數學王四邊形面積公式一覽
下面整理國小會遇到的四邊形。每一種都可以點進去看想出公式的方法，還有更多練習題。其他圖形可以回到面積公式。
| 四邊形 | 面積公式 | 幾年級學 |
|---|---|---|
| 正方形 | 正方形面積公式：邊長 × 邊長 | 四年級 |
| 長方形 | 長方形面積公式：長 × 寬 | 四年級 |
| 平行四邊形 | 平行四邊形面積公式：底 × 高 | 五年級 |
| 梯形 | 梯形面積公式：(上底 + 下底) × 高 ÷ 2 | 五年級 |
| 菱形 | 菱形面積公式：對角線 × 對角線 ÷ 2，或底 × 高 | 五年級 |
| 任意四邊形 | 切成兩個三角形，各用底 × 高 ÷ 2 再相加 | 五年級的切割方法 |
正方形、長方形、菱形都是平行四邊形，所以底 × 高對它們都成立。
任意四邊形面積：沿對角線切成兩個三角形
任何四邊形畫一條對角線，都會被切成兩個三角形。兩個三角形共用這條對角線當底，上面三角形的高是從上面的頂點垂直畫到對角線，下面的也一樣。
兩個三角形的面積是對角線 × 高 1 ÷ 2 和對角線 × 高 2 ÷ 2，加起來就是對角線 × (高 1 + 高 2) ÷ 2。如果兩條對角線剛好互相垂直，也就是像「十」字那樣碰在一起形成直角，兩個高加起來就等於另一條對角線，公式變成對角線 × 對角線 ÷ 2，菱形、正方形和箏形都是這種情況。三角形的算法可以看三角形面積公式。
四邊形面積例題
前兩題是國小就能算的方法，第三題是高中的對角線公式，讓家長知道它和國小的方法有什麼關係。
例 1一個四邊形的一條對角線長 12 公分，另外兩個頂點到這條對角線的垂直距離是 5 公分和 3 公分，面積是多少？
- 先看上面的三角形：12 × 5 ÷ 2 = 30（平方公分）
- 再看下面的三角形：12 × 3 ÷ 2 = 18（平方公分）
- 把兩個三角形加在一起：30 + 18 = 48（平方公分）
- 也可以直接算：12 × (5 + 3) ÷ 2 = 48
答：48 平方公分
例 2有一個四邊形，它的兩條對角線互相垂直，也就是交叉成直角。這兩條對角線的長度是 10 公分和 8 公分。請問這個四邊形的面積是多少？
- 對角線互相垂直，面積 = 對角線 × 對角線 ÷ 2
- 10 × 8 ÷ 2 = 40（平方公分）
答：40 平方公分
例 3高中的題目：四邊形的兩條對角線是 10 公分和 8 公分，夾角是 30 度，面積是多少？
- 高中公式：面積 = 對角線 × 對角線 × 夾角的 sin 值 ÷ 2。這裡的 sin 值是一個專門用來算面積的數字。
- 30 度的 sin 值是 0.5
- 10 × 8 × 0.5 ÷ 2 = 20（平方公分）
答：20 平方公分
任意四邊形面積公式和常見錯誤
如果你去網路上搜尋「任意四邊形面積公式 對角線」，會看到一個公式：面積 = 兩條對角線相乘 × 夾角的 sin 值 ÷ 2。這個公式要用到高中一年級才學的三角比，所以我們現在還不需要學。它其實就是利用對角線把四邊形切成兩個三角形的方法，只是用夾角來計算兩個高的總和。當兩條對角線像書本角那樣垂直相交時，90 度的 sin 值就是 1，這時候公式就變成我們熟悉的「對角線 × 對角線 ÷ 2」。
在計算四邊形面積的時候，最容易犯這些錯誤：
- 不看形狀就直接用「對角線 × 對角線 ÷ 2」：只有當兩條對角線互相垂直（像十字一樣）時才能用這個公式，一般的平行四邊形和梯形是不行的。
- 把四條邊相乘或相加：把四條邊加起來算的是周長，而把邊長相乘並不是任何四邊形算面積的方法。
- 切成兩個三角形後，高畫錯位置：高要像鉛筆垂直落下，畫到當作底的那條對角線上。
- 把梯形的腰或平行四邊形的斜邊當作高：高一定要和底垂直，也就是形成直角。
四邊形面積練習：試做 5 題
五年級要挑戰平行四邊形、梯形和三角形的面積題目，剛好就是我們切開四邊形會用到的三個公式。四年級的練習則是分辨梯形、平行四邊形、正方形這些形狀。你不用登入，做完題目後，系統會告訴你有幾題答對了。
準備好就開始，一共 5 題。
常見問題
四邊形面積公式是什麼？
要先看它是哪一種四邊形。長方形是用長乘以寬，正方形是邊長乘以邊長，平行四邊形是底乘以高，梯形是 (上底 + 下底) × 高 ÷ 2，菱形是兩條對角線相乘再除以 2。如果是不屬於這幾種的任意四邊形，就把它切成兩個三角形來算。
任意四邊形怎麼用對角線算面積？
國小的做法是沿著一條對角線，把它切成兩個三角形。面積 = 對角線 × (兩個高的和) ÷ 2。到了高中，會學到用兩條對角線和它們中間夾角的公式：對角線相乘 × 夾角的 sin 值 ÷ 2。