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多邊形內角和公式
內角是多邊形相鄰兩條邊在圖形裡面夾出的角，內角和就是所有內角加起來的度數。n 邊形有 n 個頂點、n 個內角，公式如下。
內角和公式怎麼來的
從一個頂點出發，連到所有不相鄰的頂點畫對角線。對角線就是從一個角連到對面那個角的直線。這個頂點和左右兩個相鄰頂點之間不用畫，所以 n 邊形從一個頂點可以畫 n − 3 條對角線，把圖形切成 n − 2 個三角形。這些三角形的角剛好拼成多邊形的所有內角，所以內角和是 (n − 2) × 180°。
還有一種切法，是在多邊形裡面隨便找一個點，把這個點和每一個頂點連起來，就會切成 n 個三角形。這些三角形的角度加起來是 n × 180°。不過，中間那個點周圍的角度加起來剛好是一整圈 360°，我們多算了，所以要減掉。算式是 n × 180° − 360° = (n − 2) × 180°，結果和剛才一樣。國中課本主要講的是凸多邊形，也就是所有角都往外凸的形狀。如果是凹多邊形，也就是形狀有點歪歪的，只要邊沒有交叉，內角和也是一樣用這個公式。
多邊形內角和對照表
邊數每多 1，就會多一個三角形，內角和也就多 180 度。如果是正多邊形，也就是每條邊一樣長、每個角一樣大的形狀，當每個內角算出來不是整數時，表格里會寫到小數第二位。
| 多邊形 | 切成幾個三角形 | 內角和 | 正多邊形每個內角 | 正多邊形每個外角 |
|---|---|---|---|---|
| 三角形 | 1 | 180° | 60° | 120° |
| 四邊形 | 2 | 360° | 90° | 90° |
| 五邊形 | 3 | 540° | 108° | 72° |
| 六邊形 | 4 | 720° | 120° | 60° |
| 七邊形 | 5 | 900° | 約 128.57° | 約 51.43° |
| 八邊形 | 6 | 1080° | 135° | 45° |
| 九邊形 | 7 | 1260° | 140° | 40° |
| 十邊形 | 8 | 1440° | 144° | 36° |
| 十一邊形 | 9 | 1620° | 約 147.27° | 約 32.73° |
| 十二邊形 | 10 | 1800° | 150° | 30° |
正多邊形每個外角 = 360° ÷ n，外角的整理在三角形外角和公式。
四邊形內角和是 360 度
四邊形只要畫一條對角線，也就是從一個角連到對面那個角的直線，就會切成兩個三角形。所以內角和是 2 × 180° = 360°。這是在國小五年級就學過的性質。到了國二，用公式 (4 − 2) × 180° = 360° 算出來也是一樣的。長方形和正方形四個角都是 90°，90° × 4 = 360°，也符合這個結果。
平行四邊形、梯形、菱形都是四邊形，內角和都是 360°。平行四邊形的相鄰兩角加起來是 180°，因為它們是兩條平行邊的同側內角；梯形兩腰旁邊的角也一樣，上底和下底平行，所以同一腰上的兩個角相加 180°。
四邊形內角和例題
如果你知道三個角的度數，想求第四個角，就用 360 度減掉那三個角。
例 1一個四邊形有三個角分別是 80°、95°、110°，請問第四個角是多少？
- 先把已知的三個角加起來：80° + 95° + 110° = 285°
- 第四個角 = 360° − 285° = 75°
答：75°
例 2一個四邊形四個角的大小比是 1 : 2 : 3 : 4，請問最大的角是多少度？
- 360° ÷ (1 + 2 + 3 + 4) = 360° ÷ 10 = 36°
- 最大的角 = 36° × 4 = 144°
答：144°
例 3梯形 ABCD 中 AD ∥ BC，∠B = 65°、∠C = 72°，求 ∠A 和 ∠D。
- AD ∥ BC，∠A 和 ∠B 是同側內角：∠A = 180° − 65° = 115°
- ∠D 和 ∠C 也是同側內角：∠D = 180° − 72° = 108°
- 檢查：115° + 65° + 72° + 108° = 360°
答：∠A = 115°，∠D = 108°
八邊形內角和是 1080 度
八邊形從一個頂點可以畫 8 − 3 = 5 條對角線，切成 6 個三角形，內角和是 6 × 180° = 1080°，用公式算是 (8 − 2) × 180° = 1080°。
正八邊形的八個角都一樣大。既然八個角的總和是 1080°，那每個內角就是 1080° ÷ 8 = 135°。外角是跟內角在旁邊拼成一直線的角，所以每個外角是 180° − 135° = 45°。你也可以用 360° ÷ 8 = 45° 來驗算，看看算得對不對。
多邊形內角和例題
做題前，先看清楚題目問的是「內角和」、「每個內角」，還是「邊數」，再選對公式。
例 1八邊形有七個角的和是 940°，求第八個角。
- 八邊形內角和 = (8 − 2) × 180° = 1080°
- 第八個角的度數 = 1080° − 940° = 140°
答：140°
例 2有一個多邊形，把裡面所有的角加起來總共是 1440°，請問它是有幾條邊的多邊形？
- 邊數 n = 1440° ÷ 180° + 2
- 1440 ÷ 180 = 8，8 + 2 = 10
答：十邊形
例 3有一個正多邊形，它的每一個內角都是 140°，請問它是正幾邊形？
- 每一個外角 = 180° − 140° = 40°
- 用 360° ÷ 40° = 9，算出來這個圖形有 9 條邊。
- 我們來驗算一下：(9 − 2) × 180° ÷ 9 = 1260° ÷ 9 = 140°，答案對不對？
答：正九邊形
例 4有沒有內角加起來總共是 1000° 的多邊形？
- 內角和一定是 180° 的倍數
- 算一算 1000 ÷ 180 = 5 餘 100，因為除不盡，所以不是整數倍。
答：沒有
例 5正十二邊形每個內角是幾度？
- 內角和 = (12 − 2) × 180° = 1800°
- 每個內角 = 1800° ÷ 12 = 150°
答：150°
國小基礎練習：試做 5 題
數學王的練習題目是給國小一到六年級小朋友做的，沒有國中才學的多邊形題目。國二年級要學的內角和公式，是建立在國小五年級學過的三角形內角和 180 度、四邊形內角和 360 度上面的。五年級有一個關卡叫「內角和與扇形」，裡面會出這種題目：已知三角形有兩個角，求第三個角；或者已知四邊形有三個角，求第四個角。那裡也有扇形圓心角的題目。你可以先去看看，確認自己有沒有學好這些基礎。
準備好就開始，一共 5 題。
常見問題
多邊形內角和公式是什麼？
n 邊形的內角和是 (n − 2) × 180°。比如說，五邊形的內角和是 (5 − 2) × 180° = 540°，十邊形的內角和是 (10 − 2) × 180° = 1440°。
四邊形內角和是幾度？
360 度。四邊形畫一條對角線，就是從一個角連到對面那個角的直線，這樣會把四邊形切成兩個三角形。因為每個三角形內角和是 180 度，所以 2 × 180° = 360°。長方形、平行四邊形、梯形的內角和都是這樣算出來，都是一樣。
八邊形內角和是幾度？
1080 度，(8 − 2) × 180° = 1080°。正八邊形每個內角是 1080° ÷ 8 = 135°。
內角和是幾年級學的？
在國小五年級，你會學到三角形的三個角加起來是 180 度，四邊形的四個角加起來是 360 度。到了國二，你會學到怎麼算任意 n 邊形的內角和，還有正 n 邊形每個角到底有多少度。