係數不是 1
ax² + bx + c 的 a 不是 1 時，用十字交乘。左邊寫兩個相乘等於 a 的數，右邊寫兩個相乘等於 c 的數，交叉相乘再相加，要等於 b。試對了，橫著讀就是兩個因式。
例 1因式分解 2x² + 7x + 3
- a = 2 拆成 2 和 1，c = 3 拆成 1 和 3
- 交叉相乘：2 × 3 + 1 × 1 = 7，等於 x 的係數
- 橫著讀：第一列 2 和 1 是 2x + 1，第二列 1 和 3 是 x + 3
- 2x² + 7x + 3 = (2x + 1)(x + 3)
- 檢查：2x² + 6x + x + 3 = 2x² + 7x + 3
答：(2x + 1)(x + 3)
例 2因式分解 3x² − 10x − 8
- a = 3 拆成 3 和 1，c = −8 試 2 和 −4
- 交叉相乘：3 × (−4) + 1 × 2 = −12 + 2 = −10，等於 x 的係數
- 3x² − 10x − 8 = (3x + 2)(x − 4)
- 檢查：3x² − 12x + 2x − 8 = 3x² − 10x − 8
答：(3x + 2)(x − 4)
因式分解計算機：用一元二次方程式計算機分解
數學王目前沒有可以分解任意多項式的因式分解計算機；質因數分解計算機是把整數分解成質數相乘，不能分解多項式。不過國中的因式分解多半是 ax² + bx + c，可以借用下面的一元二次方程式計算機：先算出 ax² + bx + c = 0 的兩個根 r 和 s，就能寫成 ax² + bx + c = a(x − r)(x − s)。
以 2x² + 7x + 3 為例，輸入 2、7、3，計算機顯示 x = −0.5 或 x = −3，所以 2x² + 7x + 3 = 2(x + 0.5)(x + 3)，把 2 乘進第一個括號，就是 (2x + 1)(x + 3)，和上面十字交乘的結果一樣。
計算機的結果也能判斷能不能分解：顯示沒有實數解，代表在實數範圍內不能分解；a、b、c 是整數，而計算機寫出根式，例如 x² − 4x + 1 的根是 2 ± √3，代表不能分解成整數係數的一次因式相乘。
- 把要分解的式子寫成 ax² + bx + c，輸入 a、b、c。
- 按「計算」，讀出兩個根 r 和 s；重根時 r 和 s 相同。
- 寫成 a(x − r)(x − s)，根是負數時 x − r 會變成 x 加上一個正數。
- 根是小數或分數時，把 a 拆開乘進括號，讓係數變成整數。
- 把結果乘開，檢查是不是回到原式。
一元二次方程式計算機
輸入要分解的二次式的 a、b、c。預設的 1、−5、6 是 x² − 5x + 6，根是 3 和 2，所以 x² − 5x + 6 = (x − 3)(x − 2)。
三次方因式分解
國中的因式分解只處理二次多項式，三次方的因式分解是高中一年級的內容。最常用的是立方和、立方差公式，也就是乘法公式裡三次方公式反過來；一般的三次多項式，則用高中的因式定理，先找到一個讓式子等於 0 的數 k，就知道 x − k 是一個因式，因式定理和餘式定理一起學。
三次方因式分解例題
三次方程式也能用因式分解來解：分解成一次式相乘以後，和一元二次方程式一樣，每個括號等於 0 就是一個根。
例 1因式分解 x³ − 8
- 8 = 2³，用立方差，a = x，b = 2
- (x − 2)(x² + 2x + 4)
- 檢查：x³ + 2x² + 4x − 2x² − 4x − 8 = x³ − 8
答：(x − 2)(x² + 2x + 4)
例 2因式分解 27x³ + 1
- 27x³ = (3x)³，1 = 1³，用立方和，a = 3x，b = 1
- (3x + 1)(9x² − 3x + 1)
- 檢查：27x³ − 9x² + 3x + 9x² − 3x + 1 = 27x³ + 1
答：(3x + 1)(9x² − 3x + 1)
例 3解三次方程式 x³ − 6x² + 11x − 6 = 0
- 試 x = 1：1 − 6 + 11 − 6 = 0，所以 x − 1 是因式
- 用除法得到 x³ − 6x² + 11x − 6 = (x − 1)(x² − 5x + 6)
- x² − 5x + 6 再分解：(x − 1)(x − 2)(x − 3) = 0
- x = 1、2、3；檢查 x = 2：8 − 24 + 22 − 6 = 0，x = 3：27 − 54 + 33 − 6 = 0
答：x = 1、x = 2 或 x = 3
提公因式的基礎：試做 5 題
數學王的練習關卡是國小一到六年級，沒有國中的因式分解練習。提公因式要先會找最大公因數，例如 6x² + 9x 要先看出 6 和 9 的最大公因數是 3。這一關是國小五年級的公因數和公倍數，可以先把這個基礎練熟。不用登入，做完會告訴你答對幾題。
準備好就開始，一共 5 題。
因式分解和其他單元的關係
因式分解要先熟悉乘法公式，才看得出式子是哪一個公式展開的。學會以後，最直接的用途是解一元二次方程式；整數的分解則可以回頭看最大公因數和質因數分解。
常見問題
因式分解是什麼？
把一個多項式寫成幾個多項式相乘，例如 x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)。它是乘法公式反過來用，分解完把括號乘開，回到原式就是對的。
因式分解有哪些方法？
國中有三種：提公因式、利用乘法公式（平方差、完全平方）、十字交乘法。先提公因式，再依項數選公式或十字交乘。
有因式分解計算機嗎？
數學王沒有分解任意多項式的計算機。二次式 ax² + bx + c 可以用一元二次方程式計算機算出兩個根 r 和 s，再寫成 a(x − r)(x − s)。
因式分解是幾年級學的？
108 課綱排在國中八年級，也就是國二，只處理整數係數的二次多項式；立方和、立方差和因式定理在高中一年級學。